Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Полученное соотношение означает, что нормальная к поверхности раздела компонента вектора В непрерывна. В„о И Рис. ЗЛ. Нормальная компонента В и тангенниальная компонента Н непрерывны при переходе через поверхность раздела двух разнородных сред. Этот результат можно также представить в виде (3.8) п ° (В, — Вз) = О. Применим закон Ампера к бесконечно малому контуру, стягивающему поверхность раздела„как показано на рис. 3.2 справа. Длина сторон контура, обозначенных Ьс и асг, стремится к нулю, и они не дают вклада в интеграл. Интегрирование по двум другим сторонам приводит к соотношению Таким образом, тангенциальная к поверхности раздела компонента магнитного поля непрерывна.
Этот результат можно записать в виде и тс', ( Не — Н,) =- О. (3.9) Приведем примеры использования полученных граничных условий. Пример. Магнитная пластина во внешнем однородном магнитном поле. Пусть в однородное магнитное поле Но помещена пластина, неограниченно простирающаяся вдоль осей х н у, а 92 3. Элементы теории электромагнетизме ее поверхности перпендикулярны направлению поля, как изображено иа рис. 3.3.
Найти величины В, Н и М внутри пластины для случаев, когда (а) пластина имеет постоянную намагниченность Ма= Ма(г; (Ь) материал пластины имеет постоянную проницаемость и =В)Н. Решение. В обоих случаях условие (3.8) требует, чтобы нормальная компонента магнитной индукции В = роНо была непрерывна при переходе через поверхности пластины. его 1®в ~в" ~ Нв-явй ем=о",М -'? :.йг ~ Во=89« (а) (хв 1 На=ноя (Ь) (а) В случае постоянно намагниченной пластины условие непрерывности В на границах приводит к равенству Вс = В. Следовательно, роне=)хе(н+ Мо), или Н=Н, — Ме.
Величина намагниченности Мо по предположению постоянна. Заметим, что если внешнего поля нет (Не=О), то поле внутри пластины направлено противоположно ее намагниченности и равно ей по величине, т. е. Н= — Ме. Если внешнее поле Нс —— Мо, то поле внутри пластины исчезает. (Ь) В случае линейно намагничиваемой среды из условия (3.8) следует соотношение рН=~,(Н+ М) = р,Н,. Исключая Н, найдем величину наведенной намагниченности пластины М = Не () — )хс/(л) Это выражение показывает, что как бы ни была велика проницаемость )х, намагниченность пластины М не может превысить приложенного поля Н,.
Геометрия пластины исключает ее сильную намагниченность. Пример. Шар в однородном магнитном поле. Уравнение Лапласа для потенциала в сферической системе координат с учетом Рис. 3.3. Однородное магнитное поле, приложенное к пластине из твердого и мягкого магнитных материалов. (а) Пластина с постоянной намагниченностью; (Ь) пластина из материала с постоянной магнитной пронинаемостью. 93 3.2. Граничные условия для магнигноео ноля осевой симметрии имеет вид где г — расстояние до начала системы координат, Š— полярный угол. Поиск решения уравнения в виде произведения ч (., е) = л (.) ч (е) дает ряд решений с полиномами Лежандра, причем только первое решение из них удовлетворяет условиям задачи.
Таким образом, будем иметь дело с ре- шепнем Аг созЕ, г < 11 Ч'= (Сг+ О/г') соз Е, г > )с, где )х' — радиус шара. Соответствующее этому потенциалу магнитное поле имеет вид Н = — 7Ч'= дч' 1 ди' — — — — 1е = дс ' с дв — А (1,созŠ— 1в ейпЕ), г<)с; — (с — ю~ ) е1,+ + (С+ Цгв) з!и 019, г>К. Магнитное поле вдали от шара должно стремиться коднородному внешнему полю Оо(с, где й — единичный вектор вдоль оси г. В сферической системе координата = 1, соз Š— 1в з(п Е, поэтому, положив г — оо в решении для Н, получим С= — Оо.
Подстановка этого же соотношения в решение для поля при г < лс показывает, что Н = А(г; следовательно, магнитное поле внутри шара однородно и направлено вдоль оси з. Решение для поля вне шара таково, как если бы оно было суммой внешнего поля и поля магнитного диполя, расположенного в центре шара, с моментом 4тЫ. Из условий непрерывности тангенциальной компоненты поля Н и нормальной компоненты индукции В на поверхности шара получаются два дополнительных соотношения для неизвестных 94 3.
Элемеиты теории электромагнетизме постоянных. Найденные отсюда постоянные имеют значения ~и~ а 7) и.— я~ уц ие+ 2р, ' от+ ви, где р, — проницаемость среды вокруг шара, рт — проницаемость материала шара. На рис. 3.4 изображены линии поля Н около шара с бесконечно большой проницаемостью. В этом предельном случае поле внутри шара равно нулю, а линии поля входят в поверхность шара извне строго по радиусу. 3.3. ТЕНЗОР МАКСВЕЛЛОВСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В равд. 1.7 обсуждался физический и математический смысл тензора напряжений.
Как будет видно далее, это понятие дает нам мощный метод описания действия магнитной силы, альтернативный к описанию действия на расстоянии, свойственное закону Кулона. Выведем математическое выражение для тензора напряжений магнитного поля. Следует помнить, что для существования магнитных напряжений нет необходимости в материальной среде. Полезно для начала представить, что в окрестности некоторой точки пространства имеется маленькое «пробное» облако из магнитных диполей.
По теореме Брауна, уравнению (!.63), облако диполей эквивалентно распределению полюсов с плотностью р„. Так как Н есть сила, действующая на единичный полюс, то плотность кажущейся локальной силы Г равна Г=р„н. Наша задача — представить правую часть формулы (3.10) в виде дивергенции некоторого тензора, тензора максвелловских напряжений. С учетом уравнения (1.63), или уравнения р„= — поЧ М, и уравнения — Ч М = Ч Н, следующего из соотношений (3.2) и (3.3), выражение (3.10) преобразуется к виду (3.11) Г=р,н(7 Н).
При помощи тензорного тождества Ч (НН) = Н (Ч . Н) + Н ЧН выражение (3.1!) переписывается в виде Г = 7 ° (роНН) — роН ° ЧН. (3.12) Так как Н . ЧН = Ч (Н'/2) — Н к, (Ч к', Н), то с учетом уравнения (3.4) Ч к', Н =0 выражение (3.!2) можно привести к виду Г = 7 ' (роН Н) — 7 (роНг(2) (3. 13) Немного ниже будет показано, что для любой скалярной функции з справедливо равенство 7 (з!) =Чз; поэтому выражение 95 З.З. Тензар максвелловских напряжений для силы (3.13) можно представить в виде дивергенции неко- торого тензора Р = Ч ° (1л НН вЂ” Не Но1), (3.14) где величина в скобках н есть тензор максвелловскнх напряжений Т: (3.!5) а его покомпонентная запись имеет вид Тц — — )яоН сН ~ — Ня)яоН бц. (3.16) Доказательство равенства Ч (з!) =Чз: =(ес — )в=Чз, где бц — — ~ ..
что и т. д. По математическому смыслу тензора напряжений сила, действующая на элементарную площадку Н5 с внешней нормалью и, равна п Тс(5, поэтому полная сила, действующая на тело с объемом У внутри поверхности 5, записывается в виде Рмс = <~ и Т с(5. (3.17) Важно, что магнитную силу, действующую на содержимое некоторого «контрольного» объема, можно вычислить, зная только величину поля на поверхности этого объема. Форма и расположение объема обычно выбираются из соображений удобства вычисления слагаемых интегрального выражения.
Польза такой формулировки для силы видна на примере анализа плоской струи в приложении 2. Следует отметить„что хотя тензор максвелловских напряжений построен при помощи магнитной силы, действующей на распределение диполей, он применим и к пустому пространству, где нет вещества. Момент дипольного облака при этом можно устремить к нулю.
Следовательно, интегрирование вектора максвелловского напряжения и Т по любой замкнутой поверхности внутри пустого пространства должно давать в магнитостатике нулевую силу. Образ тензора максвелловских напряжений Рассмотрим элемент с(5 поверхности 5, изображенной на рис. 3.5. Вычислим напряжение в точке Р, в которой единичная нормаль к поверхности и образует угол 0 с осью тл и= Е + з)пЕ). (3.!8) 3. Элементы теории электромагиетиама Для удобства система координат выбрана так, чтобы магнитное поле в точке Р было направлено вдоль оси х, т. е. Н =Н1.
Рнс. 3.3. К выводу уравнения (3.2!). Обозначим через ф угол, который образует вектор напряжения 1„с осью х. Тогда напряжение 1„— = п Т=Т и (тензор Т симметричен) дается выражением Фи= роНН ° и — '/,раН'и = раНН сов 8 — '/гроогп. (3.19) Используя соотношение (3.18) и Н = 01, получим 1„=(/,р,Нг 38)1+( — /,р,нгз)п8)) =1.1+1„).
(328) 1=!/гр нг !2! =%)г,ив (Ь) (а) Следовательно, ги/1,= — 1д8. Так как отношение 1„/1, равно также 1ц~р, то можно считать )81=~ р). (3.2!) Это равенство выражает очень общий результат; его словесная формулировка такова: угол между нормалью к поверхности и и Рнс. 3.6. Геометрический смысл вектора напряжения 1: (а) параллельное полю натяжение н (Ь) поперечное полю давление. 97 8.4. Уравнения Максвелла вектором напряжения 1н делится пополам вектором магнитного поля Н. Из проведенного анализа видно, что вектор напряжения представляет собой натяжение, направленное вдоль поля, когда Н параллельно п, и давление, направленное поперек поля, когда Н перпендикулярно и.
Эти результаты иллюстрируются рис. 3.6, где ~ 1„~ = (г'„+ 1и) ". Иными словами, тензор максвелловских напряжений в вакууме приводит к появлению натяжения вдоль линий поля и давления поперек линий поля; таким образом, Н Н Н н, Н 5О 5 15г 1„ Д а~пяжение Сдвиг аееение Сдвиг Напгяжение Рис. 3.7. Образ тензора максвелловских напряжений в вакууме в магнитном поле Н. При вращении вектора нормали к поверхности по часовой стрелке вектор напряжения 1, вращается против часовой стрелки. линии поля ведут себя как резиновые жгуты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
