Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 54
Текст из файла (страница 54)
9.5: у = а ге соз (1. Й). (9.! 02) Отметим, что параметры А, Р и С зависят от характеристик не- возмущенной системы, тогда как параметры Ь и / зависят от величины волнового вектора й. Величина !г =й х — т!г — фаза волны; для решений в виде плоских волн фазовые поверхности Й = соне! являются параллельными плоскостями. Градиент !с совпадает с волновым вектором й, направление которого перпендикулярно фазовым плоскостям, а величина [й[= й равна числу гребней волны, приходящемуся на 2п единиц длины вдоль его направления.
Длина волны Л плоских волн имеет величину Л = 2п//г. Из выражения !! = й [й, . х — (П/и) !) = й [х — (т(//г) гй„] следует, что фазовая скорость определяется формулой Чр —— (Ч/й) йо. (9.94) Зависимость Чр от й означает, что волны с разными волновыми числами имеют разные фазовые скорости; такое явление называется дисперсией. Вещественная часть $ величины з определяет скорость роста или затухания волны со временем. Если $ положительно, то возмущение со временем растет и состояние системы с однородным псевдоожижением неустойчиво; если й отрицательно, то возмущение, наоборот, затухает и однородное состояние системы устойчиво.
Параметр $ называется показателем роста. Длину роста волны можно определить соотношением сок — = т)/ь/г. (9.96) Эта величина определяет расстояние, пройдя которое волна увеличивает или уменьшает свою амплитуду в е раз; рост или затухание волны указывается знаком величины $. Подставляя в уравнение (9.90) выражение для ео в плоской волне (9.76), получим алгебраическое уравнение е~ [Азо + Рз + (/+ !ЬРС)) = О, (9,96) у, движение магнитных двухфазных систем Уравнение (9.96) удовлетворяется, если е,=О, (9.103) или Аз'+ Рз + () +!ЬРС) = О. (9.104) Если уравнению (9.104) можно удовлетворить, то существует нетривиальное решение с е~ чьО системы уравнений (9.60)— (9.62), (9.65).
Кроме того, у системы из этих уравнений может быть нетривиальное решение, не удовлетворяющее уравнению (9.104), но удовлетворяющее условию ег =О, соответствующему однородному и не меняющемуся в волне распределению частиц. В последнем случае из уравнений неразрывности (9.60) и (9.61) следует, что (9.105) т ° ч, = т ° иг, = О. Представим скорости ч, и хч1 через их выражения в нормальных модах: ч, = ч, ехр (зг) ехр (гй .
х), (9.106) м~, = эч, ехр(зГ) ехр(гй х); (9.107) тогда получим (9.108) й ° ч, = й ° тч, = О. Это соотношение показывает, что возмущения скорости перпендикулярны волновому вектору; для немагнитного течения этот факт отмечался Андерсоном и Джексоном (Апс)егзоп, )ас)своп, 1968, р. 15). Такие поперечные волны не создают возмущений объемной доли газа и, следовательно, не представляют для нас большого интереса. Мы ограничимся рассмотрением решений, соответствующих корням уравнения (9Л04). Уравнение (9.104) — квадратное относительно е; вещественные и мнимые части обоих корней уравнения находятся элементарно.
Умножив обе части уравнения (9.!04) на 4А)Рг и введя для краткости обозначения а= — 2А7Р, (9.109) з = — 4А!(Р', (9.110) г7 = — 4АЬС(Р, (9.111) запишем это уравнение в виде (аз -(- 1)е = 1 — з — !гт. (9.!12) Теперь можно при помощи теории комплексного переменного получить вещественные и мнимые части обоих корней уравне- У.7. Устойчивость стационарного решения 309 ния; они имеют вид (9.113) (9.114) где г= — 1(1 — е)г+с)е)! Пе. Значение (9.113) со знаком минус перед радикалом соответствует затухающим волнам, и, следовательно, нет необходимости здесь его рассматривать.
Перед дальнейшим изложением теории найдем более конкретное выражение для величины С (9.99) при помощи соотношения (9.56), которое в пределе невесомого газа сводится к соотношению р (ео) = К (1 — ев)~(ео. (д ! !т) Если считать, что всякое влияние эволюции магнитного поля на коэффициент К пренебрежимо мало, то простое дифференциро- вание показывает, что рв/рв = — 2/[ео (1 — ео)1 С=З вЂ” 2е,.
(9.116) и, следовательно, (9.117) > 1 (неустойчива), й1 тт', = = 1 (нейтрально устойчива), < 1 (устойчива), (9.119) где (9.120) й! =— р й,')!г М' — безразмерная комбинация, выражающая отношение кинетической энергии к магнитной, а 2 ( + ( (3 — 2е,)г еоо (! — ев) — (1 — ев) (Хо Х) соэ (т' ФН сое,( 1, (9.121) Намагниченность приводит к стабилизации системы, если $ ( О, и к нейтральной устойчивости, если $ = О. Уравнение (9.113), в котором выбран знак плюс, показывает, что для устойчивости системы необходимо а>'/ (г (9.118) Подставив выражения для е и д в уравнение (9.118), а в получающееся уравнение выражения для А, С, Ь и 1, получим следующий критерий устойчивости системы — основной результат излагаемой теории: зю У.
Движение магнитных двухфазных систем где ~р = у — 0 — угол между направлением течения и приложенным магнитным полем. Мы показали, что устойчивость системы возникает из-за того, что при наличии градиента объемной доли газа сила 1 =1геМтРН в уравнении (9.40) уже перестает быть равной нулю. В одномерном случае эта сила пропорциональна градиенту тер и имеет противоположный знак. Это можно показать, если учесть, что в одномерной задаче В=1хо(Н-+М)= = ро(Н+ ерМр) =сопз1; в среде, намагниченной до насыщения, Ма постоянно и ЧН = — М 7е~, а 1 = — р М'ре . Эта сила стремится сгладить возмущения объемной доли газа в виде разрежений и сжатий, а вместе с ней также возмущения скорости и всех других параметров. Характер поведения системы согласно теоретическим результатам Рассмотрим уравнение (9.12!); если у — ср = тс/2 (волна распространяется перпендикулярно магнитному полю) и у~я/2 (волна распространяется не перпендикулярно течению несущей среды), то Ф„ бесконечно и т=п стабилизация невозможна.
Так У / как в системе могут быть вол- у ны возмущения с любым на/ правлением распространения, то очевидно, косое к течению поле не может стабилизировать систему, поэтому для станаправление билизации внешнее поле должно быть направлено вертикально (ср =О). В случае когда поле направнраансрыауещ~~"", "„лено вертикально и уо ) у, ве- личина йГ„имеет наибольшее — — — — — — — т=я/т значение при у =и/2 и уменьРнс. 9.7. Конус устойчивости длн шается при уменьшении у до волн, рнснрострнннинпнхсн н неотрн- нуля. Если увеличивать У ннченном слое. (увеличивая скорость течения или уменьшая намагниченность), то в первоначально устойчивой системе возникает критическое значение угла у = т„ такое, что моды возмущения, направление распространения которых лежит вне конуса на рис.
9.7 с половиной угла при вершине ч„неустойчивы (Надап, 1981). При вертикальном направлении поля уравнение (9.121) сводится к уравнению Ф„= [(3 — 2ее)е/ео(1 — ео)[ [1+ (1 — ео) хо (1 ео) (сто т) соаеУ] зп 9.7. Устойчивость стационарного решения Если материал в псевдоожнженном слое намагничивается линейно (7(о=У), то длЯ веРтикально напРавленного полЯ (~р= 0) выражение для У„ прнннмает внд У„= !13 — 2е )т/ет(1 — ео)! 11+ (1 — ео) 2о~ н не зависит от угла т, характеризующего направление распространения волны возмущения.
0,4 0,2 0 О -0,2 иг 04 -Об 3 -0,8 — 1,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Рис. 9.8. Зависимость безразмерного параметра роста для слоев с неограниченной протяженностью; случай Ф Ж, = ьь соответствует отсутствию намагниченности (Козепзтче1д, 1979с). В выражении для показателя роста (9.113) величины г н д можно представить в виде а=-)гз)У У,, 0=2й;, здесь й,— безразмерное волновое число, определяемое формулой й, — й)'(цге,й~~), где е, = 2 (3 — 2е ) (соз у)гее.
Это позволяет построить универсальные кривые (рнс. 9.8), согласно которым длннноволновые возмущення устойчивы, а показатель роста для коротковолновых возмущений стремится к аснмптотнческому значению прн данной величине У У„. Наглядно видно, что все моды устойчивы до значения У У, = 1. Найдем зависимость скорости течения, прн которой начинается псевдоожнженне слоя, от его намагниченности.
Подставляя ро нз уравнения (9.54) в (9.115), получим выражение для скорости. Для исключения констант составим отношение полученного выражения для скорости к такому же выражению для 9. Движение мигиитнык деукфазиык систем 312 скорости, прн которой начинается псевдоожнженне ио зоз(! — з ) ды (' — 'о) ' где йо — — еооо н й =в о, индексом пт обозначаются параметры, характеризующие начало псевдоожнження. Уравнение (9,121) 100 (9. 122) 00 сз Е св а 50 100 150 200 (рома(р йт)!/х Рис. 9.9. Феноменологическое поведение магнитно стабилизированного слоя согласно теоретическим результатам.
Магнитная стабилизация расширяет диапазон параметров, в котором слой состоит из стационарно взвешенных частиц и нс имеет пузырьков, флуктуаций и турбулентности. Промежуток стабилизации находится между скоростью начала пссвдоожижсния й и скоростью перехода й, нейтральной кривой устойчивости. Восприимчивость Х здесь положена равной 1, а ее = 0,35; ! — начало псевдоожижения; 2 — мстастабильность нс наблюдается. с учетом соотношении сову= созО=! преобразуется к виду (3 — 2ее)з (9.
123) аз (! зо) Из этого выражения для й!„совместно с критерием нейтральной устойчивости !ч' й(„= 1 (9.1!9) н определением тт! (9.120) следует выражение для критической безразмерной намагниченности, которая введена на рнс. 9.9 в качестве абсциссы; Ми.е 2зо [ (! зо) Х) До Рр 1ео иы зо (1 зо) 9,8. Экснераментальные результата Верхняя кривая на рис. 9.9 при данном значении е строится следующим образом: по выбранному значению ве из уравнения (9.122) определяется величина йе/и, а из уравнения (9.124)— безразмерная намагниченность. При построении графика рис.
9.9 использовались выбранные произвольно значения у =! и е = 0,35. Верхняя кривая на рисунке представляет собой линию нейтральной устойчивости, разделяющую область с неустойчивым псевдоожижением от области с устойчивым течением в псевдоожиженном слое. Горизонтальная линия ие/й =1, согласно уравнению (9.!22) с еь — — е, соответствует теоретическому стационарному решению, характеризующему начало псевдоожижения. Если нужно, то конкретное значение й можно найти, исключая ре из уравнений (9.54) и (9.! 15) и полагая ее — — е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
