Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Однако для случая немагннтной жидкости в магнитном поле это выражение дает — р(р, Т) — '/враНе, которое отличается от гидростатического давления на одну треть следа тензора максвелловских напряжений в вакууме. Очевидно, что такая поправка в общем случае должна измениться. Предлагаемые формулировки для величины силы сжатия жидкости, возможно, удастся проверить в экспериментах с кавитацией и фазовыми переходами.
Термодинамическое давление р(р, Т), которое появилось при выводе естественным образом, является давлением, которое было бы в жидкости, если ее размагнитить при неизменной плотности и температуре. Термодинамическое давление можно выделить из выражения для Т', чтобы подчеркнуть магнитное происхождение оставшейся части.
В итоге определяется новый тензор Т так, что Т =Т' +р(р, Т)1: н т = — () и( ~ „"~1 ен-'; — ц н)1.~. Вя. (429) (о 4.3. ПЛОТНОСТЬ МАГНИТНОЙ ОБЪЕМНОЙ СИЛЫ Согласно формуле (1.57), магнитная сила, рассчитанная на единицу объема, соответствующая тензору магнитных напряжений Т , равна 1 =й ° Теи (4.30) 4.3. Плотность магнатной обьемной силы 121 Запишем Т короче: Т = — а!+ВН, где = н, 1 ('~" ) аН+ — , 'н,Н . о Дивергенция Т имеет вид 7 ° Т = — Чй+ Н(7. В)+ В. 7Н, Из уравнения Максвелла 7.
В=-0 видно, что среднее слагаемое равно тождественно нулю. Кроме того, так как векторы поля предполагаются коллинеарными, то В ЧН=(В)Н)Н 7Н. С помощью тождества Н ° ЧН = 737(Н ° Н) — Н Х(7 Х Н) и закона Ампера в отсутствие токов 7 )с Н = О слагаемое В . ЧН можно выразить через модули векторов поля: В ° ЧН =(В(Н) ЦЗЧН'=ВЧН.
(4.31) Аналогичным преобразованием, в котором В заменено на М, а Н на Но, плотность силы роМ. ЧНо (1.10) можно привести к виду р,МЧНо. В рассматриваемом случае плотность силы записывается в виде ( — т т — — 3 (3,1 ( — ") гн -(- — тн'] -(- Втн, (4333 о илн с использованием равенства В=)го(Н+ М) и („= — 3(3,(( — ') гн].(-3 нтн. (433( о Слагаемое роМЧН похоже на плотность силы Кельвина р,МЧН„ действующей на отдельное тело; но здесь вместо приложенного поля Н, появляется локальное поле Н.
Уравнение (4.33) выражает плотность силы по Каули и Розенцвейгу (Сон!еу, Козепзчте!д, 1967). При помощи контрольного объема, содержащего магнитное тело, и третьего закона Ньютона можно показать, что интегрирование плотности силы (4.33) в предельном случае мягкого магнитного материала дает результирующую силу, выражаемую формулой (!.!О).
В уравнении (4.33) произведение Мн выражает магнитный момент единицы массы смеси. Его же можно записать в виде Мз = поИ, где л — числовая концентрация магнитных коллондных частиц, н т — средний магнитный момент твердой частицы. 122 4. Тенвор нанряженив и уравнение движения Произведение ли есть число частиц в единице массы смеси и остается постоянным при изменении объема. Кроме того, в разбавленной суспензии т зависит только от внешнего поля Н„ если сжатие смеси не влияет на намагниченность твердых частиц. В типичной магнитной жидкости на углеводороде жидкость-носитель в сотни раз более сжимаемая, чем магнетит, поэтому магнитострикцией твердых частиц можно пренебречь.
Следовательно, для разбавленного коллоида Ми не зависит от э и интеграл в (4.33) обращается в нуль. То, что остается, является плотностью силы Кельвина с учетом Н= Нв. Если жидкость не разбавленная, то добавочное слагаемое в (4.33), очевидно, учитывает наличие дипольных взаимодействий. В группировке магнитных слагаемых в (4.27), (4.32) и (4.33) имеется определенный произвол, и это привело к некоторой путанице в литературе. Ниже будет выведен ряд формул, которые время от времени появляются в литературе по магнетизму.
Некоторые общие формулы В дальнейшем неоднократно будет использоваться тождество и и Ч ~ МИН =МЧН + ~ ЧМйН, (4.34) (4.36а) которое является элементарным обобщением формулье Лейбница для дифференцирования интеграла. В тождестве (4.34) ТМ берется при фиксированном Н, поэтому (4.34) имеет смысл использовать в случае, когда жидкость может намагничиваться неоднородно. Например, представим интеграл в соотношении (4.33) следующим образом; и и ~.= — н[н,( ( — ',м) ен-нн,(мин~->„,м н= о о и и — н[н ( ( — ) шн1.~.н (нанн; Н25) при переходе ко второй строке последнего соотношения использовано тождество (4.34).
Часто встречаются некоторые величины типа давления, поэтому дадим им обозначения: Магиитострикциоииое давление и Ре)о~о(ди)ЙН о т'.8. Плотность магнитной объемное силы Магнитожидкостное давление И Рт = Ио ~ М дН = РоМН. о (4.36Ь) Здесь введена средняя по полю намагниченность М =ф ~ Мдн. о (4.37) Уравнение (4.35) для плотности силы записано так, что не содержит В или В. Таким же образом, используя связь В = )лН, можно записать уравнение (4.29) для тензора напряжений жидкости, не содержащего давление т = — (т,(( г ") гн114-(тнн — — т,нъ). Н381 о С помощью определений (4.36а) и (4.36Ь) величину Т можно представить в виде Ты= — (р.+р + Чт)тоНт)$+)ьНН. (4.39) Приведем и другую, эквивалентную форму уравнения (4.38); Т =)~~р — р( — ") ]Нйн+рНН, (4сйо) о в которой р=н(Н, Т, р).
Провести преобразование (4.38) к этому выражению предоставляется читателю в качестве упражнения. Некоторые частные формулы Предыдущие соотношения являются точными для сред с нелинейной намагничиваемостью в равновесии. При отсутствии намагниченности выражения для тензора Т должны переходить в выражение для тензора максвелловских напряжений в пустоте, а выражения для силы т должны обращаться в нуль. Действительно, положив М =О в уравнении (4.35), получим 1 = О. Кроме того, положив М = О в соотношении (4.38), найдем, что множитель в скобках перед! обращается в нуль, и так как )ь переходит в ро, соотношение (4.38) сводится к ранее полученному выражению для тензора максвелловских напряжений в вакууме (3.15). Такие переходы должны иметь место для всех выражений тензора Т .
4. Тензор напряжений и уравнение движения 124 Для сред неизотермических, но с практически постоянной плотностью намагниченность зависит только от поля Н и температуры Т, так что М=М(Н, Т) и уравнение (4.34) в этом случае принимает вид Ч ~ М йН МЧН -,- ~ — ЧТЙН. (4.41) гн Имеются два важных случая, когда Ч ~ МйН= МЧН: о !. Течение жидкости изотермично, ЧТ= О. 2. Область изменения температуры жидкости находится далеко от температуры Кюри, так что в большинстве практических случаев можно считать дМудТ = О, (Кривая зависимости М от Т близка к графику постоянной на интервале от Т = О К до некоторой окрестности Т, и затем резко падает до нуля.) Следовательно, в большинстве практических случаев последним слагаемым в правой части уравнения (4.41) можно пренебречь.
Тогда, как видно из соотношений (4.35) и (4.36а), в выражении для силы остается только член с магиитострикцией: (4.42) 4 = — Чр,. и и ро ~ М йН = ~ (р — ро) Н йН = (р — ро) Но/2 (4 43) Здесь также была учтена связь В = ро(Н+ М) = рН. Теперь преобразуем стрикциоиное слагаемое. используя замену пере- Стрикциоиные эффекты не оказывают влияния на поле скоростей несжимаемой жидкости, если в ней нет физико-химических фазовых превращений. Поэтому магнитострикционный член можно не учитывать при анализе без ущерба для результатов.
Это будет продемонстрировано в гл. 5 при использовании уравнения Бернулли в феррогидродииамике. В задачах, где сжимаемость существенна, например при изучении распространения акустических волн или фазовых превращений при кавитации, магнитострикционными слагаемыми нельзя пренебрегать без предварительного анализа. Теперь покажем, что общее выражение для плотности силы (4.35) для линейно намагначаваюа(ахся сред переходит в выражение Кортевега и Гельмгольца.
Сначала преобразуем первое слагаемое в правой части первого равенства (4.35), учитывая, что в линейно намагничивающемся материале р по определению зависит только от р и не зависит от Н: 4.8. Плотность магнитной обаемной силы 125 менной р = 1/щ 1п~~ о( — ) дН вЂ” — !лота р( — ) дН вЂ” — ~ р( — ") НдН— о о о =- — ".' (~",), Наконец, рассмотрим последнее слагаемое уравнения (4.35): роМЧН = ро(1о!1оо — 1) НЧН = (1о — 1ьо) Ч (Н'/2) (4 45) Подставив результаты (4.43) — (4.45) в уравнение (4.35), по- лучим хт=Ч[ 2 Р(~ ) 1 — Ч[(р Ро) 2 1+(И вЂ” Ро)Ч( 2 ).
(4.46) Выполнив дифференцирование и приведя подобные члены, по- лучим выражение для плотности силы по Кортевегу и Гельм- гольцу: 1 =Ч[( — ")р(~~') 1 — — "Чр. (4.47) При рассмотрении течений несжимаемых жидкостей первое слагаемое в правой части уравнения (4.49) можно объединить с термодинамическим давлением или совсем опустить. Полученный при этом тензор напряжений можно назвать неполным.
В вакууме р = ро и р = О, поэтому при предположении о конечности величины (д1ь/др)„тензор напряжений (4 49) сводится к тензору максвелловских напряжений Т = — (1ло/2) НН+ роНН. (4.50) Для жидкостей с постоянной проницаемостью 1с эта плотность силы в объеме жидкости отсутствует. Однако на поверхности раздела из-за скачкообразного изменения р появляется плотность поверхностной силы. Вид теизора напряжений Кортевега — Гельмгольца, соответствующего уравнению для силы (4.47), можно найти следующим образом. Подставив результаты (4,43) и (4.44) в уравнение (4.29) и учитывая связь В = 1ьН, получим Ты= [ 2 Р! В ) +(1ь 1ьо) 2 + 2 РоН 1!+ 1ьНН.
(4.48) Приведя подобные члены, найдем выражение для тензора напряжений для сжимаемых линейно намагниоивающихся сред: Т = — [~' Н' — — р( ~ ) 11+ 1оНН. (4,49) 4. Теявор яваряжений и уравнение движения Приведем еще одно выражение для плотности силы, которое удобно использовать при рассмотрении несжимаемых нелинейно намагничиеающихся сред; таким образом, еще раз иллюстрируется разнообразие выражений для силы, встречающихся в литературе.
К правой части уравнения (4.33) прибавим и вычтем гн слагаемое р,НЧН= 7(ро~ Но(Н) и, пренебрегая стрикцией, о получим и и ( = — е(е ) вен 1 — 7(е ( мин)Ее меч~ веы (45О о / т о или $ = — Ч ~ ВдН+ ВЧН = — — ()ЧВс(Н, (4.52) где ЧВ берется при постоянном Н. Второе равенство (4.52) определяет искомое выражение для силы, отличающееся своей компактностью. Упражнение. Выведите выражение для тензора напряжений, соответствующее силе (4.52). Решение. Из соотношения (4.3!) видно, что ВЧН= В. ЧН Кроме того, В ° 7Н = Ч ° (ВН) — Н (7 В) = 7 ° (ВН) = 7 ° (НВ); при переходе ко второму равенству здесь использовалось хорошо известное векторное тождество, а при переходе к третьему равенству — уравнение Ч В = О; последнее равенство следует из симметрии диады ВН.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
