Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Метод осреднения более удобен, так как при его применении неопределенности (т. е. то, что неизвестно) входят лишь в некоторые естественно появляющиеся и легко идентифицируемые члены; поэтому полученную систему уравнений можно до- и Здесь и далее под жидкостью (Пиы) понимается как жидкость, так и таз. — Прим, перев. Унь Основные уравнения, онисывающие течение двухфазной среды 285 Определение осредненных величин Сначала введем весовую функцию д(т), определенную для малых отклонений т ) О от рассматриваемой точки; эта функция позволяет дать точную формулировку понятия «среднего в точке».
Точная форма и размер области определения функции д(т) неважны; важно лишь, чтобы она имела некоторые определенные свойства. Так, д(т) должна быть положительной для всех т и монотонно затухать при увеличении т; при этом должны существовать производные всех порядков. Кроме того, д(г) нормирована так, что ~ д (г) сЛт = 1, (9.1) где символ )т означает, что интегрирование проводится по всему пространству системы. На рис. 9.4(а) показаны точка Р, положение которой определяется радиус-вектором х из начала О, и элемент объема с()т~ с радиус-вектором у. Так как т = = 1х — у(, вполне допустима запись д(г) = д(х — у), которая и будет дальше использоваться для простоты. Среднее значение пористости системы еь или объемная доля пространства системы, занимаемой несущей средой, определяется формулой е1(х, 1) = ~ д (х — у)сЛГ, (9.2) Е где символ )'т означает, что интегрирование производится по всем точкам у пространства, занимаемого жидкостью в момент времени й Объемная доля твердой фазы е определяется соответственно формулой е (х, 1) — = ~ д (х — у) сй', (9.3) где интегрирование ведется по пространству, занимаемому твер- дой фазой в момент времени б Из определений (9.1) — (9.3) сле- дует, что е, + ес =!.
полнить логически естественными, хотя и эмпирическими, постулатами об определяющих уравнениях. Представленная здесь техника осреднения является модификацией техники Андерсона и Джэксона (Апбегзоп, 3ас)своп, !967), дополненной осреднением магнитных членов и уравнений, специфичных для рассматриваемого предмета. 286 р. Движение магнитных двухфазных систем 0 Рис. 9.4. Область осрецнения (а) и типичная форма весовой функции (Ь). е (х, 1) а (х, 1) = — ~ а' (у, 1) д (х — у) сй', У1 е,(х, 1) а,(х, 1)= ~ а'(у, 1)я(х — у) с()г, (9.4) (9.5) Уи где символ )г1 в уравнении (9.4) указывает на интегрирование по всему пространству системы, занимаемому жидкостью в момент времени 1, а Р в уравнении (9.5) — на интегрирование по объему частиц в момент времени 1.
При помощи введенных определений можно выразить операции с осредненными величинами через операции с микроскопическими величинами. Обозначим оператор у, взятый в точке х, Осредненные значения вектора а1(х, 1) жидкой фазы и вектора ар(х, 1) твердой фазы определяются через соответствующие микроскопические величины (штрихованные) следующим образом: 9.4. Основнече уравнения, описывающие течение двукфавной среда 2В7 через %'„, а взятый в точке у — через уе; из уравнения (9.4) следует р„[е, (х, 7) а, (х, 7)] = = ~ а'(у, 7) 'Р„д(х — у)сЛт= — ~ а'(у, 1) Ч„д(х — у)Ж7 = У~ = ~ д(х — у) Р„° а'(у, 7)сЛ' — ~ Ч„~а'(у, 7) д(х — у)1с()/ = У~ = ~ д(х — у) Р„а',(у, Г)с()т — ~ и, а'(у, г) д(х — у) Н5.
(9.6) Здесь при переходе к последней строчке была применена теорема о дивергенции; 5~ в последнем интеграле означает, что он берется по всей границе области, занимаемой несущей средой; пч †единичн нормаль, направленная снаружи от поверхности жидкости. Поверхность 5п ограничивающая весь объем несущей среды в системе, состоит из большого числа несвязанных частей, поэтому последний член уравнения (9.6) можно записать в виде ~ и а'(у, Г)д(х — у) с(5= ~ п а'(у, Г)д(х — у)с(5— в~ в~ — ~ ~ и а'(у, 7)д(х — у)с(5, (9.7) где 5~ — внешняя граница системы, в — поверхность одной твердой частицы; суммирование в полученном выражении ведется по всем твердым частицам системы.
В последнем члене выражения (9.7) используется„что и = — пь Для точек, не слишком близких к границе системы, первый интеграл, в правой части уравнения (9.7) пренебрежимо мал по сравнению со вторым слагаемым, определяющим вклады от поверхностей частиц, так как функция д(х — у) мала в таких точках; с учетом этого уравнение (9.6) приводится к следуюшему виду: ~ д (х — у) Ч„. а' (у, 7) чй' =т7„° (е (х, 7) а (х, 7))— У~ — ~ п, ° а',(у, Г) д(х — у) с(5.
(9.8) е 9. Движение магнитных двухфазных систем Аналогичное соотношение между производными по времени от микроскопической и осредненными величинами можно получить непосредственно из уравнения (9.4): ~ К(х — у) дг а~ (у !) с!! д! ~е!(х !) а! (х, !)1+ д д р! + ~ ~ а„'(у, !) и, ч,'(у, !)д(х — у)д5. (9.9) 'р Здесь была использована теорема переноса Рейнольдса для дифференцирования интеграла по материальному объему с учетом того, что объем жидкости в системе имеет движущиеся границы в виде большого числа несвязанных областей — поверхностей частиц.
В последнем члене уравнения (9.9) ч' — скорость твердой частицы на ее поверхности. Осредиенные уравнения неразрывности Способ вывода искомых феноменологических уравнений неразрывности из микроскопических уравнений для несущей и твердой фаз продемонстрируем, например, на выводе уравнения неразрывности для несущей жидкой фазы.
Если жидкость предполагается несжимаемой, то ее микроскопическая скорость удовлетворяет уравнению неразрывности Ч„. ч' (у) = 0 (9.10) в каждой точке жидкости в данный момент времени. Умножив это уравнение на д(х — у) и проинтегрировав его по всему объему жидкости, получим ~ д (х — у) Ч„ ч',(у)с()г = О. (9.
11) Это уравнение при помощи равенства (9.8), в котором а! заменено на ч, а а' на ч', можно записать в виде Ч„~е (х)зт (х)] ~ ~ и ° ч'(у, !) д(х — у) с(5. (9.12) 5 Используем уравнение (9.9), в котором замена а' постоянным единичным вектором дает равенство — е!(х, !) = — ~ ~ пр чр(у, Г)д(х — у)д5. (9.13) ер Если сложить уравнения (9.12) и (9.13), то их правые части взаимно уничтожаются, так как в любой точке поверхности жид- У.4. Основные уравнение, онисываюсиие течение двухфазной среды 288 кости ч' = ч'.
В результате имеем р' де!/д! + ч ° е1ч! = О. (9.14) Это и есть искомое уравнение неразрывности, выраженное через осредненные характеристики жидкости. Аналогично можно получить соответствующее уравнение неразрывности для фазы частиц из микроскопических уравнений: дер/д! + ч ерчр —— О. (9.!5) Здесь и ниже индекс при операторе (7 опускается, если уравне- ние справедливо как для точки х, так и для точки у.
Осредненные уравнения магнитостатики Нам нужно вывести аналогичные феноменологические уравнения для векторов магнитного поля. Напомним, что вектор магнитной индукции в каждой точке удовлетворяет уравнению '(г В = О, поэтому в каждой точке жидкой или соответственно твердой фаз имеют место уравнения Рв В! — О и Че В,— О. (9.!6) Согласно уравнению (9.4), осредненные векторы магнитной индукции В!(х) жидкой фазы и Вр(х) фазы частиц определяются соответственно следующим образом: е В = — ~ В' (у) д (х — у) с()т, (9.17) У! е В =— ~ В'(у)д(х — у)<Л1. (9.!8) Дивергенцию векторов е!В! и ерВр можно найти аналогично тому, как это делалось при выводе выражения (9.8); в результате получим т ° (е В ) — ~ д(х — у) ч„В'(у) Л" -1- Е + ~ ~ и В'(у) д(х — у) с(Я, (9.19) ер ч„° (е В ) = ~ и (х — у) ч„° В' (у) с()т— ~ п .
В'(у)д(х — у)ИЯ. (9.20) е У. Движение магнитных двухфазных систем  — е~Вг + ерВр', (9.21) при таком осреднении учитывается объемная доля фаз жидкости и частиц в смеси. Сложив уравнения (9.19) и (9.20), получаем уравнение 7 ° В = О. (9.22) Это уравнение имеет точно такой же вид, как и уравнение Максвелла для сплошной среды. Аналогичным образом можно рассмотреть осреднение векторов магнитного поля; для микроскопических величин имеют место уравнения 7у)~ Н~ — 0 и 7у)~ Нр — 0 Согласно выражению (9.4), осредненные векторы поля определяются формулами е Н = ~ Н'„(у)д(х — у) е()г, У1 е Н = ~ Н' (у) д (х — у) ейl.
(9.25) У Используя определения (9.24), (9.25), найдем 7„)(е Н = ~ д(х — у)7„Х Н'еЛ/ — ~ 7„)( ~д(х — у) НД Л" = У~ Уг = ~ д(х — у) и К Н' е(5, (9' 26) в, а также 7, )( е Н = — ~ д (х — у) и )( Н' е(5. (9.27) 5 Здесь была использована теорема о дивергенции для преобразования интеграла по объему к интегралу по поверхности, в подынтегральном выражении которого содержится векторное произведение с единичным вектором нормали; использовались Если сложить уравнения (9.!9) и (9.20), то их последние слагаемые взаимно уничтожатся, так как в каждой точке поверхности раздела фаз и В'=и В'. Кроме того, из уравнений (9.16) следует, что первый член в правой части обоих уравнений равен нулю.
Вектор средней индукции В можно определить равенством 9.4. Основные уравнения, описывающие течение двухфазной среды 291 также уравнения (9.23). Так как тангенциальная компонента магнитного поля непрерывна на поверхности раздела и так как только эта тангенциальная компонента фактически входит в выражения и ,й Н' и и К Н', то при сложении уравнений (9.26) и (9.27) получим ЧХН=О, (9.28) где Н вЂ” осредненное значение вектора поля в двухфазной смеси, определенного формулой Н =е1Н1+ евНр. (9.29) Дру (!981) вывел уравнения (9.22) и (9.28) осреднением с по- мощью фаз-индикаторной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
