Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Следовательно, выражение (4.52) может быть записано в виде н 3 = — е(((еев)1).~-е (не). ~4лз) ('о т.= — ((еен)~~- во. хо (4.54) Так как здесь упругие слагаемые опушены, то этот тензор так- же следует называть неполным. Так как $ =Ч.Т и в уравнении (4.53) все члены также содержатся под знаком дивергенции, то можно немедленно выписать выражение для тензора напряжений Чу (СЬи, 1959), пригодное для несжимаемых нелинейно намагничивающихся сред: 4.8. Плотность магнитной объемной силн 127 Другой эквивалентный формализм разработан в работе (Хе(ахо„Ме1с)тег„1959), где магнитная сила выражается через коэнергию (соепегду) Ж", которая определяется формулой Н и: Ф" — = ~ Вт(Н = — ~ 1с (аь ..., а„, Но) т!Н'.
(4.55) о о Здесь а — интенсивные характеристики жидкости, такие„как температура и показатели состава. Представленный формализм обобщает рассмотрение магнитных сред на случай учета пространственного изменения характеристик жидкости внутри ее объема. Однако характеристики жидкости предполагаются переносящимися вместе с материальными частицами жидкости. В табл.
4.1 представлена сводка частных формул для тензора напряжений и плотности объемной силы. Как и в случае со стрикцией, слагаемые плотности магнитной силы, которые имеют форму градиента давления, не оказывают влияния на гидростатику или гидродинамику несжимаемых магнитных жидкостей. Такие слагаемые часто опускаются при анализе задачи и это является полностью законным. В последних двух столбцах табл. 4.1 приведены формулы для нормальной компоненты 1„, вектора поверхностного напряжения и для величины его скачка при переходе через поверхность раздела, взятую с обратным знаком. Компонента т,„ определяется как глн = п Т п, а скачок поверхностного натяжения обозначается через — [т„„1, где квадратные скобки указывают, что берется разность заключенной в них величины с разных сторон поверхности раздела фаз.
Если только одна из фаз способна намагничиваться, то скобки можно опустить; то, что остается, является плотностью поверхностной силы с положительным знаком и, следовательно, направленной от магнитной фазы к не- магнитной. Упражнение. Докажите, что тангенциальная компонента поверхностного натяжения непрерывна при переходе через поверхность раздела для любого тензора напряжений из табл. 4.1. Решение.
Любой тензор напряжений, содержащийся в таблице, может быть представлен в виде Т =у1+НВ, где Т вЂ” скалярная функция. Соответствующий вектор напряжения имеет вид 1„=п Т =уп+Н„В. Вектор напряжения можно разложить на компоненты вдоль вектора нормали п и вдоль вектора 1, тангенциального к поверх- Таблица 4.1.
Сводка тензоров напряжений н соответствующих объемных снл в Плотность объемной силы гж тенаор напряжений тж Формулнроана + р мрн +Р' На~1+ НВ 2 Неполная, для нелннейно намагннчнваюшейся среды — [р,~ МдН+ о + 1'о Н,), +НН 2 '() в в)»вн о — йгН+ рнн 'ь22(д) + РНН Н др Н' (г — р — — — тр = 2 др 2 рт'( ) Неполная, для линейно намагннчивающейся среды — — РН 1+ РНН 2 2 Н2 — — т!р 2 Тензор максвелловских напряжений в вакууме 1 — 2 Рана( + РОНН Для сжимаемой нелинейно намагннчиваюшейся среды (Соч»!еу, ((озепз«»е!н, 1967; РепИе!д, Нана, 1967) Неполная, для нелннейно намагннчнвающейся среды (С(»н, !959) Неполная,для нелинейно намагничн. вающейся среды (Ее!ако, Ме!ОЬег, 1969) Для сжимаемой линейно намагннчнвающейся среды ! Кортевег н Гельмгольц (см. Ме!сбег, 1963) Н вЂ” [ .) (вн') и.» О Н -т[в. (( — „),,'а'(в О + „,мтун= И вЂ” — рр~ Т„й(дн о — тт ~ в дн + в вг н = о ~ Т„вдн о 0 + РОМ вЂ” и'+ рн' ф (н'„— н',) (и„— нг) нзотропных магнитных средах Нормальная к поверхности компонента напряжения 1 И (дМО) Н+ 0 + о ( л Н1) + 110МлНл 110 ~ М11Н + 2 (Нл Н1) + 0 — ~ В дН+ Нлнл 0 — (н — и,) + — р— р 2 2 ня др 2 л 1 2 др Скачок напряжение на поверхности 11лл1 РО ~ МдН+ — "' М'„ 0 — Р МН вЂ” — Н Р вЂ” + — РОМ 1 ! 2 др 1 2 о 2 др Я л 1 2 О рОМН+ О рОМл (ЗО 4.
Тензор напряжений и уравнение движения ности раздела. Тангенцнальная компонента 1„определяется выраженнем 1„1=-уп 1+ Н„В.1=0+ Н„В, = Н„В, =Н(хН,= Н В„. Так как компонента В„непрерывна, то (Н,В„) =В„(Нг1, н так как (Нг1 = О, то очевидно„что (Н,В„Д =- О; т.
е. тангенцнальная компонента поверхностного напряжения одинакова по обе стороны поверхности раздела. Мы показали, что для любого тензора напряжений тангенцнальная компонента вектора поверхностного напряжения равна величине п Т 1 = Н~В„, где 1 — единичный тангенцнальный вектор, которая непрерывна прн переходе через поверхность. Поэтому магнитное поверхностное напряжение направлено по нормали к поверхности магнитной жндкостн. Замечания о стрнкцни в сжимаемых средах В научной литературе нет обшего согласия о правильности формулы для плотности силы Кортевега — Гельмгольца (4.47). Недавно в литературе по магнитным жидкостям появилось противоречащее выражение, принадлежащее И. Г.
Шапошникову. н М. И. Шлномнсу (!975). Это выражение, которое сейчас существует совместно с несогласуюшнмнся выражениями, является выражением типа Кельвнна — Гельмгольца )зо(М Ч) Н, которое для нзотропных сред с проннцаемостью (г = р(Н) приводятся к виду )теМЧН = Ч ((теНМ))2 — НтЧ(з|2. Однако сейчас уже ясно, что выражение Кортевега — Гельмгольца отличается в лучшую сторону: оно правильно, непосредственным образом предсказывает экспериментальные результаты '~. В эксперименте Хакима н Хайема (На)с)т, Н!К(таш, 1962), которые исследовали аналогичное выражение для силы в диэлектрической жидкости, плоскопараллельный конденсатор полностью погружался в жидкость.
В правой части уравнения, аналогичного уравнению (4.47), второе слагаемое было прене- и Утверждение о противоречии обсуждаемых формул для силы является недоразумением. Формула для силы типа Кельвина — Гельмгольца ре (М Ч) Н следует из формулы Кортевега — Гельмгольца (4.47) в случае линейной зависимости намагниченности от плотности смеси. В случае, когда это предположение не выполняется, нужно пользоваться формулой (4.47).
В работе И. Г. Шапошникова и М. И. Шлиомнса (1975) получено выражение для тензора напряжений, содержащее вместо стрикционного слагаемого рдЫ(др слагаемое л дЫ)дпгь где п — число магнитных частиц в единице объема. При этом делается неверное утверждение, что это слагаемое отличается от стрикционного слагаемого. В работе В. В. Гогосова, Н. Л. Васильевой, Н. Г. Тактарова и Г. А. Шапошниковой (1975) получено 4.4.
Уравнение движения для магнитной жидкости 131 брежимо мало и только стрикционное слагаемое давало существенный вклад в силу, заставляющую жидкость втягиваться в область поля между плоскими пластинами, увеличивая тем самым ее плотность. Плотность жидкости измерялась оптическим методом, а стрикционное слагаемое вычислялось по уравнению Клазиуса — Массоти из классической теории электромагнетизма, связывающего диэлектрическую проницаемость с плотностью. Установлено хорошее согласие между экспериментальными данными Хакима и Хайема н теоретическими результатами теории Кортевега — Гельмгольца. Анализ этого эксперимента проведен в равд. 5.6.
Дополнительное свидетельство в пользу уравнения (4.47) можно найти в недавнем обсуждении, проведенном в работе Бревика (Вгеу))с, 1982), 4.4. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ Формулировка уравнения импульсов для магнитной жидкости является важным моментом при изучении феррогидродинамики. Уравнение импульсов было впервые предложено в работе (1Ченг!пнег, Козепзтче18, 19б4). Это уравнение является отправным пунктом при анализе большинства задач, в которых важную роль наряду с магнитными силами играет вязкое трение или инерция. Рассмотрим динамическое равновесие «бесконечно малого» элемента магнитной жидкости. Элемент жидкости предполагается достаточно большим, чтобы содержать большое аналогичное выражение для тензора напряжений в многокомпонентной среде и показана справедливость равенств ( — ',).,=Х ( — ',,.)„„.,=Х" ( — '.,)„,,.
Здесь р, с, = р,/р, лг — плотность, массовая концентрация и число частиц в единице объема Ьой компоненты смеси, р= ~ рг — плотность смеси. В работе И. Г. Шапошникова и М. И. Шлиомиса (1975) считается, что магнитная жидкость состоит из двух компонент: магнитных частиц с концентрацией л и молекул немагнитного растворителя с концентрацией л,.
Намагниченность магнитной жидкости М зависит только от числа магнитных частиц л , следовательно, Таким образам, выражение для силы, соответствующее тензору напряжений, полученному в работе Г. А. Шапошникова и М. И. Шлиомиса (!975), при М вЂ” л дМ)дл чь О совпадает с известным выражением Кортевега— Гельмгольца (4.47). В случае линейной зависимостси намагниченности М от числа магнитных частиц из перечисленных выше формул следует выражение для силы ре (М (7) Н Кельвнна — Гельмгольца.
— Прим. ред. 132 4. Тенвор напряжений и уравнение движения число коллондных магнитных частиц, но достаточно малым по сравнению с характерными расстояниями области течения '>. Скорость изменения импульса постоянной массы, содержащейся в деформируемом элементе объема дхс(уНг, представляется в виде — (рчс(хе(уйг) =рдхйу0г —, + ч 0т йр йх йу йг Так как масса рс(хат(г постоянна, то последний член исчезает н второй закон Ньютона для единицы объема можно записать в следующем виде: р — ", =$,+$, + $а+1, Здесь (7/0~ — материальная производная, $р — сила давления; $, — вязкая сила; $ — сила тяжести; 1 — магнитная сила.
В гл. 1 материальная производная определялась как производная в системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью. Более точно, для материальной (илн индивидуальной) производной, т. е. скорости изменения, связанной со скоростью переноса массы ч, принимается следующее определение: 0 д — = — +ч ч. Ш дг (4.57) Производная, связываемая со скоростью переноса и, определяется как — = — +о тт. д (4.58) 1,= — рр(р, т), $е=т ° Т„ (в=рФ, (4.59) вязкая сила н сила тяжести (4.63) (4.61) и С другой стороны, уравнение импульсов может рассматриваться как точное для математически ожидаемого аначения ансамбля систем. Оба определения совпадают, когда ч = с1. Различие между определениями (4.57) н (4.58) имеет значение прн нсследованнн антнснмметрнчных напряжений н при изучении многофазных течений, которым посвящены гл.
8 н 9. В левой части уравнения (4.56) для материальной производной применяется определение (4.57). Правая часть уравнения (4.56) является суммой объемных снл, т. е. снл, отнесенных к единице объема. Слагаемыми, нзвестнымн нз гндромеханнкн, являются градиент давления (термодннамнческого) 1зз 4.4.
Уравнение движения для магнитной жидкости где Т, — тензор вязких напряжений и и — местное ускорение силы тяжести. Вязкие напряжения связаны со скоростью определяющим соотношением Ньютона: Т„=т1[Чч+ (Чч)г]+ Л(Ч ч)!. (4.62) Плотность вязких сил, соответствующая уравнению (4.62), имеет вид 4„= Ч Т„= т17'ч+ (т1+ Л) (Ч ч). (4.63) Ч (Чч) =е,— ~вне~ — н) =-е~бгн н = ' е~=— дк~ ~ дх ) ' дх.дх дх дх д еда т =е~ — ~ — ')=7(7 ч). дх ~дх ) (4.65) Кроме того, из свойства единичного диадика следует Ч [(Ч ч)Ц=Ч(Ч.ч). (4.66) Подставив эти выражения в первое равенство (4.63) и учитывая соотношение (4.62), получим искомое второе равенство (4.63).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
