Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Согласно теореме о дивергенции, для скалярной величины А справедливо тождество $ Аиг(5= ~ йАг(У, (5.90) поэтому имеет место равенство ~ — (ро+ рд)го) и г)В = ~ Ч(ро+ рййо) е(У = О. (5,91) Используя это равенсгво вместе с уравнением (5.88), получим Е' = $1( — роМН вЂ” ~/дроН + Н„В„) и+ НгВн11 е(В+ + ~ (р — Р') д1с г(У, (5.92) у где — хг)о= н, а )о обозначает единичный вертикально направленный вектор. Если магнитное поле всюду равно нулю, то Вектор напряжения 1„соответствующий тензору напряжения Т' в форме (5.85), определяется из условия 1„= и ° Т', что дает 1„= — (р + '/, роН') и+ НВ„.
(5.86) Б.З. Теорема Ирна)оу и магнитнан левитации 166 уравнение (5.92) для любого объема У сводится к закону пла- вучести Архимеда: Г' (Н = О) = ~ (р — р') д1с а)У = (р — р') дйУ, (5.93) е — 4) н„в,— (Ввн) )-нвл~вв. )594) в Уравнение (5.94) позволяет вычислить по известному распределению поля полную индуцированную магнитным полем силу, действующую на магнитное или немагнитное поле, погруженное в магнитную жидкость. Если погруженное тело немагнитное, то интеграл в выражении (5.94), взятый по внутренней поверхности 5) непосредственно рядом с поверхностью тела, исчезает, так как на вещество внутри этой поверхности магнитная сила не действует: и в =4 [(в„в„— ( ввн) е нее~)вв.
)в вв) з) о Вычитая уравнение (5.95) из уравнения (5.94) и используя гра- ничные условия (В„) = О и (Н)) = О, получим, что тангенциаль- ная сила равна нулю, а нормальная сила, проинтегрированная по всей поверхности тела, приводит к выражению е„=4(в„)в„) — [)ввн)) вв. (5.95) где ) Н„) =Н„+ — Н„; знаки + н — обозначают значения параметров непосредственно вблизи поверхности 5 снаружи и внутри ее соответственно. Чтобы еще дальше упростить выражение как и должно быть. Последнее равенство, однако, выполняется только, когда плотность и ускорение силы тяжести в объеме однородны. Вернемся к более общему случаю уравнения (5.92), когда поле НчьО; опустим слагаемое, описывающее явление обычной плавучести, используя определение М и определяющее уравнение В = по(Н+ М); получим следующее выражение для магнитной силы Р, действующей на тело: гве 5.
Уравнение Бернулли в феррогидродина,нине (5.95), используем уравнения (5.21а) и (5.21Ь), из которых сле- дуют соотношения (Н„1 = — М„ (5. 97) [(вен]=[не.н*г-г,(игн1 =- = ['~,р,нЦ + р, ~ м+ (и = о и ='АроМ„' — НнМ„+ по ~ М (Н, (5.98) где [М) = М" — М- = М+ = М, так как тело немагнитное. При помощи соотношений (5.97) и (5.98) уравнение (5.96) записы- вается в такой же общей форме, которая подчеркивает роль на- магниченности: и е — — т ~'Нг,м'„г- г, ( н лн) гв. (5.99) 3 о Устойчивую левитацию магнитного или немагнитного тела в некотором месте внутри жидкости определяют следующие условия: 1.
Р„'=(р — р')д1с)г+ Р„= О. (5.100) 2. Всякое малое смещение тела от положения равновесия сопровождается возвращающей силой. Проиллюстрируем одно простое, но важное следствие этих принципов левитации для маленького погруженного в жидкость немагнитного тела. Так как подынтегральное выражение в формуле (5.99) М,/2+ МН растет монотонно с Н, то чтобы левитация была возможна, величина вектора магнитного поля должна иметь в некоторой точке внутри жидкости локальный минимум, т. е. при любом передвижении из этой точки должно выполняться условие (ср. с рис.
5.15) ЬН) О. (5.101) В предельном случае очень сильного приложенного поля М'„/(2МН)«1 и выражение для силы Р (5.99) можно упростить так: Р = — ~> р не(5= — ~ Чр е()г = — Чр )г= — РроМЧН, (5.102) 3 157 5.5. Теорема Ирншоу и магнитная лгаиточял где давление р введено формулой (4.36Ь); также предполагается, что величины М и т)! практически постоянны внутри объема )т. Из-за знака минус в формуле (5.102) действующая на тело сила равна по величине и протиповоложно направлена магнитной силе, действующей на эквивалентный объем жидкости. Сила отталкивания и устойчивая левигация своим сугцесгвованием обязаны этому знаку минус. Рис. 5.19.
Искусственное увеличение удельного веса раствора параматнитной соли приводит к разделению смеси минеральных частиц. Материал частиц сверху вниз; стекло (удельный вес 2,75), таленнт (3,91) и пирит (5,00). (С разрешения Циммельса, Тесин!оп.) Магнитная плавучесть иллюстрируется фотографией на рис. 5.19. Видно, что твердые частицы разных минералов плавают в растворе парамагнитной соли на разной высоте в пространственно меняющемся сильном градиентном поле электромагнитных полюсных наконечников. Ясно, что, так как жидкость притягивается вниз, частицы выталкиваются вверх.
Левитационные силы в коллоидной магнитной жидкости заметно сильнее; приравнивая обыкновенный вес с учетом плавучести и магнитную выталкивающую силу (5.102), можно показать, что любое иемагнитное вещество можно заставить всплыть таким образом; подтверждающие данные приводятся в работе (Ка)зег, М)з)со1- сху, 1970 Ь) для алмазов (удельный вес 3,5) и других материалов вплоть до вольфрама (удельный вес !9,3). На этой основе разработаны процессы непрерывного разделения разных материалов (см., например, Козепзше)д, 1969; КЬа!а!а!1а, Кеппегз, !973а; 5Ь!тпо!!ха1са е1 а1., 1980).
Система маленьких немагнитных шариков в тонком слое 168 5. Уравнение Бернулли в феррогидродинамике магнитной жидкости позволила провести прямое наблюдение кристаллизации магнитных «дырок», образующих совокупность разных решеток (5к)е1!огр, 1983а). 5.6. СТРИКЦИОННЫР( ЭФФЕКТ Рассмотрим систему, в которой два магнитных бруска погружены в ванну с магнитной жидкостью. Противоположные полюсы магнитов расположены друг против друга и создают сильное поле в маленьком зазоре между ними.
Зазор находится достаточно далеко от поверхности жидкости, так что магнитным полем на ее поверхности из-за краев зазора можно пренебречь. Граничное условие (5.22) для плоской поверхности дает ро= р'„ где индекс 0 означает давление в атмосфере, а индекс 1 — давление в жидкости около ее поверхности. Применяя ФГД уравнения Бернулли (5.6) для точки около поверхности жидкости 1 и точки 2, расположенной в области поля между полюсами, н пренебрегая силой тяжести, получим р',= р,' — !го(й40)г. Подставив определение (4.7!) для давления р,'=р,(р, т)+ р,,+п,ДМН)„ найдем ро = р(р, Т)+ р„где индекс 2 опущен в слагаемых правой части равенства.
Таким образом, Ар = — п(р, Т) — ро — изменение давления в намагничивающейся жидкости по сравнению с атмосферным равно — р.. Как уже обсуждалось в равд. 4.3, Хаким и Хайем (На!6, Н1я)1аш, 1962) выполнили аналогичный эксперимент с прозрачной диэлектрической жидкостью, подвергнутой действию поля погруженных в нее электродов. Связав давление с плотностью, а значит и с коэффициентом преломления, они предсказали величину преломления луча света, проходящего через тонкий слой жидкости, и подтвердили, что плотность стрикционной силы сжимаемой линейной среды хорошо описывается уравнением (4.49).
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Первоначальную формулировку уравнения Бернулли в феррогидродинамике можно найти в работе (5(ецг!пдег, Козепзпе!д, !964); часть материала этой главы почерпнута из работы (Козепзче!6, !979а). Имеется учебный фильм (Магйпе(, 1982), иллюстрирующий поведение магнитной жидкости. Читатель, желающий получить представление о понятии вихря и его связи с вращением жидкости, может найти точные формулировки в работах (ТННоп, 1977) и (ТгпезбеИ, !954).
Вскоре после появления магнитных жидкостей появились уплотнители валов на магнитной жидкости, разработанные Розенцвейгом, Мишкольци и Эзекиелем (Козепзчге(я, М(зко!сзу, Замечания и дояолнительная литература 169 ЕзеЫе1, 1968). Их коммерческая прибыльность связана с открытием практических способов изготовления уплотнительных каскадов, спэсобных выдержать большие разности давления. На валу уплотнителя изготовляется ряд зубцов с полюсами, обычно десять на сантиметр, с магнитным потоком от одного постоянного магнита.
Магнитный поток концентрируется в узких зазорах между полюсами зубцов и полюсным блоком и заставляет магнитную жидкость собираться в отдельные уплотняющие кольца с очень маленькими промежутками между ними. Когда эта уплотняющая система подвергается большой разности давления, уплотняющие кольца пропускают газ в промежутки и затем снова смыкаются. Таким способом можно удерживать давление без утечки более 100 кПа на сантиметр длины вала; см. по этому поводу работу (Козепзчче(д, 197!).
Состояние технологии уплотнителей на магнитной жидкости дано в обзоре (Мозкочи11х, 1975); применения магнитных жидкостей в качестве смазки и для демпфирования обсуждаются в работе (ЕзеЫе!, 1975). Некоторые другие подробности этих замечательных идей и примеры применения пассивных подшипников на магнитной жидкости и другие близкие примеры можно найти в работе (Козепз1ие1д, 1978а).
Этот принцип используется при флотации инертной массы, всплывающей из-за магнитной силы во вращающейся камере, заполненной магнитной жидкостью, а также для вязкого демпфирования нежелательных вибраций, какие бывают в цифровых станках и графопостроителях. Полная сила, действующая на однородное мягко намагничивающееся тело, рассматривалась Верном (Вугпе, 1977).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
