Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Если а = а„1+ ае) + а,1с и Ь = Ь„1+ Ь„1 + Ь,1с, то аЬ = а„Ь,11+ + а„беЦ вЂ” .... Диады в общем случае не коммутативны: аЬ Ф Ьа. Скалярное произведение а. Ь, векторное произведение аХЬ и диадное произведение аЬ представляют собой три типа произведения, которые можно образовать из двух векторов. Диадиком 0 называется конечная сумма диад: О=а,Ь, + + азЬт+ ...
+ а„Ь„. Соответствующий транспонированный диадик определяется как Рт=-Ь,а, + Ь,а,+ ... + Ь„а„. Диадик Р симметричен, если Р = От, и антисимметричен, если Р = — Рт. Любой диадик 0 можно представить в виде суммы: 0 = О, + Р„где О, = (Р + От)/2 — симметричная часть диадика и О, =(Π— От)/2 — антисимметричная часть диадика. Из диадика Р можно образовать скаляр зса Р а, . Ь, + + аз Ьз+ ... и вектор чес 0 — = а, Х Ь! + аз Х Ьз+ . Свертки вектора ч и диадика 0 определяются по формулам ч 0— = (ч а)Ь +(ч ат)Ьт+ ...
и 0 ч а (Ь, ч)+ + аг(Ьт ч)+ .... Векторные свертки ч Х 0 и 0 Х ч определяются аналогично. Прнлозсение С Сводка векторных и тензорних обозначений 325 Диадик ! называется единичным диадиком и записывается в виде ! = 0+ Ц + (г(г. Единичный диадик имеет свойство ! ч=ч 1=ч для любого вектора ч. В тензорном анализе ! играет роль, аналогичную роли 1 в арифметике. Свертка диад аЬ и ст! определяется, согласно правилу «изнутри наружу» (пез(!пн сопчеп()оп), по формуле аЬ ст! = =(Ь с)ат!. Это правило при вычислении кратных сверток диадиков показывается на примере: (аЬ) Х(ст!) =(а с!) (Ь Х с). Из тензора Т можно образовать скаляр, называемый следом тензора Т и равный сумме диагональных элементов Т: 1гТ=Ти — — Тп+ Тм+ Т„. След тензора является инвариантом, т.
е. величиной, не зависящей от выбора направления осей системы координат. Принято записывать свертку Т Т в виде Тз, Т. Т' в виде Тз и т. д. Тензор Т имеет три независимых инварианта, включая (г Т. В качестве двух других инвариантов могут быть взяты (гТ' и (гТ'. Абсолютной величиной тензора называется величина ~ Т ~= ~/(Т: Тт)/2.
Абсолютная величина симметричного тензора совпадает с инвариантом 1/((г Тз)/2. Альтернатором называется полиадик е е;е~еьемы где величины е,гн определены в равд. 8.6. Некоторые свертки с альтернатором называются дуалями. Для вектора А бпа!А — е А= = — ! ХА; для теизора 0 бпа! 0 = — (е: О)/2=(! Х О)/2. Векторные тождества (АХВ) С=А'(ВХС)=(С ХА) В АХ(ВХС)=В(А С) — С(А.В), (АХ В) (СХР)=(А С)(В Р) — (А 0)(В "С), 7ХЧр=б, Ч . (Ч Х А) = (), Ч (тр,<рз) =тр. Чтрз + <рзЧ~рь 7 ° (~рА) = ~рЧ А + А ° 7%, Ч Х (ЧА) = 77 Х А + Ч~р Х А, 7(А В) =А ЧВ+ В.ЧА+ АХ(ЧХВ)+ ВХ(7 ХА) Ч (АХ В)=:В (7 ХА) — А (7ХВ), Ч Х(АХ В) =А(7 В) — В(7 ° А)+ В ЧА — А.
7В, 7 Х (7 Х А) = 7 (Ч ° А) — 7«А, А ' ЧА = Ч (А ' А)/2 — А Х (Ч Х А) Ч. (Чр, ХЧ,р,) =Ю. 326 Приеоиеения Тензорные тождества АВ С=А(В С), А ° ВС =(А В) С, 7 ° (АВ) = А ° 7В+ В(7 ° А), А Т=Тт. А, 1 А=А !=А, 7 (р1)=7<р, 7 ° (~рТ) =<р7 ° Т+ 7<р ° Т, 7 Т,= — '/т7ХА, где Т,=(Т вЂ” Тт)/2 и А=чесТ.
Здесь А, В, С вЂ” произвольные векторные функции и Т вЂ” про- извольная теизориая функция. Интегральные теоремы 1. Теорема о дивергенции о (а) для векторов ~ 7 Ад)г=$ А й$, (Ь) для тензоров ~ 7 ° ТсЛ/=$ д8 Т, (с) следствия ~ 7трй)г=$ тра3, 7 Х АдР'= $ йВ ХА. 2. Теорема Стокса: ~ (7 Х А) ° й8 = $ А й1. 3.
Теорема переноса Рейнольдса для дифференцирования ин- теграла по объему: и ~ар "1 ~ вг й~ + з'фч' 4. Теорема переноса для дифференцирования интеграла по поверхности: — ~ А ° НЯ = ~ ~ — — А 7ч+ А(Ч ° ч)1 НБ = — + ЧХ(АХч)+ ч(7 А)1 й8. о Эта теорема обычно называется теоремой Гаусса — Остроградского.— Прим.
иерее. Прилоясение 2. Применение тенвора максвелловскил нанряасений 327 5, Теорема переноса для интегралов по линии: и ~ А'д1= ~( и +А' т7ч) 'д1. Замечания и дополнительная литература Источником здесь является книга (ЫЬЬз, %1!гоп, 1909), основанная на лекциях Дж. Уилларда Гиббса. Ясное введение в векторный и тензорный анализ имеется в книге (Мазе, 1970).
Аналогичный материал см. в книге (В(гб, 51ецаг(, (лдЬ!!оо(, 1960). Для изучения на более высоком уровне можно использовать руководства (Аг(з, 1962) и Борисенко и Таранова (1978). ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРА МАКСВЕЛЛОВСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ: АНАЛИЗ ПЛОСКОЙ СТРУИ Методы решения задач при помощи интегральных формулировок с использованием тензора максвелловских напряжений хорошо иллюстрируются на примере задачи о плоской струе (рис. А2.1). Такие струи часто возникают в распыляющих насадках, источниках, течениях пленок и т. п. Форма плоских струй существенно определяется условиями на краях струи, где образуются валики, в которые жидкость стремится собраться, если неприняты некоторые меры, чтобы струя двигалась недеформированной, например при помощи проволочных направляющих.
На рис. А2.2 изображено поперечное к осевой скорости сечение струи. Дж. И. Тейлор (О. 1. Тау!ог, 1959с) при помощи уравнения баланса импульса для контрольного объема, ограниченного поверхностями 1 — 2 — 3 — 4, вывел выражение для скорости края струи, когда приложенное поле равно нулю. Мелчер (Ме!- сЬег, 1978) обобщил модель Тейлора, чтобы вывести скорость сжатия струи, когда этот процесс сдерживался электрическим полем.
Здесь анализируется течение плоской струи в магнитном поле. На рис. А2.2 показано, что линии магнитного поля, порождаемые противоположно направленными магнитными брусками, входят в плоскую струю, которая считается состоящей из жидкости с большой магнитной проницаемостью. Заметим, что в области справа на рисунке, где нет струи, магнитное поле отсутствует, так как магниты расположены так, что одноименные полюса находятся друг против друга.
Картина магнитного поля около струи имеет сложный вид; к счастью, детальная картина распределения поля здесь неважна. Прилоясения Положение закругленного края струи с координатой х, как показано на рис. А2.2, для наблюдателя, движущегося вместе со струей со скоростью п„является функцией времени т. Выведем уравнение баланса импульса (в проекции на ось х и в расчете на единицу длины контрольного объема вдоль оси струи) для контрольного объема с плоскими поверхностями 1 — 2 — 3 — 4. Если М вЂ” масса закругленного валика на краю Ще Рис. Агд. Свободная плоская струя с постоянной толщиной Г и осевой скоростью о„выходящая из щели. Силы поверхностного натяжения уменьшают ширину струи.
струи в момент времени т, то за бесконечно малый промежуток времени г(т масса валика увеличится на бесконечно малую величину г(М. Проекция на ось х импульса вещества внутри контрольного объема в момент времени т равна Р(т)=Мо, где и„— проекция на ось х скорости края струи. В следующий момент времени т+ дт импульс будет равен Р(т+ с(т) = = (М+ с(М) (о„+ г(о„), где о„+ г)о„— скорость закругленного валика струи с приращением массы с(М. Таким образом„бесконечно малое изменение импульса в первом порядке, очевидно, равно г(Р =Мдо + охг(М = с((Мо ).
Закон сохранения импульса требует, чтобы скорость изменения во времени проекции импульса на ось х равнялась полной силе Р, действующей на контрольный объем вдоль оси х: (А2.1) На контрольный объем действуют сила поверхностного натяжения 2о1, направленная вдоль положительного направления оса Приложение 2.
Применение тензора максвелловсних напряжений 329 ~~и й) и и и Г' х(т)— ! Рис. А2.2. Половина сечения плоской струи; течение в струе перпендикулярно плоскости рисунка. х, и магнитная сила Г , распределенная по поверхности 4 контрольного объема и. (Отметим, что сила, действующая на поверхность 2, равна нулю, так как поле здесь пренебрежимо мало, а магнитные силы, действующие на поверхности ! и 3 (согласно рис.
3.7), направлены вдоль оси у и, следовательно, не входят в проекцию уравнения импульсов на ось х.) Сила Г легко находится сверткой вектора и — единичной нормали к поверхности 4 с тензором максвелловских напряжений Т (3.15): Р = 2Ь (! ' Т) = 2Ы ' ()зоН Н вЂ” '/з)зоН~!) (А2.2) где Н = ~ Н!. Таким образом, магнитная сила Г определяется формулой Г = — )з НзЫ; (А2.3) и Можно показать, что магнитная сила, действующая на сечение струн, образованное ее пересечением с плоской поверхностью 4 контрольного объема, равна нулю.
В этом можно убедиться, вычислив тензор напряжений в магнитном поле, например, по уравнению (4.29) для вещества струи с такой большой проницаемостью, что П в нем близко к нулю. ззо Приложения ее направление противоположно оси х. Подставив выражения для сил в уравнение (А2.)), получим уравнение движения края свободной плоской струи: — (М вЂ” ) =2о — р НеЬ=Р и' / аль ит(. в ) (А2.4) Из уравнения (А2.4) видно, что поверхностное натяжение стремится сблизить края струи, тогда как магнитная сила ослабляет эту тенденцию.
Пока г" ) О, т. е. пока сила поверхностного натяжения больше магнитной силы, края струи в виде валиков сближаются. Из проведенного анализа следует, что возможно остановить сближение краев струи (Р = 0) и даже обратить их движение (г ( 0) . Интегрируя один раз уравнение (А2.4), получим Мол (Мол)0 (А2.5) 1 аале р — — = — т. 2 йе Рг (А2 5) Интегрируя уравнение (А2.6) с учетом условия х = 0 при т = О, получим х = 1/Р/Р~ т = 1/(2а — МеН'ЬУ(Р1 т. (А2.7) Скорость перемещения края плоской струи постоянна и опреде- ляется формулой о„= — „= ~/Р/р1 = х/т. (А2.8) Применение интегральной формулировки закона сохранения импульса в этой задаче о плоской струе аналогично применению интегральных формулировок для импульса в обычной гидродинамике, например при приближенном анализе роста толщины пограничного слоя или истечения из отверстия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
