Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 45
Текст из файла (страница 45)
8.4, но на этот раз начало системы координат расположим внутри объема У, так что !г~ имеет порядок с(. Если объем У стягивается в точку Р— этот процесс уже рассматривался,— то каждое слагаемое уравнения (8.45) стремится к нулю следующим образом: — ~ ряс(У с(з, — ~ р(г Х ч) дУ с(4, ~рбсЬ' дз ~(гХрР)дУ дз ~7 Сд! дз (847) ~ гХ(7 ° Т)с(У дз, ~ Ае(У дз. При д — «О остаются только слагаемые порядка дз; таким образом получается дифференциальное уравнение для изменения внутреннего момента импульса; р — =рб+ 7 С (- А.
(8. 48) 2бо 8. Магнитные жидкости и несимметричные напряжения 8.8. СВОДКА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ КОНТИНУУМА Уравнение Коши для изменения импульса: р Оч))г1 =рГ+ Ч Т. Уравнение для изменения внешнего момента импульса: р —,(гХч)=гХрГ+ гХ(7 ° Т) = (852а) = г Х рà — Ч (Т Х г) — А. (8.52Ь) Уравнение для изменения полного момента импульса: 1гЬ гг р — = р — (в + г Х ч) = и и =рС+гХрГ+Ч С+гХ(7 Т)+А= =рС+гХрГ+Ч С вЂ” Ч (ТХг). (8.53а) (8.53Ь) Вычитая уравнение (8.48) из (8.46), получим уравнение баланса внешнего момента импульса; оно будет далее выписано в сводке формул в виде (8.52Ь). Из уравнения (8.48) видно, что изменение внутреннего момента импульса внутри объема магнитной жидкости происходит по трем причинам: из-за действия распределенного момента сил С от отдаленных источников, из-за действия поверхностных моментов сил 7 С, которые могут рассматриваться как диффузия внутреннего момента импульса через поверхность, и из-за процесса преобразования внешнего момента импульса во внутренний, описываемого вектором А.
С учетом замечания, сделанного по поводу уравнения (8.36), ясно, что если вектор А отличен от нуля, то тензор напряжений Т несимметричен. Далер и Скривен (ОаЫег, 5сНчеп, 1961) вывели уравнение (8.48) другим способом; так как оно имеет фундаментальный характер, то имеет смысл привести здесь доказательство этих авторов. Доказательство.
Умножим радиус-вектор г векторно на уравнение движения Коши (8.21): г Х р0ч/И = г Х рГ+ г Х 7 Т. (8.49) В равд. 8.6 уже использовалось равенство г Х ~, — — —,(г Хч). (8. 50) Подставив результат (8.50) в уравнение (8.49) и вычитая полученное уравнение из дифференциального уравнения для изменения полного момента импульса (8.46), получим искомое уравнение (8.48), ч. т. д. д.р. Определяющие уравнения 26! Уравнение для изменения внутреннего момента импульса: р ~ = — рея + Ч . С + А. (8.54) Уравнения (8.51) и (8.54) можно записать в другой форме, выражающей закон сохранения соответствующих моментов. Умножая уравнение неразрывности (1.26) на ч или з, складывая полученное уравнение с (8.51) или (8.54) соответственно, учитывая выражение для материальной производной (4.57) и используя тензорное тождество Ч (АВ)=А ЧВ+ ВЧ А, где А=рч и В=ч или з, получим Уравнение Коши для баланса импульса: — + Ч (рчч) — рр+ Ч Т.
(8.51') Уравнение баланса внутреннего момента импульса: ++ Ч ° (рчв) =рб+ Ч С+ А, (8.54') где величина рчч в уравнении (8.51') есть поток импульса с объемной плотностью рч, а величина рчз в уравнении (8.54')— поток внутреннего момента импульса с обьемной плотностью рв, т. е. рчв есть поток спина. При выводе всех полученных до сих пор теоретических уравнений, описывающих течения с несимметричными напряжениями, использовались только общие принципы механики; они будут основой для дальнейшего анализа. 8.9. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ Для решения конкретных задач, кроме уравнений баланса, записанных в виде (8.51) — (8.54), нужно иметь дополнительные определяющие уравнения. Определяющие уравнения необходимы для величин Т = Т'+ Т„С, А и С.
Будем рассматривать только такие задачи, в которых нет ускорения жидкости из-за магнитной силы, т. е, можно считать Т =О. Тогда тензор Т включает в себя только давление и вязкие напряжения. Следуя подходу Кондиффа и Далера (Сопб)!1, !лаЫег, 1964), развитому ими для системы из электрически поляризующихся молекул, предположим, что симметричная часть тензора напряжений Т, не зависит от распределения внутреннего момента импульса и определяется обычным выражением для ньютоновской вязкой жидкости.
Тензор моментных напряжений С предполагается симметричным. Будем считать, что он зависит от внутренней деформации, возникающей за счет угловой скорости частиц еа, которая 262 8. Магнитные жидкости и несимметричные нанряжения вводится соотношением а = /са, где 1 — средний момент инерции частиц на единицу массы среды. Выражение для тензора моментных напряжений С можно получить при помощи таких же соображений, которые использовались для вывода выражения для тензора вязких симметричных напряжений Т,. Таким образом, имеем Т. = — р! + Т„где Т„определяется выражением (4.62): Т, =А(7 ч) )+ т() Чч+ (Чч)|,т (8.55) С = Х' (7 ° са) ! + т~' [Чса + (Чса)~1, (8.56) где коэффициенты т!' и )ч' называются по аналогии коэффициентами сдвиговой и объемной вращательной вязкости соответственно. Как уже отмечалось, вектор А описывает скорость преобразования внешнего момента импульса к внутреннему моменту импульса.
Из физических соображений ясно, что процесс преобразования происходит, когда отсутствует синхронизация между скоростью вращения элемента среды и скоростью вращения частиц, составляющих этот элемент. Эффективная скорость вращения элемента жидкости определяется половиной вектора вихря й/2 =(Ч Х ч)/2, а внутреннего вращения — вектором еа. Скорость преобразования моментов импульса должна быть функцией разности этих величин, т.
е. ЧХч — 2са. Линейное соотношение этой разности с вектором А с феноменологическим коэффициентом ~ записывается в виде А = 2~ (7 Х ч — 2га), Коэффициент ~ называется коэффициентом вихревой вязкости. Антисимметричный тензор Т„соответствующий вектору А, согласно соотношениям (8.35) и (8.57а), имеет вид Т,= т А=1е (и — 2~). 1 Задача. Так как Т=Т, + Т„то в уравнении для изменения импульса из-за наличия антисимметричных напряжений появляется объемная сила Ч Т,.
Используя соотношение (8.35) Т,=(е А)/2, покажите, что 7. Т,= — (7 ХА)/2. Задача. Используя определяющее уравнение для вектора А (8.57а), покажите, что полная сила, действующая на объем вязкой жидкости вследствие антисимметричных напряжений, равна — — $ и Х А йЗ = 2~ $ и Х с» ~Ю. [Подсказка. Используйте результат предыдущей задачи и примените теорему о дивергенции к ротору вектора А; учтите также Ку. Ояределяющие уравнения тот факт, что около стенки вектор вихря жидкости направлен параллельно стенке.) Введем еще одно определяющее уравнение; предположим, что объемный момент сил рб, действующий на элемент жидкости, записывается аналогично объемному моменту сил, действующему на маленькое изолированное магнитное тело; причем поле Н следует считать локальным, а не приложенным извне полем: рП = рвМ Х Н.
(8.58) Процесс релаксации намагниченности Вектор намагниченности М, входящий в выражение (8.58), отличается от равновесного значения Мв, которое было бы в неподвижной жидкости в стационарном поле Н. Перед попыткой учесть этот эффект полезно рассмотреть механику вращения одной магнитной частицы, достаточно большой, чтобы на нее не влияло вращательное тепловое броуновское движение. Уравнение баланса моментов сил для одной частицы с моментом инерции 1ь скоростью вращения кч и магнитным моментом р, записывается в виде (8.59) 7, ага~/Ж=р1 Х Н вЂ” Г~еаь где Г1 — момент вязких сил, приходящийся на единицу угловой скорости вращения частицы. Для установившегося движения частицы инерционное слагаемое в уравнении (8.59) отсутствует; если внешнее поле Н вращается, то частица вращается вместе с полем с той же угловой скоростью, отставая от него на постоянный угол аь такой, что з(п а~ =Г,а,(р,Н.
(8.60) Поэтому, если ы, ) р~Н/Гь то стационарное вращение частицы невозможно. Кароли и Пинкус (Саго11, Р(пкцз, !969) рассмотрели поведение одной такой частицы, взвешенной в жидкости. Здесь интересно рассмотреть предложенное М. И. Шлиомисом (1971) феноменологическое уравнение, предназначенное для описания поведения в магнитном поле системы маленьких магнитных частиц. Вводится модельное предположение, что каждая однодоменная частица жидкости спонтанно намагничена до насыщения, а направление намагниченности жестко фиксированно в теле частицы. Из-за теплового движения ориентация частиц, а следовательно, их магнитных моментов, будет распределена по всем направлениям. Рассмотрим данный элемент среды в локальной системе отсчета г"', которая движется и вращается со средней 2в4 В.
Магиитиае аеидкоети и несимметричные напряжении скоростью взвешенных частиц. Постулируется, что изменение намагниченности в системе г"' описывается следующим релаксационным уравнением; 0'М/О( = — (1/т) (М вЂ” М ), (8.61) где т — время релаксации. Таким образом, скорость изменения вектора магнитного момента в элементе среды пропорциональна его отклонению от равновесного значения. В частном случае релаксационное уравнение описывает процесс намагничивания неподвижной среды, например, при скачкообразном увеличении приложенного поля. В этом процессе М, Н и, следовательно, М, параллельны, а величина Ме постоянна. Проинтегрировав уравнение (8.61), легко находим, что намагни. ченность М первоначально ненамагниченного образца меняется во времени согласно уравнению М/Ме = 1 — ехр( — г/т).
В более общем случае релаксационное уравнение описывает изменение намагниченности как по величине, так и по направлению. Напомним, что средняя угловая скорость вращения частиц в объеме жидкости обозначается через в. Это вращение частиц приводит к изменению направления вектора намагниченности элемента жидкости за единицу времени на угол в Х М. Следовательно, скорость изменения вектора намагниченности в лабораторной (невращающейся) системе отсчета равна РМ/Р( = 0'М/О! + в Р, М. (8.62) Таким образом, релаксациоиное уравнение в системе отсчета неподвижного наблюдателя имеет вид РМ/О! = в Х М вЂ” (1/т) (М вЂ” Ме).
(8.63) Эффекты, к которым приводит уравнение (8.63), рассматривал М. И. Шлиомис (1975) на примере магнитной жидкости, находящейся под действием однородного вращающегося магнитного поля, в предположении, что объемное движение жидкости отсутствует. Предполагается, что вектор намагниченности М отстает от направления поля на постоянный угол а: Н, =- Нсозв'1, Н, = Н з!и в'г, М, =Мсоз(вН вЂ” а), М,=М яп (вН вЂ” а). (8,64) Параметр в' здесь обозначает скорость вращения поля; индексами 1, 2 обозначены проекции на оси координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
