Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Подставив эти выражения в релаксационное уравнение (8.63), получим два соотношения, так как здесь имеются два независимых уравнения в покомпонентной записи. Эти соотношения можно записать в виде (в' — в) т = х, (8.65а) М/М„= ! /т/! + (8.65Ы 288 8,9.
Определяющие уравнения где х — = (да. Отметим, что, согласно соотношению (8.65а), средняя скорость вращения частиц ю отличается от скорости вращения поля ю'. Этот результат не согласуется с результатом анализа поведения одной частицы и отражает то обстоятельство, что не все частицы вращаются синхронно с полем. Тем не менее вектор намагниченности среды вращается синхронно с вектором О 2 гг 8 8 ог'т Рис. 8Л.
Кривые, рассчитанные по уравнению (8.88), показывают характер зависимости угла отставания средней намагниченности от поля в неподвижном объеме жидкости в однородном вращающемся магнитном поле. поля; величина намагниченности уменьшается от равновесного значения по формуле (8.65Ь). Когда угол запаздывания се= О, то М = Ме, когда а-л-и/2, то М- О. Величины сс (или х) и ю все еще остаются неопределенными. Их можно найти при помощи уравнения для изменения момента импульса среды (8.54).
В случае когда ю пространственно однородно, слагаемое тГ С, согласно уравнению (8.56), равно нулю. Подставив выражение для вектора А (8.57а) при ч = О и заменив в уравнении (8.54) момент рС на момент роМР', Н согласно соотношению (8.58), получим в стационарном случае равенство моментов сил роМ Х Н = ив. (8.66) Используя определение векторного умножения ) М зг', Н (= =Мгг з!па и соотношение з(п а =х/ч'1+ хх, а также выра- 266 8. Магиитяьсе жидкости и несимметричные напряжения жение для намагниченности М (8.65Ь), из уравнения (8.66) найдем ИоМо (Н) Н/(4~со) = (1+ х')/х. Исключив из уравнения (8.67) щ при помощи соотношения (8.65а), получим следующее алгебраическое кубическое уравнение для х: хв — (от'т) хт -1- (Р -1- 1) х — от'т = О, (8.68) где Р = — рсМоНт/4с По значению х, полученному из уравнения (8.68), можно найти скорость вращения частицы щ по формуле (8.
67) 0,8 Цб э 3 0,4 0,2 0 2 4 6 8 иг'т Рнс. 8.8. Зависимость средней скорости вращения частиц от скорости вра- щения поля и напрян<ениости приложенного поля. (8.65а). На рис. 8.7 изображены кривые, выражающие зависимость угла запаздывания намагниченности от направления поля; на рис. 8.8 показана зависимость средней скорости вращения частицы от скорости вращения поля. На обоих рисунках кривые изображены при разных значениях параметра Р. При Р— О 1да от'т. Более интересен тот факт, что, как видно из рис.
8.7, если параметр Р больше некоторого критического значения, то при увеличении скорости вращения поля угол а испытывает скачок в некоторой точке от'. При уменьшении скорости вращения поля скачок происходит при от'=-от„'(от' так что в системе наблюдается явление гистерезиса. Из рис. 8.8 видно, что для величины то/от', как и для средней угловой скорости вращения частиц, также имеет место гистерезис. 8.!!.
Движение магнитной жидкости аод действием лемента сил 267 В этом разделе дано подробное описание поведения магнитной жидкости во вращающемся поле. Однако действительное поведение систем с магнитной жидкостью может иметь более сложный характер; например, не во всех случаях вектор намагниченности частицы жестко с ней связан (может иметь место нееловская релаксация). Дополнительную информацию для этого более сложного случая интересующийся читатель может найти в статье В. М.
Суязова (1982). 8.10. АНАЛОГИ УРАВНЕНИЯ НАВЬŠ— СТОКСА ДЛЯ ЖИДКОСТЕЙ С ВНУТРЕННИМ МОМЕНТОМ ИМПУЛЬСА Подставив выражения для величин, согласно определяющим уравнениям, в уравнения, выражающие законы сохранения, получим аналоги уравнения Навье — Стокса. Сначала следует найти выражения для дивергенции тензоров Т„, С и Т,. Согласно уравнениям (8.55), (8.56) и (8.57Ь), эти выражения имеют вид Ч ° Т„=(Х+ т1) ЧЧ ° ч+ т1Чтч, (8.69а) Ч С = (Х'+ т1')ЧЧ е+ и'Чте, (8.69Ь) Ч ° Т„= — ттЧ Ус', А =УтЧ Х (чес Т) =ГЧЧ ° ч + ЬЧ ч+ 2ЬЧ Х е. (8.69с) Подставив выражения (8.57а), (8.58) и (8.69) в уравнения (8.51) и (8.54), получим уравнения-аналоги уравнения Навье— Стокса: р(лч!О! = — Чр+ рР+ 2ЬЧ Х е+ 8ЧЧ ° ч+ т,Чтч, (8.70) р! (ле/И=рб+ 2Ь(ЧХ ч — 2е)+ 8'ЧЧ е+ т!'Ч'е, (8,7!) где ц.— = ~+ч, 6— = х+и — ~, 6'= — д'+и'. 8.11. ДВИЖЕНИЕ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОБЪЕМНОГО МОМЕНТА СИЛ Дадим теперь на основе развитых методов теоретическое описание экспериментально обнаруженного явления увлечения жидкости вращающимся магнитным полем.
Сначала найдем стационарное решение уравнений движения (8.70) и (8.7!) в случае, когда скорость жидкости имеет только азимутальную (8) компоненту в цилиндрической системе координат: ов = п(т), о, = гг = О. Из уравнения (8.70) видно, что такое движение возможно, если е не зависит от времени и е, = ей = О, е. = е(г). Как следует из уравнений (8.71) и (8.58), стационарное решение предполагаемого вида существует, лишь когда тл„= тле = 0 и эаа 8.
ядагнитные жидкости и несимметричные нанряжения р6 = ро(М*Не — М„Н ) не зависит от времени. Это условие удовлетворяется в случае, когда вектор намагниченности вращается с той же угловой скоростью, что и вектор поля, отставая от него на постоянный фазовый угол а. Тогда 6, = = роМН з(па, где з — компонента вдоль вертикально направленной оси системы координат. Для несжимаемой магнитной жидкости ч ч =0 и, согласно цилиндрической симметрии, ч в = О. Поэтому в стационарном случае система уравнений (8.70) и (8.71) сводится к следующим уравнениям, выражающим баланс импульса и момента импульса соответственно: О = — Чр+ рВ+ 2~7 Х в+ П,Чеч, О =рб+ 2~(ч Х ч — 2в) + т('ч'в. Величина тО7 играет роль коэффициента диффузии для процесса переноса внутреннего момента импульса с плотностью э = 7рв.
Уравнения (8.70') и (8.7Г) аналогичны уравнениям, которые использовали В. М. Зайцев и М. И. Шлиомис (1969) для получения решения, описывающего осесимметричное вращательное движение жидкости. Из уравнения (8.70') можно исключить давление, применив к каждому его слагаемому операцию ротора, так как т Х ч) = О для любой скалярной функции 7.
В рассматриваемой задаче рР выражает силу тяжести, и так как Г, как известно, является градиентом скалярной функции, то Ч Х В=О. Кроме того, ч Х т7'ч= чЧ), где Я= ч Х ч — вектор вихря, выражающий удвоенную скорость вращения жидкости; ч Х ч Х в= — чав, так как т в здесь равна нулю. В результате для ненулевых компонент вектора вихря и спина (Й,=-(г и в,=в соответственно) в цилиндрической системе координат получим следующие уравнения: (8. 72) — — ( т — ) — 2Ь.(2в — кг) =-- — 1гоМН з(п а. (8.73) дв х 8.) Граничные условия на поверхности цилиндра с =Я имеют вид п(1с) = О, (8.74 а) вЯ) =О. (8.
74 Ь) Здесь принято условие отсутствия проскальзывания скорости ч на стенке, применяемое для обычных жидкостей, однако в данном случае это условие имеет неясный статус; условие обращения в нуль спина на стенке требует пояснений. Например, Бреннер (Вгеппег, 1984) проанализировал движение изолированной 8.!!. Движение магнитной жидкости нод действием моменте сил 269 сферической частицы, врашающейся в вязкой жидкости около твердой стенки. Его результат для нашего случая выглядит сле- дуюшим образом: вызванное вращением сферической частицы движение жидкости приводит к ее перемещению дволь стенки, так что она движется вокруг оси цилиндрической системы ко- ординат в сторону, противоположную направлению вращения сферической частицы.
Предполагая, что этот механизм работает и для системы взвешенных частиц, можно получить физическое объяснение возвратного течения, наблюдаемого в некоторых экспериментах. Здесь мы будем использовать простые гранич- ные условия (8.74), чтобы продемонстрировать метод решения задачи, но вовсе не утверждаем, что эти простые условия спра- ведливы в любом случае. Интегрируя уравнение (8.72), получим (с= — — = — + С,.
! й (то) 2~со (8. 75) Че Исключив 21 из уравнений (8.75) и (8.73), найдем 2 — + — — — х со= — А, с)ге г йг (8.76) где св (г) = Ах 2+ С21о(хг), (8.78) где !о — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Скорость жидкости определим из уравнения (8.75), в котором для со подставлено решение (8.78). Таким образом, решения для со и о, удовлетворяющие граничным условиям (8.74), имеют вид где п()7)=п+ь~) — „щ („р)~ по —= й ()соМН з)п а) 0 2нп 1й) (8,82) величину М, если это необходимо, можно найти из релаксационного уравнения (8.63).
(8.81) х' = 42)й/2)ет)', (8.77а) А = (1/т)') ()соМН з(п а+ 8~С,). (8.77Ь) Уравнение (8.76) заменой переменных у=со — Ах-2 и х=хг приводится к уравнению Бесселя в канонической форме. Решение для о2, полученное с учетом конечности величины со при г = О, имеет вид З7О 8. Магнитные жидкости и несимметричные напряжения Поведение решений для го и н существенно зависит от величины кК. Можно показать, что величина 1о =!/к характеризует диффузионную длину, имеющую порядок 1о = 1, где 1 — среднее расстояние между частицами, т.
е. расстояние между центрами микровихрей. Предполагая, что коэффициент т1' зависит только от вязкости т1 и расстояния 1, получим из соображений размерности, что т1' — т11о. Так как Ь вЂ” гн то из соотношения (8.77а) следует, что 1о — 1. Для коллоида с объемной концентрацией частиц ор и диаметром частиц с( отношение 1/и' составляет ве- личину 1/,( = (л/б,р) но. (8.83) Например, для магнитной жидкости с объемной концентрацией частиц <р = 0,012 — такая жидкость использовалась в эксперименте Московитца и Розенцвейга (Мозкохо)(х, Козепзхче1д, 1967) — отношение 1/г1 = 3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
