Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Внимательное рассмотрение рис. 3.7 внесет ясность в некоторые моменты проведенного анализа. 3.4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА До Х1Х столетия историческое развитие теории электромагнетизма следовало по двум независимым направлениям. Одно из них — исследование электрических зарядов и их полей, другое имело дело с электрическими токами и создаваемыми ими полями. Такое положение вещей продолжалось до тех пор, пока Фарадей не показал, что меняющееся во времени магнитное поле может создать электрическое поле, а Максвелл, введя ток смещения, не показал, что меняющееся во времени электрическое поле индуцирует магнитное поле.
Математическая формулировка законов, управляющих явлениями электромагнетизма, и есть знаменитые уравнения Максвелла. Мы не можем надеяться в кратком курсе дать вывод полных уравнений Максвелла; мы лишь сформулируем эти уравнения и обсудим некоторые их аспекты. Правильность результатов, следующих из этих уравнений, надежно проверена в самых разных областях знания; в качестве примера укажем выяснение природы электромагнитного излучения и его распространения в вакууме с постоянной скоростью света. Уравнения 98 3. Элементы теории элентромагнетиэмо Максвелла здесь приводятся как в интегральной (а), так и в дифференциальной (Ь) форме.
Закон Фарадея ~Е' Л= — — „т )В дв, дв РХЕ= — —. д~ ' (3.22Ь) Закон Ампера с поправкой Максвелла: ~ Н Л = ~ 3, Л+ — „', ~ 0. (В, (3.23а) 3 УХН=3,+ — „. до (3.23Ь) Закон Гаусса 1: ~ 0 ° е($ = ~ р~ е()т, (3.24а) т' ° 0=рн (3.24Ь) Закон Гаусса 11: ~ В. (В=О, (3.25 а) (3.25Ь) т В=О. Закон сохранения заряда и уравнение неразрывности заряда: ~ .)г е($ = — — ~ р~ е((т, (3.26а) Р А= — д,'. др, В последующем изложении феррогидродинамики, за исключением этой главы, будет предполагаться отсутствие свободных зарядов рг и электрической индукции О, так что закон Гаусса 1 не будет иметь значения, а в законе Ампера будет отсутствовать ток смещения. Кроме того, в непроводящей магнитной жидкости тока проводимости 3г нет, что означает равенство нулю всех членов в уравнении закона сохранения заряда.
Поляризацию Р и намагниченность М принято вводить следующими определяющими уравнениями: 0 =еоЕ+ Р (3.27) в = ~,(н+ и). (3,28) 8.4. Уравнения Максвелла Таблица 3.!. Сводка переменных поля и единиц измерения Электрическая индукция Название Напряженность электрического поля Напряженность магнитного поля Кулон/(метр)з (К/м') Вольт/метр (В/и) Единицы СИ Ампер/метр (А/м) Плотность свободных зарядов Название Магнитная индукция Плотность тока свободных заря- дов Ампер/(метр)з (А/мз) Кулон/(метр)' (К/м') Единицы СИ Тесла (Тл) В гл.
1 было показано, что такое определение намагниченности М позволяет отождествить )хоМ с плотностью днпольного момента вещества. Параметры, описывающие поле н входящие в уравнения Максвелла, перечислены в табл. 3.1; символ Й лс означает интегрирование по замкнутому контуру /., а д/с//= = д/д/ + у.'(/ — материальная производная„ введенная в гл. 1. Величина со штрихом Е' в уравнении (3.22а) является величиной, измеренной в данной точке наблюдателем, двнжушнмся вместе с контуром Е.
Из параметров, описывающих поле н приведенных в табл. 3.1, величины Н н В были уже введены ранее. Магнитные поля создаются как электрическими токами, так н магннтно-поляризованным веществом. Магнитную поляризацию вещества порождает главным образом электронный спин, не имеющий классического аналога. Плотность тока свободных зарядов 3/ вызывается поступательным движением свободных электрнческнх зарядов с объемной плотностью р/.
Слово «свободный> отлнчает такой заряд от «связанного» заряда, ответственного за электрическую поляризацию вещества. Вектор электрического поля Е в некоторой точке представляет собой силу, действующую на пробный (еднннчный) заряд, помешенный в эту точку. Если точка поля доступна, как это имеет место в воздухе, то эта сила экспериментально определима; внутри вещества поле '. Элементиг теории электромагнетиэма рассчитывается по определению из уравнений поля. Индукция 0 является электрическим аналогом магнитной индукции В. Если поляризация Р известна, то индукция 0 может вычисляться по определяющему уравнению (3.27). Например, постоянно поляризованная палочка, или электрет, является аналогом постоянного магнита, а величина Р— аналогом 1лоМ.
Интегральные уравнения Интегральные уравнения особенно полезны при анализе задач с движущимися границами и при выводе общих выражений для граничных условий. Интегральные уравнения в той форме, в какой они здесь записаны, справедливы только для неподвижных контуров и поверхностей. Если контуры и поверхности движутся, то переменные поля должны быть взяты в движущейся системе отсчета (штрихованной системе). Это в свою очередь требует преобразования переменных поля в движущейся системе отсчета к системе отсчета, связанной с наблюдателем, чтобы получить полезные работающие соотношения. Общие преобразования векторов электромагнитного поля — преобразования Лоренца — следуют из положений специальной теории относительности и требований, чтобы дифференциальные уравнения Максвелла выглядели одинаково в обеих системах отсчета (см., например, книгу Джэксона (Яаскзоп, !975, гл.
11). При скоростях, много меньших скорости света (т. е. и «с)„для интегральных уравнений имеет значение только преобразование, относящееся к электрическому полю Е (см. ниже). Интеграл по контуру в интегральной форме закона Фарадея называется элекгродвижущей силой (ЭДС). Интегральный закон Фарадея утверждает, что ЭДС наводится изменением потока индукции В сквозь замкнутый контур Ь; при этом поток может меняться за счет изменения магнитной индукции, формы, ориентации и положения контура. Производную по времени, содержащуюся в правой части уравнения, можно внести под знак интеграла при помощи варианта теоремы переноса Рейиольдса для интеграла по поверхности (приложение 1): — ~ В йЯ = ~ ~ — + Ч Х (В Х ч)+ Я г7 В) ~ г($. (3.29) С учетом уравнения Ч В = 0 и теоремы Стокса (приложение !) уравнение (3.29) преобразуется к виду Злх уравнении Максвелла 10! Исключая интеграл в левой части уравнения (3.30) при помощи уравнения (3.22а), получим 1 Е .
Л= 1 — дв . б8+ $(УХ В).Л, (3.3 ! а) Объединяя интегралы по контуру в уравнении (3.3!), найдем ~(Е' — чХВ) а)=~ дг илп 1'" =~-7' ь в Е = Е' — тг Х В. (3.3! Ь) где (3.32) Это есть формула, связывающая Е и Е' при преобразовании Галилея '>. Она приближенная, хотя имеет очень хорошую точность; при использовании теоремы Рейнольдса неявно предполагалось преобразование х'=х — о 4, у'=у, г'= г и связывающее координаты пространства и времени штрихованиой системы координат, движущейся со скоростью о, вдоль оси х, и нештрихованной системы координат.
Точная формула, связывающая Е и Е', выводится во многих учебниках по электромагнетизму. Теперь вернемся к уравнению (З.З)Ь) и преобразуем его левую часть при помощи теоремы Стокса для интеграла по поверхности; учитывая произвольность выбора поверхности интегрирования, немедленно получаем дифференциальную форму закона Фарадея — уравнение (3.22Ь). Это уравнение, как, впрочем, и вся система дифференциальных уравнений Максвелла в том виде, как она здесь записана, справедлива всегда. Дифференциальные уравнения Как уже отмечалось, магнитное поле создается не только магнитно-поляризованным веществом, но также и движением зарядов, т. е. электрическим током.
Влияние плотности тока Зс описывается первым слагаемым в правой части дифференциальной формы закона Ампера. Фарадей верил, хотя и был не в состоянии экспериментально показать, что меняющееся во времени электрическое поле наводит магнитное поле. На долю Максвелла выпало показать, что Фарадей был прав и что закон Ампера без поправки проти- " Точнее при преобразовании систем координат, двиисушихси относительно друг друга со скоростью, много меньшей скорости света. — Прим. перев. 1оз 3. Элементы теории электромагнетиэма воречит закону сохранения заряда. Таким образом, если взять дивергенцию от дифференциального уравнения закона Фарадея без поправки, получим '(э .
(тт Х Н) = О = т ЯО так как тэ. ( т,'эт', А) = 0 для любого векторного поля А с непрерывными вторыми частными производными. Этот результат противоречит уравнению (3.26Ь), если имеется меняющийся во времени заряд. Максвелл догадался, что если в правую часть уравнения закона Ампера добавить ток смещения д0/дй то закон сохранения заряда будет выполняться автоматически.
Следовательно, если взять дивергенцию от уравнения (3.23Ь) и получившееся уравнение упростить при помощи уравнения (3.24Ь), то получим уравнение сохранения заряда (3.26Ь). В отличие от гидродинамики, в которой уравнение сохранения массы является независимым соотношением, из уравнений Максвелла следует уравнение сохранения заряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
