Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 53
Текст из файла (страница 53)
302 у. движение магнитных двухфазных систем Линеаризованное уравнение движения газа следует из уравнения (9.49); оно получается не так элементарно, как линеарнзованное уравнение неразрывности, и имеет вид Чр, + Оо (тт, — тат,)+ еКчв — — О, (9. 62) где Ов= 5(гев) и Ос=в (сф/с(е)о Сложнее всего выводится четвертое уравнение — линеаризованное уравнение движения фазы твердых частиц, соответствующее уравнению (9.50), из-за последнего слагаемого с намагниченностью.
Для преобразования этого слагаемого к нужному виду представим величину поля О при помощи формулы бинома следующим образом: О=~ Нв+ Н ~=((гЧв( + Н~) (те в(в+ Н Н ~ = =(Нет+ 2И,Н, (в)цг+ члены более высокого порядка= = Оо+ Н~ ' (о. (9.63) Аналогично м = мо + мг ' (о. (9.64) После некоторых алгебраических выкладок получим следующее линеаризованное уравнение движения фазы твердых частиц: Р (( — ав) дту /д1 = !йр в, + ро(ч, — туг) + тгорое~+ Нол4оу (Н1' (о) (9.65) где градиент давления р, был исключен при помощи уравнения (9.62). т Х Н, =О, ст В,=о, в,=пв(м,+н) Исключив Вь получим систему из двух уравнений: т ХН,=О, Ч.
Н,= — тт Мо (9.69) (9.70) Линеаризованные уравнения в случае плоских волн Для решения системы линеаризованных уравнений (9.60)— (9.62) и (9.65) нужно иметь соотношение, связывающее слагаемое с намагниченностью уравнения (9.65), содержащее неизвестную величину Нь с независимыми параметрами системы. Это соотношение, которое мы сейчас выведем, имеет вид (9.84). Сначала выпишем уравнения магнитостатики для малых возмущений Н1 и МН (9,66) (9.67) (9.68) 9.7.
Устойчивость стационарного решения зоз Теперь нужно намагниченность выразить через возмущения величин. На рис. 9.6 поясняются некоторые дополнительные обозначения для величин, связанных с кривой намагничивания частиц системы. Намагниченность насыщения частиц слоя равна Мр,, Величина Мо, равная намагниченности невозмущенной системы, рассчитанной на единицу объема, вычисляется по формуле Мо=(1 — ео)Мр,о=(1 — во)уоНо Для нас представляют Рис.
9.6. Магнитные параметры частиц в слое из материала, намагничивающегося нелинейно и обнаруживающего насыщение. интерес следующие магнитные параметры, харктеризующие величину наклона кривой намагничивания по касательной и по хорде. Дифференциальная восприимчивость = 11 =(дМ (дН)„„(9.71) Хордовая восприимчивость = Х, = М, 4 Но.
(9.72) Согласно определению 2, малое изменение поля бН приводит н малому изменению намагниченности бМр,,— — 116Н. Из уравнения (9.63) следует, что ЬН=Н вЂ” Н,=-Н, 1о, поэтому величина намагниченности Мр определяется по формуле М, (Н) = М... (Н,) + 2 (Н, 1,). (9.73) Дальше будем предполагать, что намагниченность слоя М параллельна локальному полю Н, поэтому из уравнения (9.44) с учетом Мг =О следует М = виМиН/Н, что справедливо для частиц слоя из мягкого ферромагнетика. Исключив Мр при помощи соотношения (9.73), а Н при помощи (9.63) и оставив 304 9.
Лвижение магнитных двухфазных систем только члены первого порядка малости, получим следующее со- отношение для вектора возмущения намагниченности Мн ' ~Н, — (1о. Н,) (1 — Х ) 1о~ — е~(о. (9.74) Это соотношение показывает, что, хотя векторы М и Н все время параллельны, возмущения М, и Н, таковыми не являются. Взяв дивергенцию от уравнения (9.74) и учитывая определение (9.70), получим уравнение, связывающее поле Н, с возмущением объемной доли немагнитной фазы вн ( —, + 1 — ео) ™~ = (1 — ео) ( 1 — — ") 1о Ч (1о Н1) + Но Чео 1 (9.75) Произвольное возмущение, как обычно, можно представить в виде суммы мод Фурье. Поэтому можно не искать общее решение уравнения (9.75), справедливого для любого распределения объемной доли газа, так как мы будем иметь дело только с возмущениями в виде гармонических мод.
(Окончательное решение имеет вид (9.84).] Предположим, что в смеси частиц и газа в некоторый момент времени спонтанно возникает пакет волн концентрации твердых частиц бесконечно малой амплитуды. Из-за линейности уравнений эволюцию каждой компоненты Фурье можно рассматривать отдельно. Благодаря этому движение волны возмущения сквозь смесь и изменение со временем ее амплитуды можно описать аналитически. Если амплитуда волны растет экспоненциально, то однородное распределение частиц, как говорят, будет неустойчиво по отношению к данной моде. Итак, рассмотрим распространение плоских волн следующей формы: (9.76) е, =е~Е, Н,=Н,Е, (9.77) где Е = ехр (з1) ехр (1й .
х), (9.78) а е1 — амплитуда возмущения объемной доли газа, Н, — постоянный вектор, который нужно будет яайти, й — волновой вектор плоской волны, х — радиус-вектор (й . х = й„х+йиу+й,з). Так как решение для поля должно удовлетворять закону Ампера в форме (9.69), то 0 = Ч )С Н, = ЕЧ Х Й, — Й, ХЧ Е =- — (ЕЙ, Х й, (9.79) следовательно, Й, хй=о. (9.80) 9.7. Рстойнивосто стичионарного решения 305 (9.85) (9.87) причем здесь при переходе от третьего равенства к четвертому в (9.87) и от первого равенства ко второму в (9.88) использовалось стационарное решение (9.54).
Снова собрав все члены Это соотношение показывает, что вектор Й, параллелен вол- новому вектору !с. Если й, — единичный вектор вдоль волно- вого вектора )с, то произведение 1о Н, в (9.74) можно заме- нить выражением ЕЙ! сов 8, где Й, — модуль вектора Й„ а угол 0 определяется формулой 0 = агссоз (1о йо). (9.81) Подставив в уравнение (9.75) выражения для е, и Й, из (9.76) и (9.77), найдем следующее решение для Й,: Й,(Мр ве, =а/сов 0, (9.82) а— ! + (! — ео) (! — совр В) Хо+ Х (! — ео) совр В ' (9.83) С учетом результата (9.82) слагаемое с намагниченностью в уравнении (9.65) принимает вид роМо т (Н, .
1 ) =- (с а (1 — е ) М' тес (9.84) Теперь можно сформулировать уравнение в частных производ- ных для возмущения объемной доли газа е!. Для этого надо уравнение (9.65) разделить на р, взять от него дивергенцию и подставить выражения для !Г те! и %' и! из уравнений (9.60) и (9.61). Выполняя эти операции для каждого члена уравнения по очереди, получим дто, д дте, т ° [(1 — е ) — '=. — [(1 — ег) т7 пг ] = —, д! д! дгг !г (1де ) =-1д (ге, =-йс — '= ~ — 1ео д (9.86) (Г ° ( — (и, — тч,)1= — (Ч ч, — р пг,) = Г Во 1 Во 1Р.
! Рр Во т' 1 де, 1 де, ! де,~ — — — — — — О рр х ео д! е, о дх ! — ео д! Во де~ Восо де, ррео (! — ео) д! Ррео дх й де, в (1 — ео) де, еооо д! ео дх т / т Г Во ~ Во роро де! Во де, (Г ° ~ — пое,х! = — по ° Че, = — — = д (1 — ео) — —, (9.88) р, ' ' Р, ' ' р, дх Вр дх' т7 !с — ' (хоа (! — ео) Че! ~ = (оса (1 — ео) — ' р. о Мр,о (9.89) Рр Рр зов У. Движение магнитных двухфазных систем вместе, получим уравнение в частных производных для возмущения объемной доли газа еп г де~ д де~ д Г в 1 — + = — + — 1ь! — 2ео ео (1 ео) дго ио дг ео 1. Во3 дх — 1х п(1 — е ) в' 'тге, =О, (9.90) Рв где йо = еопо — средняя скорость газа в псевдоожиженном слое.
Это уравнение аналогично уравнению (19) работы (Апс(егзоп, ,)аскзоп, 1968) с учетом того, что плотность газа равна нулю, а в коэффициент при %ге, подставлено выражение с намагниченностью. Уравнение (9.90) описывает распространение плоской волны возмущения в системе, когда осредненное течение направлено вдоль осн х, а внешнее поле ориентировано под углом 8 к направлению распространения моды возмущения. В рассматриваемой здесь теории это уравнение — ключевое соотношение.
Если формально положить у = О, то второй и третий члены уравнения исчезнут; то, что останется, составит классическое волновое уравнение, решение которого дает волны с нерастущей н незатухающей амплитудой. Если пренебречь первым членом уравнения (9.90), то получим уравнение конвективной диффузии. Так, если величину е, рассматривать как концентрацию диффундирующей примеси, то это уравнение описывает распространение примеси, инжектированной в качестве метки при течении в трубе. Когда отсутствует третий член, уравнение (9.90) сводится к телеграфному уравнению. В этом случае ео можно рассматривать как величину тока или напряжения вдоль линии электропередачи без потерь с распределенной емкостью и магнитным сопротивлением; здесь нет роста нлн затухания передаваемого сигнала.
При отсутствии намагниченности последний член уравнения исчезает, а получающееся уравнение описывает обычные псевдоожиженные слои. Когда в уравнении присутствуют все слагаемые, оно, по-внднмому, не позволяет провести аналогию с хорошо известной физической задачей, поэтому для получения ясного физического представления о процессах в псевдоожиженном слое его нужно решить. Общее решение для возмущения объемной доли газа В общем случае величина з в уравнении (9.78) является комплексным числом и может быть записана в виде е — = $ — гт(. (9.91) Тогда уравнение (9.78) примет вид Е=ехр(эс)ехр1((й х — т(!)1. (9.92) 9.7. устодчивосто стационарного решения 307 где (9.97) (9.98) (9.99) (9.100) (9.!01) А = е,/(1 — ео), ео л ео до С =- 1 — 2е — е [1 — е ) [й'/й ), Ь = (й,/ео) /г соз у, /=- р,в(ео/р,) М', ой'. Здесь у — угол между направлением течения и волновым век- тором й, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
