Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Осредненные уравнения для изменения импульса При помощи техники осреднения можно также получить уравнения для изменения импульса для фаз жидкости и частиц. Учет магнетизма будет проведен позже. Точкой отправления здесь будет служить уравнение для изменения импульса Коши обеих фаз; для жидкой фазы оно дается уравнением (8.21): р (ду'7д1 + у' ° Чу') = р д + Ч ° Т', (9.30) где штрих указывает, что величина микроскопическая. Главным здесь является слагаемое, содержащее тензор поверхностных напряжений Т'. Умножая это слагаемое на д(х — у)Я1, учитыр вая тензорное тождество Ч ° (дТ') = дЧ ° Т' + (Чд) ° Т', где у =у(х — у), и интегрируя, получим ~ у(х — у) Ч„° Т'(у) сйс = ~ Ч„° [д(х — у) Т'(у)[Л'— У1 У1 — ~ [Чву(х — у)) ° Т'(у) Л'.
(9.31) "1 Первое слагаемое в правой части уравнения можно при помощи теоремы о дивергенции преобразовать к виду ~ Ч„° ~д (х — у) Т' (у)] сйс = ~ и ° д (х — у) Т' (у) с(5 = У1 з1 ~ и д(х — у)Т'(у)д5+ ~~ ~ д(х — у)п . Т'(у)Ы5, (9.32) в1 еа 292 у. движение магнитнегх двухфивных еиетеж где суммирование в последнем члене проводится по всем частицам системы. Для точек х, не слишком близких к границе системы, интеграл по поверхности 5~ — внешней границе жидкости — пренебрежимо мал, так как д(х — у) для таких точек мало.
В слагаемом со знаком суммы величина и . Т'(у) представляет собой напряжение 2', действующее на жидкость на поверхности частиц; вся сумма представляет собой среднее значение полной силы, действующей на жидкость в единице объема со стороны частиц, т. е. среднее значение силы взаимодействия твердой и жидкой фаз 1иг. (9.33) ги Согласно третьему закону Ньютона, т 1+ $1р-— — О, где $~ — сила взаимодействия фаз„выражающая действие жидкости на частицы. Второе слагаемое в правой части уравнения (9.31) прн помощи соотношения Чид= — Ч„йг можно записать в виде — ~ ~Ч„й(х — у)1.
Т',. (у) е(У = ~ [Ч„д(х — у)] Т'(у) г(У = и~ =Ч„( д(х — у) Т'(у) е(У = Ч (е Т ), (9.34) где Тг — пространственно осредненный тензор напряжений жидкости. Подставив полученные результаты в уравнение (9.31), найдем окончательный вид осредненного слагаемого с тензором поверхностных напряжений: ~ д (х — у)Ч„Т'(у) г(У =Ч„. (в Т ) — ~ . (9.35) Слагаемое с силой тяжести уравнения (9.30) при осреднении преобразуется непосредственно по определению (9.4) к виду егргц.
Нестационарное слагаемое уравнения (9.30) при помощи уравнения (9.9) преобразуется непосредственно к виду д(егчг)/дт плюс слагаемое, представляющее сумму интегралов по поверхностям всех частиц. Конвективное слагаемое т Чч' уравнения (9.30) с учетом уравнения неразрывности Ч т' =- 0 преобразуется к виду Ч (т'т') эта величина при осреднении дает выражение из нескольких слагаемых: Ч (в~тот~), сумма, которая взаимно уничтожается суммой, появившейся в результате осреднения нестационарного слагаемого и слагаемого, представ- 9.4.
Основные уравнения, оаисывающие течение двуяфаэной среды 293 ляющего корреляцию флуктуаций, появившегося от осреднения квадратичного слагаемого точно так же, как это имеет место в теории турбулентности для напряжений Рейнольдса. В данном случае корреляционное слагаемое может возникнуть только из-за пространственной вариации микроскопической скорости несущей среды, возмушаемой частицами другой фазы. Следуя обычной практике, в дальнейшем это слагаемое будет считаться пренебрежимо малым, хотя в принципе для него можно формулировать определяющее уравнение. Собрав все ненулевые слагаемые, получим уравнение для изменения импульса несущей фазы: р~ет(дч~/дГ+ ч~ тч ) = т (е~Тт) — $Ы -~- еьо~д, (9.36) причем здесь было учтено осредненное уравнение неразрывности для несущей фазы (9.!4). Уравнение (9.36) отличается от микроскопического уравнения Коши (9.30), из которого оно было выведено, дополнительным слагаемым — силы взаимодействия твердой и жидкой фаз; присутствует также параметр ет — характеристика двухфазной смеси.
Осредненное уравнение для изменения импульса дисперсной фазы можно вывести так же, как и для несущей жидкости, на основе уравнения для изменения импульса Коши, записанного для элемента вещества внутри частицы дисперсной фазы. Нет необходимости излагать вывод осредненного уравнения, так как он в точности совпадает с выводом уравнения для несущей жидкости, за исключением того, что индексы 7 и р нужно поменять местами; в результате уравнение для изменения импульса фазы частиц получается в виде рава(дч )д4+ ч . чча)= ч (ееТ,) — $с~+ еар д, (9.37) где Тр — локально осредненный тензор напряжений фазы частиц, аналогичный тензору Ть При выводе уравнений (9.36) и (9.37) уравнениями, описывающими вращательное движение частиц, пренебрегалось, поэтому антисимметричные напряжения, например, такие, которые рассматривались в гл.
8, считались отсутствующими. В литературе встречаются разные записи уравнений для изменения импульса с разными компенсирующими слагаемыми в выражениях для силы взаимодействия фаз. Достоинством представленных здесь уравнений для изменения импульса является простой, но логически строгий вывод, симметрия их внешнего вида и запись их через осредненные величины с ясным физическим смыслом. Однако остается произвол в выборе определяющего УРавнениЯ длЯ силы тсб в литеРатУРе длЯ нее можно найти разные выражения.
294 9. Движение магнитных двухфаэных систем Определяющие уравнения Для замыкания системы из уравнений неразрывности и уравнений движения нужно выразить силу взаимодействия фаз ! г и тензора напряжений Те и Те через локально осредненные значения объемной доли несущей фазы, скорость и давление. Можно предположить, что определяющие соотношения для тензоров напряжений, выраженные через осредненные давление и скорость, выглядят так же, как для ньютоновской жидкости, т. е. как соотношения (4.62). Однако в этой главе мы будем иметь дело со следующими сильно упрощающими предположениями, приближенно описывающими двухфазную систему, а именно Т= — р1, Т = — р1.
(9.38) Эти соотношения утверждают, что осредненная жидкая фаза ведет себя как невязкая среда, а напряжения в осредненной дисперсной фазе полностью описываются гидростатическим давлением. Читатели, знакомые с гидродинамикой, имеют представление о давлении в жидкостях. Для твердой днсперсной фазы это понятие не так ясно. Будем считать, что в данном случае тензор микроскопических напряжений, например, такой, как в упругом теле, представляется в виде суммы шаровой части— напряжений, действующих равным образом по всем направлениям, и некоторого дополнительного слагаемого.
Шаровая часть тензора при осреднении дает давление р„а средним от дополнительного слагаемого считается возможным пренебречь. Далее будет рассматриваться случай, когда несущей средой является газ с малой плотностью. Определяющее уравнение для силы взаимодействия фаз будет браться в форме, предложенной Исии (!зп(1, !975) и Дру (Ргечг, 1983): !! =е1(1(е1)(те! — ч ) — р т7еб (9.39) слагаемое с присоединенной массой, зависящее от относительного ускорения фаз, для газа с малой плотностью пренебрежимо мало и поэтому здесь опущено. Первое слагаемое в правой части уравнения представляет собой силу трения между фазами, пропорциональную относительной осредненной скорости фаз, с феноменологическим коэффициентом трения ~(е~), зависящим от объемной доли газа.
Для течений с малыми скоростями вполне приемлемо предположение о линейной зависимости силы трения фаз от относительной скорости; аналогичное соотношение имеет место в течении Дарси сквозь пористую среду. Последнее слагаемое в уравнении (9.39) отражает то обстоятельство, что на частицы дисперсной фазы действует со стороны жидкости давление, тогда как давление частиц не влияет на движение газа.
Вид слагаемого — р~Че~ в уравнении (9.39) таков, что давление Таблица 9.1. Результаты применения уравнений движения для стационарных двухфазных систем Примечания Задаваемые условия Полученные соотношения Течение сквозь неподвижный слой ор = () (е ) о ). згр О й О че =Че =О Связь давления со средней плотностью смеси Оседание однородного слоя Ьр,=(е,р,+ е,р,) б)- еч +еч =О Коэффициент )3(е)) определяется по скорости оседания чв = тгв =О р Псевдоожиженный слой чр — — О ор =(е р + е р ) ОЕ Неподвижный неоднородный слой Давление в фазе частиц может изменяться независимо ог давления в несущей среде.
В простейшем случае ело» Оез несущей среды (р) О, Р) 0), ианолящегося по( дей«твиеч снгннаюцей нагрузнн к' в огсугствие силы тижести (и 0). ле р =О и в р =и', т. е. в неоднорр рр роднов слое давление в фазе частиц неоднородно. В литературе длн фазы частиц можно встретить уравнение, полученное в предположении. что член Ч (вт) приводится к форме вр т, такое уравнение не позволяет получить зтог результат.
'Ре =Т)е =О р р) Рр ч=ч =О р Т)ер Ф О е(е (рр — р)) й ор — —— в(,) е (рр — р)) р ()(е ) од) = Р)вгг. й [е (р — Р))[=е (Р— Р)) ОФ По экспериментальному значению скачка давления можно найти коэффициент трения Скачок давления не зависит от ско- рости течения Пористость слоя рассчитывается по скорости несущей среды Обычное гцдростатичесьос давление Сила ег(рг — р)) уравнонешивает вес частиц с учетом плавучести ') у. движение магнитнеьх двухфазных систем газа в системе, когда скорость и ускорение обеих фаз равны нулю, будет гидростатическим.
В табл. 9.1 дана сводка результатов, полученных при реше- нии уравнений, описывающих двухфазное течение, для некоторых задач о равновесии или стационарном движении в системе. Будем предполагать, что в псевдоожиженной системе рр = рь т. е. что давление в частицах дисперсной фазы, как в случае гидростатического равновесия, равно давлению окружающего их газа. Такая ситуация имеет место в системе, в которой от- сутствует непосредственный силовой контакт частиц друг с другом. Намагниченность частиц в уравнении для изменения им- пульса можно учесть следующим образом, для этого заметим, что каждое слагаемое в правой части уравнения (9.37) является объемной плотностью силы. Нам нужно получить дополнитель- ное слагаемое, представляющее плотность пространственно осредненной магнитной силы.
Согласно уравнению (!.1О), маг- нитная сила, действующая на частицу, имеет вид п(ееМр'тН<, где Мр — намагниченность частицы, о — объем частицы, индекс с означает, что в формулу входит среднее по объему частицы внешнее к ней магнитное поле. Операция осреднения силы за- писывается в виде е,(х, Г)(реМр~'Не) = 2. пар'~Непй(х — х,), ломаные скобки указывают на осреднение заключенной в них величины в точке х, суммирование ведется по всем частицам системы, через хр обозначено положение центра массы частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
