Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 38
Текст из файла (страница 38)
7.2!). Предполагается, что стенки ячейки смачиваются преимущественно Прозрачная 4 оп!енин Но йгмерхноспгный маеннпгный Рис. 7.21. Модель лабирннтной структуры в виде периодической системы параллельных полосок; о — коаффнниент поверхностного натиженип жидкостей, чгусчдг, и, — г вкь ч а ~г„г ч, м м. ! 983). немагнитиой жидкостью.
Полная энергия одного элемента периодической структуры представляется в виде суммы магнитостатической энергии (7 и поверхностной энергии [/,. Пусть (7— средняя энергия повторяющегося элемента структуры, приходящаяся на единицу длины вдоль оси е; тогда и=(и.+ и,)(юг+,)-'. (7.112) Из рис. 7.2! видно, что поверхностная энергия элемента, рассчитанная на единицу длины полоски, представляется в виде У, = 2п! + 2п' (ю! + гог), (7.1! 3) где о — коэффициент поверхностного натяжения поверхности между жидкостями, а о' — между немагнитной жидкостью и стенкой.
Магнитная энергия элемента конфигурации, согласно уравнению (7.91), может быть записана с точностью до постоянной в виде У = — — ро ~ МН гЯ = — — ИМНе(го1, (7.114) ! Г 1 7.б. Лабиринтнаа неустойчивость 221 1000 й! 100 1О 0,1 1О 1,0 х Рис. 7.22. Зависимость критического магнитного числа Бонда Взе от безраз- мерной толщины магнитной полоски з дая разных значений магнитной вос. приимчивости Х.
Отношение объемов фаз г = 1 кроме пунктирных кривых, для которых оно указано. См. (Козепзше!О, Еайп, Зьигпочкь, !983). = Н, — 0М, где /7 — коэффициент размагничивания, а М= =ХНо/(1+ХО), то выражение для энергии [/ (7.114) можно записать в виде и.= — ф', '„'.
(7.1 15) Подставив результаты (7.!!5) и (7.!13) в уравнение (7.1!2), после некоторого преобразования получим У = — ' + — +2 — (1+г), ХйГва 2 и' !+ХО з и (7.116) где Уви†= роНе!/2о — магнитное число Бонда и где 2 й/о = У (1+ г)/и, г = гв /ш1, г = — гп!/!. (7.1! 7) где предполагается, что намагниченность одинакова во всех точках магнитной жидкости. Для намагниченности имеет место соотношение М =7Н, где Н вЂ” поле внутри полоски, отличающееся от внешнего поля Н, на величину размагничивающего поля Н„, создаваемого всеми полосками системы. Так как Н=Н, — Нв= 222 7.
Задачи ой устойчивости в феррогидродинамике Минимизируя энергию (7.116) при постоянной величине отно- шения объемов фаз г, получим уравнение Коэффициент размагничивания для средней линии полоски определяется по результату интегрирования размагничивающего поля поверхностных зарядов ~)соМ данной полоски, предполагаемых равномерно распределенными, и )у соседних полосок по обе стороны от данной, как изображено на рис. 7.21.
В резуль- тате получим ( +И +(+ —,) 0= — „агс1дг+ ~~ агс1д !/2г л 0 (л+ 1)г+ (л+ — ) ~) — агс(й 1 ~ . (7,119) Из соотношений (7.118) и (7.119) следует уравнение для критического соотношения и..-„', [~«-+[ ~е*«-~:( ~ее (( «-и «- «-ф)— л О ч -12 — ггс1д 2з((п+ 1) г+ и+ — ~Щ;к' с и (л+ 1) г+ л+— 3 л=о 1+ 4ет [(л+ 1) г+ л + — ] 1 — 1 (л+ 1) г+ л+— (7.
120) 1+ 4ее [(л+ 1) г+ л+ — ~ Обшая зависимость числа Бонда л7во от г, )(, г, согласно уравнению (7.120), изображена на рис. 7.22; эта зависимость опре- деляет минимальное число Бонда, которого нужно достигнуть, чтобы появилась лабиринтная структура. Интересно заметить, что величина г имеет два значения при числах 7чв„чуть ббльших критического значения; здесь необходим более точный анализ, чтобы выяснить, является ли это просто следствием приближенности проведенного рассмотрения. Если пренебречь взаимодействием с соседними полосками, положив для этого в урав- 7.б. Пабирингная неустойчивость ненни (7.120) Лг = О, то уравнение существенно упрощается, так как исчезает суммирование; при этом значения вычисляемых чисел Бонда будут меньше, как правило, на 15 — 20 %.
Однако при расчете кривых на рис. 7.22 использовалось значение Ж=!00. Эксперименты с горизонтальными ячейками, в которых систематически изменялись расстояние между стенками и приложенное поле, показали, что величины отношений промежутков довольно хорошо согласуются с теоретическими расчетами на Рнс. 7.23. Картины лабнрннтной неустойчивости в горизонтальной ячейке; прн увеличении напряженности магнитного поля промежутки между полоскамн уменьшаются. Толщина слон 0,9 мм. Более тонкие слои приводят к еще более нстонченным к запутанным картинам.
См. (Йозепзже)д, Уайп, Бйшпо- гдсй, 1983) интервале, в котором магнитное число Бонда меняется на три порядка (Козепзчге1й, УаЬп, ЗЬшпотг(сЬ, 1983). Фотографии типичных структур приведены на рис. 7.23. Отметим, что картина лабиринта в магнитной жидкости очень напоминает лабиринтную структуру системы доменов в тонких пленках ферромагнетиков (ТЫе!е, 1969). Здесь также, по-видимому, должна быть аналогия со структурами сверхпроводников первого рода, возникающими при переходе от сверхпроводящего состояния к обычному (ЕаЬег, 1958). Двигаясь далее в этом направлении, укажем, что неустойчивость магнитной жидкости в ортогональном поле имеет аналогию в гексагональных структурах, наблюдаемых при фазовом переходе сверхпроводников второго рода (Еэыпапп, ТгапЫе, 1967).
Как обнаружилось, диэлектрические жидкости в сильном приложенном электрическом поле также образуют лабиринтную структуру (йозепзше(д, 2аЬп, БЬпгпоч(сЬ, 1983). Использовались 224 7. Задачи об устойчивости в феррогидродииамике следующие диэлектрические жидкости: смазочное масло с относительной проницаемостью 2,33 и касторовое масло с относительной проницаемостью 4,48. Приложенное поле 16 кВ.см — ' приводило к указанному явлению при толщинах слоя 0,8 и 1,6 мм.
7.7. УСТОЙЧИВОСТЬ ЖИДКИХ ЦИЛИНДРОВ В этом разделе будет рассматриваться течение круглых струй и устойчивость столбов жидкости. Будем исходить из уравнения (7.22) — уравнения движения магнитной жидкости. Так как вязким слагаемым пренебрегают, а сила тяжести, по предположению, отсутствует, то это уравнение имеет форму уравнения Эйлера р (ду/дг + ч Рч) = — Рп, (7.12! ) где П = р+ р, для магнитной жидкости и П = р для немагнитной жидкости. Применяя к каждому слагаемому уравнения Эйлера операцию ротора, получим соотношение для вектора вихря П несжимаемой жидкости — = — + тт рП=П туч. Рче дй Рт дт (7.122) Из этого уравнения следует условие Если 0=0, то Ойв/0(=О.
(7. 123) Таким образом, если в частице невязкой магнитной жидкости в некоторый момент времени вектор вихря был равен нулю, то он всегда будет равен нулю. Для многих реализуемых течений это условие выполняется в начальный момент времени, например для потенциального течения около вязкого пограничного слоя. Во всех рассматривавшихся до сих пор задачах об устойчивости жидкость также считалась существенно невязкой.
Получающееся движение называется безвихревым и 0= тКч=О. Поэтому можно ввести потенциал скорости Ф так, что ч =— — !гФ; (7.!25) при этом соотношение (7.!24) удовлетворяется тождественно. Объединяя уравнение неразрывности у ч =О с уравнением (7.125), получим уравнение !ггФ = О, (7.126) которое показывает, что потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа. Рассуждение, приводящее к уравнению (7.126), применимо как для стационарных, так и для нестационарных 225 7.7. Уотоанивость жидков цилиндров течений, так как нигде не фигурирует в явном виде производная по времени.
В настоящее время хорошо развиты методы решения уравнения Лапласа ввиду его большой важности в разных областях физики. Ниже уравнение Лапласа применяется для анализа устойчивости цилиндрической струи магнитной жидкости. Струя магнитной жидкости в однородном поле Магнитное поле, улучшившее устойчивость поверхности бесконечно глубокой жидкости по отношению к ее возмущениям, должно также влиять и на струйные течения. Критическое значение поля и критическая длина волны здесь будут зависеть от кривизны поверхности и величины диаметра круглой струи. Классическая задача об устойчивости немагнитной круглой струи рассматривалась Рэлеем (Кау)е!8)с, 1878), показавшим, что такое течение всегда неустойчиво: всякое возмущение с длиной волны, большей периметра струи, со временем увеличивается.
Неустойчивость здесь вызывается силами поверхностного натяжения. Будем предполагать, что скорость струйного движения столь мала, что влиянием окружающего воздуха на распад струи можно пренебречь; сила тяжести предполагается отсутствующей. Очевидно, что однородное поступательное движение струи не оказывает влияния на ее динамику, поэтому анализ можно проводить в системе отсчета, движущейся с невозмущенной скоростью струи. Однородное поле Но в струе создается коаксиально соленоидом. Уравнения задачи сформулируем в цилиндрической системе координат с осью з, направленной вдоль оси течения. Как видно из (7.126), потенциал скорости Ф удовлетворяет уравнению Лапласа.
В цилиндрической системе координат это уравнение имеет вид 1 д Г дФ х ! дФ д'Ф вЂ” — скг — г! + — — + — =О, г дг к дг г' гт дв двт где г — полярный радиус, г — расстояние вдоль оси течения и Π— полярный угол. Будем предполагать, что струя осесимметричная и, следовательно, Ф не зависит от угла О. Решение ищется в форме фгс( ) с Сов — ы> (7.128) где Ф вЂ” малая величина, й — волновое число и ос — частота, которая может быть комплексной. Должно быть ясно, что здесь достаточно только вещественной части экспоненциальной функции. 22б 7.
Задачи об устойчивости в феррогидродинамике Найдя производные от Ф, фигурирующие в уравнении (7.127), по выражению (7.128), и подставив их в уравнение (7.127), получим следующее дифференциальное уравнение: + — — — ать= О дтЯ ) дЯ дет г дг (7. 129) Это уравнение Бесселя, имеющее следующее общее решение: )к (г) = с11о()ег) + саКо()ег) (7. 130) где 1о(йг) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а Ко(йг) — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
