Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Два других уравнения имеют вид 42т(1+ у) = х+ Рх(1+ у), — ь)тх = у — Рх', где х=гп~!Мо, У=нтз(М и Р=)лоМоНт)4~. Исключив из этих двух уравнений у, получим алгебраическое кубическое уравнение, определяющее х, или, что эквивалентно, т„ а следовательно, Лт). Его можно записать в виде г' — 2г'+ г [1+ (Р+ 1)/(йт)з] — Р)(й~)т= О, (8.96) где г =— Рх[ьст=Лт)/Ь. На рис. 8.11 изображена зависимость приращения вязкости от скорости сдвига; обе величины подхо- 8.12. Эффективная вязкость намагнинивающейся жидкости 275 дящим образом обезразмерены. Предельное теоретическое значение в сильных магнитных полях величины приращения вязкости Лт! равно вихревой вязкости ~.
Увеличение скорости сдвига при постоянной величине поля приводит к уменьшению эффективной вязкости. При больших скоростях сдвига в сильных полях, как видно из рис. 8.11, должен существовать гистерезис величины эффективной вязкости. Для разбавленных магнитных жидкостей М. И. Шлиомис (1971) получил следующие выражения для вихревой вязкости и броуновского времени релаксации т [выражение (2.33)]: ь = '/зЧФ, (8.97) т == 3'т'тс/йТ, (8.98) где ср — объемная концентрация частиц в магнитной жидкости, )с — объем одной частицы и й — постоянная Больцмана (1,38.10 — з' Н м — '.К-').
Оценки для типичных магнитных жидкостей показывают, что т по порядку величины равно 1О-' с, а в экспериментах йт ( 1Π— ' (Козепзчте!и, Ка!зег, М!зко!сгу, 1969). Для столь малых значений !гт уравнение (8.96) упрощается к виду т = Р/(! + Р) или Гл1 !соМоНт/4~ !! << 1 (8.99) ! + !ЧМоНт/4Ь Так как й-' — характерное время деформирования элемента жидкости, то величина !2т представляет собой отношение времени магнитной релаксации к характерному времени деформирования. Поэтому малость величины !гт означает, что намагниченность элемента жидкости может быстро изменить свое направление и, следовательно, ее направление в любой момент времени близко к направлению поля. В результате, как показывает уравнение (8.99), при малых !гт эффективная вязкость зависит от величины поля, но не зависит от скорости сдвига. В этом разделе рассматривался случай, когда вектор Н перпендикулярен вектору й.
Можно показать, что при произвольной ориентации этих векторов выражение для приращения вязкости (8.99) принимает вид ач !соя/оНт/4ь 3!Пз (8.100) оо ! + !ооМоНт/4ьо где (3 — угол между векторами Н и й. Как следует из выражения (8.!00), когда векторы Н и !4 параллельны, вязкость жидкости не зависит от величины поля. Этот результат вполне понятен, так как ориентация магнитного момента частицы вдоль поля не мешает ее вращению с угловой скоростью жидкости й/2.
276 В. Мигнитные жидкости и несимметричные напряжения Полученные соотношения принимают особенно простой вид для разбавленной магнитной жидкости. Подставив выражения (897) и (8.98) в (8.100) и учитывая выражение Мо = грМе7.(а), где ср — объемная доля частиц, Ми — намагниченность домена и Е(а) — функция Лаижевеиа с аргументом а = )10МеНУ/нТ (см. (2.27)], получим ап 3 '/зад (о) — = — ср Ч 2 1+ рта(. (а) 51П (8.101) Таблица 8.1.
Зависимость вязкости магнитной жидкости на керосине, содержащей магнитные частицы размером 13,6 нм, от скорости сдвига и магнитного поля примечание. и — вязкость магнптноа жилкостн в отсутствии магнитного паля (0,0020 Н с м ). Пример. Сопоставление данных о вязкости магнитных жидкостей с теоретическими результатами по теории с аитисимметричиыми напряжениями.
В работе (Козепзцге)д, Ка(зег, М!з)со1сху, 1969) приводятся экспериментальные данные о влиянии магнитного поля и скорости сдвига иа величину вязкости коицеитрироваииых маиитиых жидкостей, состоящих из частиц магиетита, взвешенных в минеральном масле, керосине и перфторуглероде.
Слой магнитной жидкости при 30'С подвергался однородному сдвигу в вискозиметре типа конус-плоскость в присутствии однородного магнитного поля, приложенного перпендикулярно слою. Изучение полученных результатов показывает, что вязкость жидкости иа основе керосина почти ие зависела от скорости сдвига. Размер частиц этой жидкости по данным электронной микроскопии равен 13,6 им. Частицы магнетита такого размера должны проявлять внешний суперпарамагиетизм (см. табл. 2.2). Проанализируем данные табл.
8.1 и определим ве- 8.72. Эффективная вязкость намагнииивающеася ясидкости 277 личину вращательной вязкости и броуновское время вращательной релаксации. Анал з. Так как вязкость слабо зависит от скорости сдвига, предположим, что здесь применимо теоретическое уравнение (8.99). Это уравнение можно переписать в следующей линейной ЗООО 20 !000 0,0! й/(ионн) 0,02 Рнс. 8Л2. Корреляция данных магнитной внскознметрнн для магнитной жид- кости на основе керосина.
форме, удобной для целей анализа: у = а + Ьх, где у и х — ве- личины, известные из эксперимента, а а и Ь вЂ” постоянные, кото- рые нужно определить, используя все экспериментальные дан- ные: у = 1/Ат(, х = 4/(роМаН), а =!/ь, Ь = 1/т. На рис. 8.12 приведены экспериментальные данные в осях у, х. Прямая линия проведена по методу наименьших квадратов и описывается уравнением у = 413+ 122 000х. В результате по- лучаем следующие значения: ь=0,00242 Н.с м ' (вихревая вязкость), т = 8,19 1О а с (время вращательной релаксации). Независимую оценку величины т легко получить из урав- нения (8.98) при т1=0,0029 Н с.
м ', 0=13,6 нм, !с=(л/6) гс'. (1,36 10 ') =1,32 10 "м', 'нТ = (1,38 ° 10 ~) (273 + 30) = 4,18 1О т' Н м. В результате имеем т= 3(1,32 ° 1О т')(0,0029)/(4,18 ° !О т') =2,76 ° 10 а с; 278 В. Магнитные жидкости и несимметричные наяряжения это значение согласуется по порядку величины со значением, полученным из вискозиметрических измерений. Величина чг из формулы (8.97) определяется в виде ~р = з/з (Ь/т() = з/з (О 00242/О 00290) = 0 56 что вполне правдоподобно для частиц с оболочкой. Данные для других жидкостей на основе минерального масла н перфторуглерода показывают сильную зависимость вязкости от скорости сдвига и плохо согласуются с уравнением (8.99), а также с уравнением (8.96), выведенным при меньших ограничениях. Это расхождение обусловлено наличием в жидкостях кластеров из частиц; оно указывает, что для объяснения экспериментальных данных нужна другая теоретическая модель. ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Первый анализ антисимметричных напряжений в рамках механики континуумов был дан в краткой заметке (ОаЫег, ЗсП- чеп, 1961); за ней последовали обширные статьи с изложением теории структурированных континуумов; это работы (ОаЫег, Бег(чеп, 1963; Сопб(!1, ОаЫег, 1964).
В последней работе исследуется также устойчивость течений с антисимметричными напряжениями. Рассмотрение континуумов на основе представлений при исследовании микроупругих сред дал Си (Нз(ей, 1980). Вопрос о том, может ли магнитная жидкость прийти в стационарное круговое движение во вращающемся однородном магнитном поле, обсуждается в работе (депп!пз, !971) и в более новой работе В.
М. Берковского, А. Н. Висловича и В. Е. Кашевского (1980). Английские исследователи повторили эксперимент Московитца — Розенцвейга со стаканом с магнитной жидкостью, расположенным на поворотном столике, который мог свободно вращаться (рис. 8.! (6)). Они были поражены, увидев, что жидкость в стакане вращается в одну сторону, а сам стакан и столик в в другую.
Более того, направление вращения жидкости было противоположно направлению вращения поля — так называемое неправильное направление вращения; см. работу (Вгопп, Ногзпе!1, !969). При увеличении напряженности магнитного поля наблюдалось изменение направления вращения жидкости; рабочей средой являлась довольно грубая суспензия из железистых частиц размером 0,1 мкм, содержащая, без всякого сомнения, значительное число кластеров из частиц; поведение такой жидкости трудно предсказать. И. Я.
Каган и др. приводят результаты близких исследований о величине момента сил и скорости вращения диэлектрических цилиндрических тел, помещенных в суспензию железистых частиц размером 0,2 мкм; см. работы (Са!ваагн, Вабезсн, упса, !976Ь) и (Каган, Рыков и Янтовский, !973). Замечания и дополнительная литература 279 Другой эксперимент, который указывает на возможность возникновения тензора несимметричных напряжений, описывается в ранней русской работе Цветкова (Тзие!кои, 1939). В этом эксперименте жидкий кристалл п-азоксианизол помещался во вращающееся магнитное поле; в результате на граничную поверхность цилиндра действовал момент сил, а жидкий кристалл приходил во вращение. Бреннер (Вгеппег, 1970) исследовал суспензию из гравитационных диполей — частиц со смещенным центром тяжести; это дает еше один пример поляризующейся среды.
Бреннер и Вейсманн (Вгеппег, %е!зыпап, 1972) провели анализ влияния магнитного поля на эффективную вязкость магнитной жидкости при помощи функции распределения частиц по ориентации с учетом вращательного броуновского движения. Камияма, Койке и Ояма (Кат!уагпа, Ко!ке, Оуата, !983) провели тщательное экспериментальное исследование коэффициента трения магнитной жидкости, текущей по трубе в ламинарном режиме при увеличении напряженности магнитного поля; в турбулентном режиме влияния магнитного поля нет.
3. П. Шульман, В. И. Кордонский и С. А. Демчук (!977) сообщают, что антисимметричные напряжения приводят к увеличению скорости теплопереноса. Советские ученые очень активно исследуют поведение магнитных жидкостей с антисимметричными напряжениями. В выпусках журнала «Магнитная гидро- динамика» можно найти статьи А. О. Цеберса, Б. М. Берковского, В. М. Суязова и др.
(журнал переводится с русского языка Консультативным бюро в Нью-йорке). Методами необратимой термодинамики были получены общие выражения для скорости производства энтропии; на их основе элегантно выводятся соотношения для тензора вязких напряжений Т„, тензора моментных напряжений С и вектора А, определяющего преобразование момента импульса. Этот подход имеется в работах (бебгоо1, Мазпг, !962) и (Берковский, Вислович, Кашевский, 1980).
Прим. ред. к стр. 272: Формулу (8.87) надо пояснить. На разрыве твердое тело — жидкость величина [Т], вообще говоря, равна нулю. Здесь фактически рассчитывается касательная составляющая силы, действующей на контактирующую с жидкостью стенку, которая считается слоем твердого тела. Вне этого слоя, где нет магнитной жидкости, напряжения, кроме максвелловских, предполагаются отсутствующими. Скачок напряжений (Т! в формуле (8.87) следует понимать как разность напряжений с разных сторон слоя. 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
