Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 20
Текст из файла (страница 20)
~ '(Н,.В Н.во) ( . (3.55) Здесь учтено, что в объеме У, справедливы соотношения Но В=Но.1л,Н=р,Но Н=В, Н, (3.56) где У = У, + У,. Исходное поле имеет обозначения: В, и Н,= = — Чф,; конечное поле — обозначения: В и Н = — сэр, где эро и ф — потенциальные функции. При помощи тождества Заменания и дополнительная литература 109 согласно которым интеграл по объеиу !', тождественно равен нулю. В объеме )тт имеем В =реН, а Ве —— - !ь!Не, поэтому — — (н в — н в,) е()' =- — — (!л, — !л,) н, н е( Г 1 г ! В результате 1 л)р= — ~ — (па — р,)Н, на.
,! 2 (3.57) Если !и = по, то в объеме Ре выполняется соотношение в =- !ееН = ра(Н + М), с учетом которого М (!Ят/тьо 1) Н (3.58) а выражение (3.57) принимает вид Г 1 !ьюМ ' Нее(!'. з 2 (3.59) Уравнение (3.59) выражает через вектор намагниченности М энергию, затрачиваемую при внесении магнитной жидкости в магнитное поле фиксированных источников.
В полученном результате замечательно, во-первых, то, что энергия поля, первоначально представляемая в виде интеграла по всему пространству, здесь выражается через интеграл только по объему жидкости, во-вторых, то, что здесь фигурирует только исходное поле Нь, а не конечное поле Н. Эти обстоятельства оказываются очень удобными при анализе некоторых встречающихся задач; например задачи о величине промежутков в лабиринтной структуре магнитной жидкости, которая будет рассматриваться в гл. 7.
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Мы, конечно, не можем претендовать на то, чтобы дать полную картину одного из самых старых и содержательных разделов физики — классической теории электромагнетизма. Этот предмет вместе с классической и квантовой механикой составляет ядро современного образования физиков и занимает очень важное место в учебных программах по электротехнике. По этой причине имеется большое число хороших руководств, к которым заинтересованный читатель может обратиться для дальнейшего изучения. Прекрасными современными учебниками являются: книга Цаиа (Еа)!п, !979), в которой основное внимание уделяется решению задач, и книга Рейтца, Милфорда и Кристи (Ке(12 е1 а!., !979).
Более глубокими руководствами являются книги Ландау и Лифшица (1954, 1957), Пановского и Филлипса но 8. Элементы теории электромагнетизме (Рапо!зк), РЫ!1!рз. 1962), Джексона ()ас)своп, 1975) и более старые, но все еще классические книги Джинза ()еапз, 1925) и Стрэттона (5!га!!оп, 1941). Здесь также уместны и ценны книги по теории поля и теории потенциала. Две хорошие книги принадлежат Муну и Спенсеру (Мооп, 5репсег, 1961) и Келлогу (Ке!!ода, 1953). Прекрасный курс на высоком уровне с изложением электродинамики и некоторых параллельных аспектов магнетизма принадлежит Мелчеру (Ме1с)тег, 1981). Изложение, радикально отличающееся от традиционных курсов, точное, но математически устрашающее, имеется в работе Трусделла и Тулина (Тгцезбе!1, Тоцр)п, 1960), главная цель которых — «отделить аспекты теории, не зависящие от приписываемой пространству-времени геометрии„от аспектов, формулировка или интерпретация которых зависит от пространства-времени или подразумевает определенную его геометрию>.
Вывод макроскопических уравнений Максвелла подходящим осреднением по совокупности атомов восходит к Лоренцу. Свежий взгляд на этот предмет можно найти у Русакова (Кцзза11оц, 1970). 4. Тензор напряжений и уравнение движения В обычной гидродинамике единственной силой, действующей извне на весь объем жидкости, является сила тяжести. В магнитной гидродинамике на ионизованный газ или жидкий металл, проводящие электрический ток, действует объемная сила Лоренца, возникающая из-за взаимодействия тока с магнитным полем. В электрогидродинамике на ионы или другие частицы, несущие электрический заряд, в электрическом поле действует электродинамическая сила. В непроводящей магнитной жидкости нет ни электрических токов, ни электрических зарядов.
Объемная сила в этом случае появляется из-за взаимодействия магнитного поля с ферромагнитным дипольным моментом каждой коллоидной частицы. Как отмечают Слепян (Ыер)ап, 1950), Пенфилд и Хауз (РепИе!д, Напз, 1967), Берн (Вугпе, 1977), вопрос о пространственном распределении силы был предметом дискуссии около ста лет. В литературе можно найти множество предложенных законов для силы и соответствующего тензора напряжений; все они приводят к разным распределениям силы. Во многих устаревших теориях упругие свойства среды или не учитывались, или полагались не зависящими от полей; при сравнении различных «давлений», встречающихся в литературе, возникает путаница. Впервые удовлетворительный вывод объемных сил из энергетического принципа с учетом упругих деформаций, по-видимому, был сделан Кортевегом (Кот!евер, 1880) и усовершенствован Гельмгольцем (Не!пйо!!г, 1882), правда, только для сред с линейными соотношениями.
Так как коллоидные магнитные жидкости намагничиваются нелинейно, вывод силы здесь будет представлен с учетом нелинейных эффектов; такое обобщение впервые сделали Каули, Розенцвейг (Сотч!еу, Яозепзче(8, 1967), Пенфилд, Хауз (Реп!!ей, Напз, 1967). Этот вывод термодинамический и основан на законе сохранения энергии. При помощи только одного объекта— тензора магнитных напряжений — можно наиболее удобным образом дать количественное описание сил и их распределения. Тензор напряжений, как будет видно далее, учитывает не только объемную силу, но и плотность поверхностных сил, которые появляются в магнитных жидкостях.
112 й. Тенввр наирнженид и уравнение движения 4.1. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ Первый закон термодинамики в применении к малому изменению состояния единицы массы однородного вещества записывается в виде 6Π— ЫГ = ди', (4.1) где ба — приток тепла, 6)р' — работа, совершаемая веществом над окружением, Н' — внутренняя энергия, рассчитанная на единицу массы. Если процесс осуществляется обратимым образом, приток тепла выражается через изменение энтропии: 69= ТдГ, где 5' — энтропия вещества, рассчитанная на единицу массы.
Свободной энергией Гельмгольца Р' называется величина г' = — = 11' — ТТ. Дифференциал Е' соответственно имеет вид дР' = ди' — Т аВ' — В'йт. Исключая 61„1 и Н/' из уравнения (4.1), получим о)и' = — 6(й — 5' г(Т, (4. 2а) а для изотермического процесса (4.2Ь) г(~ г Таким образом, изменение свободной энергии в обратимом изотермическом процессе равно совершенной работе с обратным знаком независимо от того, как эта работа выполнялась.
Нас интересует только работа, совершаемая при расширении, т. е. работа по изменению объема и «магнитная» работа, при выполнении которой меняется энергия магнитостатического поля. Поэтому [с учетом обсуждения, проведенного после вывода уравнения (3.50)] 6((7=рдо — Ы(с ~ НдВ) =(р — ~ НдВ)йи — оНдВ, (4.3) где и =р ' — удельный объем. Из (4.2) и (4.3) следует, что дР' = — (р — ~ Н йВ) до — Б'йТ+ вН дВ. (4.4) Теперь видно, что имеется функциональная зависимость, которую можно представить как г"' = Р'(и, Т, В). Так как В зависит от и, Т, Н, эту зависимость можно также выразить в виде г'=Р'(о, Т, Н).
В отсутствие магнитного поля из (4.4) следует е(г"' = — р дс — 5' ЙТ. (4.5) е.г. Вывод тенвора магнитных напряженна В отсутствие полей Р' является функцией только о и Т, поэтому можно выписать следующее выражение для его дифференциала: т'Е (ю, Т, О) = ( д ) г(в+ ( дг ) НТ. (4.6) Сравнивая (4.5) и (4.6), заключаем, что в отсутствие полей уравнения для давления и энтропии полностью определяются заданием свободной энергии (4.7а) ( дг ) = — 5'. (4.?Ь) Иногда более удобно иметь дело со свободной энергией, рассчитанной на единицу объема, обозначаемую через Р: г"' = ор. (4.8) Из соотношений (4.8) и (4.7а) следует выражение для обычного термодинамического давления р или, точнее, р(о, Т) или Р(р, Т): (4.9) Для дифференциала свободной энергии Р' из уравнения (4.8) имеем др'=от(г" + Рдш Исключая при помощи этого выражения величину др' из уравнения (4.4), получим, что при постоянной температуре и постоянном объеме г(г =НйВ.
(4.10) Это уравнение связывает плотность магнитостатической энергии с термодинамической свободной энергией; обе величины рассчитаны на единицу объема. 4.2. ВЫВОД ТЕНЗОРА МАГНИТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Рассмотрим однородный слой жидкости толщины а, расположенный между двумя параллельными плоскостями (рис. 4.1). Будем считать такой слой достаточно представительным элементарным объемом жидкости, но достаточно малым, чтобы характеристики поля и жидкости в нем были почти постоянны. Однородное магнитное поле может быть создано, например, поверхностными токами в плоскостях; вие слоя оно замыкается через область с нулевым магнитным сопротивлением. Удобно рассматривать плоские токи в виде совокупности из отдельных 4.
Тензор напряжений и уравнение движения проводников или отдельных витков. Боковые проводники витков, через которые замыкаются токи в плоскостях, наклонены под углом (р к ограничивающим слой жидкости плоскостям; следовательно, векторы Н и В наклонены к плоскостям под углом и/2+ тр. Этап 1. Изотермическое намагничивание при постоянном объеме. Будем увеличивать приложенное поле Н, сохраняя плоскости, ограничивающие слой жидкости, неподвижными (так что Рис. 4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
