Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Уравнение Бернулли в феррогидродинамине нитную жидкость. Эти задачи позволят нам качественно понять и количественно проанализировать таинственные явления леви- тации в феррогидродинамике. 5.5. ТЕОРЕМА ИРНШОУ И МАГНИТНАЯ ЛЕВИТАПИЯ Как отмечалось в гл. 3, из соотношений (5.78) следует возможность записать магнитное (электрическое) поле в виде градиента скалярной функции вр(х, у, «), называемой потенциалом поля: (5.79) Н = — ч«Р (Е= — чзР). Уравнения (5.77) и (5.78) показывают, что функция !р удовлетворяет уравнению Лапласа р'ф = О. (5.80) Следующий шаг в доказательстве теоремы — показать, что функция !р не может достигать абсолютного максимума илн минимума внутри области определения, Покажем это, следуя Ландау и Лифшицу (1957, стр. 14).
Предположим, что потенциал имеет максимум в некоторой точке объема Р, расположенной не на границе области. Тогда точку Р можно окружить малой замкнутой поверхностью, на которой производная функции по нормали всюду отрицательна: двр/дп ( О. Поэтому интеграл по всей поверхности $ (д!у/дп) й8 < О. Однако $ — йЯ вЂ” $п чфй8 — ~ «~Фй)г — О. (5.81) В 1839 г. Самуэль Ирншоу выдвинул теорему, что заряженное тело в электростатическом поле не может находиться в устойчивом равновесии под действием только электрических сил (8(га((оп, 1941, стр.
116). В гл. 1 было показано, что намагниченное тело ведет себя эффективно как совокупность «зарядов», поэтому, согласно теореме Ирншоу, оно не может находиться в равновесии в стационарном магнитном поле. Ниже дано краткое доказательство теоремы Ирншоу для точечного полюса (заряда); доказательство теоремы для протяженного тела с совокупностью полюсов (зарядов) предоставляется читателю в качестве упражнения.
В каждой точке объема пространства, не содержащего распределений полюсов (зарядов), выполняются следующие соотношения Максвелла; ч ° Н=О (ч ° Е=О), (5.77) Ч Р', Н = О ( «Х Е = О). (5.78) дв. Теорема Ирнигоу и магнитная левитации !59 Последнее равенство следует из уравнения (5.86). Ясно, что интеграл $ (дЧТ(дп) й5 ие может одновременно равняться нулю и быть меньше (или больше) нуля; полученное противоречие доказывает исходное утверждение.
Ранее было показано, что поле Н (поле Е) может рассматриваться как сила, действующая на единичный полюс (заряд). Поэтому выражение для потенциальной энергии единичного полюса, приведенного в данную точку вдоль любой линии Т. внутри области поля, имеет вид Потенциалы;..". =пергия единичного полюса (заряда) = = — )и г — ! — — '!е г =) с = ~ 7ф йг=ф, (5.82) (5.83) с где постоянная интегрирования для простоты опущена. Полученное отождествление функции ф с энергией доказывает, что пробнелй полюс (заряд), внесенный в поле, не может находиться в устойчивом равновесии, так как не имеется точки, в которой его потенциальная энергия имела бы минимум, что и требовалось доказать. Упрощенное рассмотрение левитацил немагиитного тела Казалось бы, что теорема Ирншоу исключает возможность левитации тела при помощи магнитостатического поля, но, как обнаружил автор (Козепзтие)п, (966а, Ь), устойчивая левитация тела возможна, если оно находится в магнитной жидкости и присутствии подходящего неоднородного магнитного поля.
Сперва приведем эвристические доводы, а строгое описание последует позже. Рассмотрим емкость, заполненную магнитной жидкостью и помещенную в область пространства с нулевой силой тяжести. Предположим, что первоначально магнитное поле отсутствует, так что давление всюду в объеме жидкости одинаково и равно некоторой постоянной величине. С двух противоположных сторон емкости помещаются, как показано на рис. 5.!5(а), два одинаковых источника магнитного поля, создающие такое распределение полей, что оио равно нулю посредине между источниками и возрастает в любом направлении от этой средней точки. Так как магнитная жидкость втягивается в области с большей величиной поля, то жидкость стремится выйти из этой средней точки.
Однако жидкость несжимаема и заполняет всю !60 б. Уравнение Бернулли в фвррогидродинамикв емкость, поэтому ее такое поведение приводит лишь к увеличению эффективного давления при передвижении от центра. Теперь рассмотрим поведение немагнитного тела, введенного в окрестность центральной точки. Если тело помещено в центр, как показано на рис. 5.15(Ь), то оно останется в нем при отсутствии других сил, так как силы давления симметрично распределены по его поверхности. Если тело сместить из равновесного знит азнитная иднасть Вазрастание давления при удалении ат центра азнит (Ь) (а) Рис.
6.16. Явление левитации немагнитного тела в намагниченной жидкости является еще одним следствием обобщенного уравневия Бернулли. (а) давление в жидкости наименьшее в центре и возрастает прн отходе от него. (Ь) Если в емкость поместить немагнитное тело, например стеклянный шарик, то оно передвинется в центр и будет оставаться в нем в равновесии.
См. (йозепзтие16, 1982а). положения, то на него подействует возвращающая сила из-за возникшей разности давлений. Так возникает явление пассивной левитации нелтагнитного тела. Для поддержания тела не нужно никаких затрат энергии. Явление самолевитации Если магнит погрузить в магнитную жидкость, возникает похожее явление самолевитации, изображенное на рис. 5.!6. Поле вокруг магнита симметрично, поэтому распределение давления в жидкости также симметрично, и на центрально размещенный магнит действуют уравновешивающие магнитные силы. Рис.
6.!6. Самолевитация магнитного тела в магнитной жидкости. Снимки в рентгеновских лучах показывают, что магнитный диск устойчиво подвешивается в стакане с магнитной жидкостью. На рис. (Ь) (вид сбоку) видно, что магнит, плотность которого почти в четыре раза больше плотности жидкости, висит около дна стакана. Как видно на рис. (а) (вид сверху). магнит отталкивается от всех стенок стакана. См. (Позепзчге(я, !966с). о.о. Теорема Ирншоу и моенитная левитации 162 5. Уравнение бернулли в феррогидродинамаке Рнс. 6.!7. Взаимное отталкивание магнитного н немагннтного тел, погруженных в магнитную жидкость (Коаепатне1д, 1966Ь).
Если магнит сместить с центрального положения, то симметрия поля нарушится: из рассмотрения проницаемых границ, сквозь которые проходит магнитный поток, заключаем, что магнитное поле больше на той поверхности магнита, которая дальше от центра. Убедившись еще раз, что эффективное давление в жидкости больше всего там, где поле наибольшее, можно заключить, что на магнит действует возвращающая сила по направлению к центру. Таково явление самолевитации в магнитной жидкости (Козепзиге!д, 196бс). Этот принцип эффективно использовался в акселерометрах, демпфирующих устройствах, пассивно левитационных подшипниках и уклоиомерах (см., например, работы (Козепзтне!д, 1979а; 8с)тац1е18, 1982; Ва)!еу, 1983).
В качестве еще одного варианта рассматриваемой темы рассмотрим рис. 5.17, где изображено взаимное отталкивание магнитного и немагнитного тел, когда оба тела находятся в маг- рзз Б.Ю. Теорема Ирншоу и магяитния левигаиия нитной жидкости далеко от любой внешней границы жидкости. Заметим, что такое взаимодействие не имеет аналога в обычной магнитостатике, в которой для появления статического взаимодействия тел необходимо, чтобы у них были магнитные моменты.
Конечно, сила взаимодействия, показанная на рис. 5.(7, возникает не из-за непосредственного взаимодействия двух тел; сила появляется из-за втягивания магнитной жидкости в пространство между ними. Далее приводится общее количественное описание, учитываю. щее рассмотренные здесь эффекты и приводящее к выражению для силы (5.99). Вычисление сил, действующих на погруженное тело Рассмотрим тело, магнитное или немагнитное, погруженное в магнитную жидкость, как в присутствии произвольных источ- звольные очники нитного ля долосюь с магнитной жидяосюью ников магнитного поля, так и без них, как показано на рис. 5.(8. Полная сила, действующая на тело, представляется в виде Г' = $ и ° Т' г(5+ ~ р'и Лт = ~ !„д5+ ~ р'д с()г, (5.84) где [см, уравнения (4.27) и (4.7!)) т' = — (р'+ '1 !ь,о') ! + ВН.
(5.85) Рис. а.!а. К выводу общего выражения для силы, действующей на произвольное намагниченное или немагнитное тело, погруженное в магнитную жидкость и находящееся в произвольном магнитном поле. 5. Уравнение Бернулли в феррогидродинамике Это выражение для вектора напряжения можно упростить, если ФГД уравнение Бернулли применить к любой точке снаружи непосредственно рядом с поверхностью В и к фиксированной удаленной точке на заданном уровне йо, в которой магнитное поле равно нулю, а давление ро выражается в виде Р'+ РКй — ро(МН) = Ро+ Рййо При помощи уравнений (5.86) и (5.87) выражение для силы (5.84) приводится к виду = $ ~( Ро РЯйо+ РЫЬ РоМН вЂ” ~7оиоН'+ + Н„В„) и+ НгВ 1) г(5+ ~ р'не(У. (5.88) При записи этого выражения использовалось следующее раз- ложение вектора Н в каждой точке на компоненты вдоль нор- мали к поверхности 5 и вдоль касательной к поверхности пло- скости: (5.89) Н = Н„п+ Н1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
