Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 52
Текст из файла (страница 52)
При осреднении возникает трудность, связанная с нелинейностью выражения, в которое входит произведение двух микроскопиче- ских величин. Для практического применения рассматривае- мого выражения нужно ввести соотношение, выражающее (реМрТН,У через намагниченность псевдоожиженного слоя М, которая в нашем случае равна ерМ, и среднее магнитное поле Н. Для силы 1 р, представляющей пространственно осреднен- ную магнитную силу, рассчитанную на единицу объема, введем следующее определяющее уравнение, по возможности самое простое; $ г = ер (1хеМрЧН ) = (хеМЧН.
(9т40) Если газ намагничивается, то нужно также ввести плотность магнитной силы 1 ь действующей на фазу газа. 9.5. СВОДКА ОСРЕДНЕННЫХ УРАВНЕНИЙ Приведем сводку системы пространственно осредненных уравнений, описывающую динамику двухфазной системы, полученных в предыдущих разделах: 9.5. Сводка оередненнрее уравнений 297 (9.43а) (9.43Ь) Определяющие уравнения: для силы взаимодействия фаз газа и частиц: (1, = е!б (е!) (ч! — ч ) — р!Че1, для тензора напряжений осредненной текучей фазы: т1= — р!!' (9.46а) для тензора напряжений твердой фазы: т,= — р,); (9.46Ь) для силы, действующей на немагнитную несущую фазу: ! =О; (9.47а) для плотности магнитной силы: $,„р = рвМЧН = геееоМоЧ(е!Н!+ воНо)' (9 47Ь) для давления в фазе частиц в пренебрежении контактными силами: Рр = Р!.
(9.48) Величина р(е1) — коэффициент трения, определяющий величину силы вязкого трения в единице объема системы, возникающей из-за относительного движения несущей среды и твердой Уравнения неразрывности: де!/дг + Ч е!ч! = О, (9.4(а) део/д1+ Ч ' еочо = О. (9.4! Ь) Уравнения движения: Р!е1(дч!/д!+ч! ° Чч1 )= Ч (и!Т!) — $!о+е!Р!и+ 4 1, (9.42а) роно (дчо/д1+ чо Ччо) =Ч ° (ерТр) — (о! + ерррег+ ! „.
(9,49Ь) Следствия определений: 4„+ !„=О, е!+е = !. Уравнения магнитостатики: ЧХВ=О, где В =в!В!+ ерВр (9 44а) ЧХН=О, Н =е!Н!+ е Н, (9.44Ь) В = рв(Н + М), М =е!М!+ е М . (9.44с) Приведем также сводку наиболее простых определяющих уравнений, замыкающих систему уравнений из законов сохранения и уравнений магнитостатики. 298 У. 7(винсенне магнитных двухфазных систем фазы в системе с однородной пористостью. Параметр (з(ег) при отсутствии намагниченности хорошо изучен в механике неподвижных слоев; ниже будет дано частное выражение для ))(ег). Как отмечалось в разд.
7.8„система уравнений„описывающая многофазную среду, включает в себя как частный случай уравнения, описывающие течение Дарси магнитной жидкости в пористой среде. Подставив определяющие уравнения (9.45) — (9.48) в уравнения движения фаз с учетом условия рг = О, получим уравнения, которые будут использоваться при исследовании псевдоожижения магнитных частиц газом с пренебрежимо малой плотностью: ЧрГ + 8 (ет) (чр — ч ) = О, (9.49) еррр(дчр(дГ+ ч, ччр) = — ертрГ+ еГ8(ег)(чà — чр)+ + еррря+ роерМрт7Н (9 50) 9.6. НАМАГНИЧЕННЫЕ ПСЕВДООЖИЖЕННЫЕ СЛОИ ИЗ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ Теперь можно приступить к анализу динамики и устойчивости намагниченных псевдоожиженных слоев. Проводимый здесь анализ является обобщением рассмотрения немагнитных ир «о Рис. 9.8.
Обозначения, используемые при анализе устойчивости псевлоожиженной системы из магнитных частим. слоев Андерсона и Джексона (Апдегзоп, )ас(своп, 1968). Смысл обозначений, используемых при анализе, ясен из рис. 9.5. Для простоты будем предполагать, что анализируемая система неограниченно продолжается во все стороны. Течение газа направлено вверх против силы тяжести.
Через систему распро- 9.6. Намагниченные асевдоожиасенные слои ив твердых частиц 299 страняется волна возмущения с волновым вектором (с, направленным под углом у к направлению течения. На систему наложено внешнее магнитное поле Но, составляющее произвольный угол О с направлением распространения волны. Хотя сам газ и материал твердых частиц с хорошей точностью являются несжимаемыми, их смесь имеет переменную массовую плотность из-за переменной объемной доли твердых частиц в смеси.
В рассматриваемой здесь волне возмущения имеется пространственное изменение объемной доли газа. Решение для стационарного состояния системы в однородном магнитном поле Получим простое решение, описывающее состояние однородного псевдоожижения системы; для этого положим чр =чо= !оо, ч =О, ес= во ер — — 1 — е,, Н = !4о= !ооо й% =й%о=(оЛМо В = Во= !оВо (9.51) Чр! о+ Оочо —— О, — (1 — ео) Чрбо+ еойочо+ (1 ео) ррК = О Исключая из этих уравнений рь о с учетом, что вектор чо направлен противоположно силе тяжести я, получим ро (ео) оо — (1 — ео) Рря = О. (9.54) Если р является известной функцией е, то уравнение (9.54) определяет однородную пористость системы ео по скорости газа чо. Исключая скорость из уравнений (9.52) и (9.53), получаем выражение для величины градиента давления газа ! Чр! о! = (1 — ео) рря.
(9.55) где ! — единичный вектор в вертикальном направлении (против силы тяжести); 1о — единичный вектор в направлении приложенного поля; оо, ео, Но и Мо — постоянные. Таким образом, уравнения (9.51) описывают случай, когда осредненная скорость газа постоянна как в пространстве, так и во времени и направлена вертикально вверх, средняя скорость частиц всюду равна нулю, объемная доля газа однородна и не зависит от времени и напряженности магнитного поля.
Магнитная индукция и намагниченность системы также однородны в пространстве. Уравнения неразрывности (9.41), как и уравнения магнитостатики (9.44), удовлетворяются тождественно, а уравнения движения фаз газа и твердых частиц (9.49) и (9.50) сводятся соответственно к уравнениям (9.52) (9.53) зоо у. движение магнитных двухфазных систем Очевидно, что давление имеет однородно распределенный градиент и равно весу частиц слоя, приходящемуся на единицу площади поперечного сечения слоя.
В результате мы получили экспериментальный факт, что при начинающемся псевдоожижении перепад давления в слое как раз такой, чтобы выдержать вес частиц слоя. Кроме того, видно, что однородное внешнее магнитное поле независимо от его направления или величины не влияет на стационарное решение. Перед тем как продолжить анализ, нужно конкретизировать коэффициент йо(ео) в рамках определенной модели о взаимном трении частиц и газа. Будем использовать хорошо известное уравнение Эргуна, определяющее силу трения при течении газа сквозь слой из плотно упакованных частиц: 6(е)=К~(1, '1 +,' й(я,1, еоо ~ео (9.56) где А(яе = 1)еоорг/т)1 К = 1569,(В„ (9.57) (9.58) а й — эмпирическая постоянная со значением 85,7. Величина АГя, — число Рейнольдса, рассчитанное по диаметру частицы Ое, по — сквозная скорость газа, рг — плотность газа и т)1 — вязкость газа. В приближении невесомого газа величина йгя, тождественно равна нулю, и второе слагаемое внутри скобок в уравнении (9.56) отсутствует.
9.7. УСТОР(ЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ Теперь рассмотрим в рамках линейного анализа устойчивость стационарного решения по отношению к слабым возмущениям (Козепэке(й, 1979с). Возмущения объемной доли газа, которые растут во времени, являются возможными предвестниками пузырьков в псевдоожиженных слоях.
Здесь сделана оговорка «возможными» потому, что для выяснения действительной судьбы растущего возмущения нужен нелинейный анализ. Тем не менее линейный анализ устойчивости позволяет получить необходимое условие, при выполнении которого система является устойчивой. Наличие возмущений объемной доли газа приводит к искажению первоначально однородного магнитного поля, поэтому можно предвидеть, что в системе появятся объемные магнитные силы, которые повлияют на условие устойчивости системы. 9.7. Устойчивость стационарного решения зо! Вывод линеарнзованных уравнений Представим каждую величину в виде суммы ее значения в системе с однородным псевдоожижением и малого возмущения: е! = во+ е! Р! = Рб о+ Р! ч! чо + ч! 1пе + ч! чр О + тч! чг Н = Но+ Н! = !сНс+ Н!, М вЂ” = Мг+ М! = 1смо+ М!, (9.59) В— = Вс+ В, =: !Во+ Вь Возмущения предполагаются малыми н гладкими функциями, меняющимися как в пространстве, так н во времени, поэтому все их производные также малы.
Лннеарнзованные уравнения можно получить подстановкой выражений (9.59) в уравнения (9.41а), (9.4!Ь), (9.49) н (9.50) с учетом стационарного решения (9.54) . Пример лннеаризацнн. Согласно (9.41а), общее пространственно осредненное уравнение неразрывности для фазы газа имеет внд де!/д! + т7 ° (егч!) = О. Линеарнзуем отдельно каждое слагаемое с точностью до членов первого порядка малости следующим образом: де! д(ее+ е,) де! от сп сн егч! — — (ее + е,) (чс + ч,) = е,ч, + е,ч, + е,ч,.
Учитывая, что величина е,чо постоянна, получим Ч (егч!)=егт7 ч, + чо те! =ест ч, + поде/дх. Подставив линеарнзованные слагаемые в исходное уравнение, получим линеаризованное уравнение неразрывности для фазы газа де!/д!+ поде,/дх+ е,ч ч, = О, (9. 60) Аналогично легко показать„ что лннеарнзованное уравнение неразрывности для фазы частиц имеет вид — де!/д! + (! — е,) ч тч! = О. (9.61) В это уравнение входит малое возмущение скорости частиц тч!, которая появляется, например, прн прохождении волны в системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
