Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Геометрия слоя, используемая для вывода тензора напряжений в намагничивающейся жидкости. Область, внешняя к пространству между двумя пластинами, играет роль резервуара с постоянной температурой, являясь в то же время областью с очень большой магнитной проницаемостью. Условие очень большой проницаемости означает, что в этой области не запасается никакой энергии поля. См. (Соти!еу, мазепа(не(К, 19бт).
нет деформации жидкости) при изотермических условиях. Изменение свободной энергии, рассчитанной на единицу объема, как следует из (4.10), (4.2Ь), есть магнитная работа — г(Рг — — бЦ7 = — Н й(в. (4.!1) Интегрируя это уравнение при постоянной температуре, получим ° в р(р. т. В(=1)нрВ) "(-р (р, т(, (4424 р. г где г"о(р, Т)= Р(р, Т, О). Индексы р, Т сохранены для напоминания, что интегрирование производится при постоянной плотности р (или удельном объеме о) и постоянной температуре Т.
Уравнение (4.12) можно записать в другой эквивалентной форме рл р(р, Т, Н(=.р (р, т!-(-Н — (1 ВВН) . (4(2( о о. г ыз т.2. Втнаод тенвора магнитньи наарнжений Этап 2. Изотермнческое деформированне. Пусть теперь жидкость деформируется бесконечно малым смещением й одной из ограничивающих ее плоскостей; причем й не обязательно параллельно единичной нормали и к плоскости, так что толщина слоя увеличивается на величину ба = й.п.
На этом этапе температура поддерживается постоянной из-за теплообмена с тепловым резервуаром, а токи в витках поддерживаются такими, чтобы определяемый ими поток магнитной индукции не менялся. Последнее условие означает, что магнитная работа отсутствует. Наша задача состоит в определении тензора магнитных напряжений Т' в магнитной жидкости. На единицу площади плоскости со стороны слоя жидкости действует сила — и Т', поэтому при деформировании слоя совершается работа (в расчете на единицу площади) б(вт = — и ° Т' ° ь.
(4.14) Согласно уравнению (4.2Ь), в изотермическом процессе совершенная механическая работа совпадает с уменьшением свободной энергии, которое в нашем случае равно б'ят" = — о( (Ра)т = — Р г(а — а ЙРт, (4.15) где Ра — свободная энергия на единицу плошади.
Закон сохранения массы требует, чтобы ар, нлн а/в, оставалось постоянным, поэтому г(а/а = о(о/и. (4.16) С использованием соотношения (4.13) получим выражение для е1Рт. Ыг — ( ) г(о+ Нг(В+ Вг(Н вЂ” ~ ( — 1 о(ойН вЂ” Вг(Н о (4.17) где Р,=Ро(о, Т). Подставив результаты (4.12), (4.15) — (4.17) в уравнение (4.14), получим в н т' в=в ([";г') в)вгв — 1 (вв) гв ')~- вгв. о о (4. 18) Здесь и внесено под знак интеграла, поскольку интегрирование производится при постоянной плотности. На рис.
4.2 изображен треугольник, состоящий из отрезков РЯ, РЯ', в который РО переходит при деформировании, 4. Тенвор напряжений и уравнение движения и вектора $. При бесконечно малом смещении поток ф индукции магнитного поля остается постоянным; в обозначениях рис. 4.2 ф= сопя(=ВРЯ. Следовательно, дВ/В = — г/РЯ!РЯ, (4. 19) т. е. уменьшение магнитного поля пропорционально увеличению расстояния между проводниками, образующими один и тот же а' Рис.
4.2. Определение угла р при выводе уравнении (4.20). виток. Учитывая, что соединяющая их линия параллельна вектору (В Х и) Х В, можно показать, что г(В/В = — — [(В Х и) Х В] ° К~В'а. (4. 20) Уравнение (4.20) можно вывести следуюгцнм образом.
Так как вектор В перпендикулярен отрезку РЯ, то, очевидно, отрезок РЯ параллелен (В Хи) Х В. При смещении плоскости на вектор, отрезок Р~~ переходит в отрезок РО', вычислим разность РЯ' — РЯ = бРЯ. По теореме косинусов длина отрезка Р(~' выражается в виде Щ'= !(Рф'+ $'+ 2РЯ~ соз р1~'~, (4.20а) где и — угол между отрезком РЯ и вектором $. Перепишем уравнение (4.20а): РЯ' = Р9(1 + ($/Р(~)'+ 2 ЩРЯ) соз Щи~. (4.20Ь) Так как я мало по сравнению с РЯ, правую часть уравнения (4.20Ь) можно при помощи формулы бинома (1+ х)" = = 1+ их+ ...
разложить в ряд; объединяя слагаемые более высокого порядка, чем ЯРО, получим РЯ'= РЯ (1+ ($/Р(,1)совр) + слагаемые более высокого порядка. 14 2!с) 4.г. Вывод тензора магнитнык напряжений Поэтому г[РЯ равно г[РЯ = в соз 8, а относительное изменение РО есть г[РЯ!РЯ = Я(РЯ) соз 8 = [(в Х и) Х в[ ° о 1(В Х п) Х в1' 4 1 [(В Х и) Х В) 1 РЯ (В' ып ть) (а/Мп т[«1 1(В Х п) Х В[ ° о В'а (4.201[) Тензор напряжений намагничивающейся жидкости Теперь у нас подготовлены все физические и геометрические положения, необходимые для вывода тензора магнитных напряжений. Осталось только проделать математические преобразования, чтобы получить результат в нужном виде.
В смешанном произведении трех векторов знаки скалярного и векторного умножений можно поменять местами, поэтому [(В Х и) Х В) ° й=(В Х и) (В Х в). С учетом этого, а также с помощью векторного тождества (аХЬ). (с Х([)=(а. с)(Ь. т[) — (а. ([)(Ь с) уравнение (4.20) можно преобразовать к следующему виду: по[В= — В(п в)+(и В)(В.в)~В. (4.2!) Подставив результат (4.2!) в соотношение (4.18), получим урав- нение в в т..т-!, т![["„«в~ -«[ннв — [ ° ( —",) не~в о о Н1 и! !з! — НВ (п ° В) + (и ° В) (В й)(И/В), (4.22) кч ьн которое легко упрощается к следующему виду и .т'„т-ы.р~[г',"г'! — [[г';в'! нн~)« .~вв! т. о ш и! (4.23) 161 причем при переходе ко второму и третьему равенствам здесь использовалось, что вектор (В Х и) Х В параллелен отрезку РЯ и имеет величину В'з[пт[т, а также что а=РЯ «йп т[т. С учетом последнего равенства (4.20![) уравнение (4.19) переходит в искомое уравнение (4.20).
ыа 4. Тенвор напряжений и уравнение движения Упрощение уравнения (4.22) производится следующим образом. Сначала представим слагаемое [2] в виде и ( .2([О — [Вр Н)=(2 (4-(22(. о Следовательно, слагаемые [2а] и [4] взаимно уничтожаются. Слагаемые [2Ь] и [3] объединяются в одно: — (» М ~ ( — „" ) йН = [6].
о Так как векторы В и Н параллельны и В/ — единичный вектор, слагаемое [5] переходит в (и. В)(Н в)=п (ВН) ь, т. е. в слагаемое [Т]. Уравнение (4.23) можно переписать в более удобном виде, если учесть, что и 1=и: 7'. 2- Я[4(,"Р') — [[4(;Р(] РН]() 2+ .(ВО( 2. о (4.24) Следовательно, тензор напряжений Т определяется следующим выражением: и 7' =([ '() — [[ ( () НО]1 ' ВН. (422( а Отметим, что тензор напряжений получился симметричным, так как (с учетом В = [нН) ВН = ([ВН) (В/[н) = НВ и Вт = 2. Обратившись к равенству (4.9), обнаруживаем, что первое слагаемое в скобках есть — р,(р, Т).
Второе слагаемое при помощи соотношения  — [Вн(Н+ М) можно упростить: (4.26) Использовав упрощение (4.26) в уравнении (4.25) и выполнив элементарное интегрирование, получим окончательный результат, а именно тензар напряжений в магнитной жидкости: и 2' = — (Р(Р, 7(4. [Р [ р" ) ННННРН ()(Н.ВО. (427( Н 119 4.г. Вывод тенвора магнитнык нанряяеений Помимо записи тензора напряжений в инвариантной символической форме (4.27) приведем его запись в компонентах тц= — (р(р, т)-р)р(";„"') ря.р —,'ря'')рч-реен,. о (4.28) Здесь индекс т для простоты опушен, а бп — — е;.
е1 — символ КРонекеРа; Ьп — — (, если 1=), и бц — — О, если 1Ф ). Что такое «давление» в намагничивающейся жидкости? В покоящейся неполярной жидкости имеются только нормальные компоненты напряжения, которые не зависят от направления нормали элементарной площадки, на которую они действуют, а тензор напряжений имеет вид Т = — рт, где р— статическое давление жидкости, которое может меняться в жидкости от точки к точке. В движущейся вязкой жидкости это уже неверно, так как из-за наличия тангенциальных напряжений нормальная компонента тензора напряжений, действующего на элементарную площадку, зависит от направления нормали площадки. Таким образом, простое представление о давлении, действующем равным образом во всех направлениях, уже несправедливо даже, как правило, для случая обычной движущейся жидкости. В механике обычных жидкостей оказалось полезным ввести скалярную величину, аналогичную статическому давлению в жидкости в том смысле, что она является мерой локальной силы сжатия жидкости.
Величина нормального напряжения на поверхности маленькой сферы с центром в фиксированной точке равна и. Т. п = Т: пп, где и — единичная внешняя нормаль к поверхности. Если сфера достаточно мала, чтобы тензор Т был почти постоянен, можно выписать выражение для среднего значения нормальной компоненты напряжения г — ~ и.
Т Ое1а=т: ~ — ппр(а, г 4н ) ' ) 4н в котором ьг обозначает телесный угол. Выразив пп в виде линейной комбинации базисных диад и проведя почленно интегрирование в сферической системе координат, найдем значение '/г! интеграла в правой части. (Выкладки опускаются, их предлагаем провести читателю в качестве упражнения.) Результат выражается через след тензора Т, (гТ: среднее значение нормальной компоненты напряжения равно '/гТ:! = '7г (гТ.
Проведенный вывод показывает, что след тензора инвариантен по отношению к повороту системы координат, так как оси 120 4. Тензор напряжений и уравнение двияеения системы координат были направлены произвольно. В обычной гидродинамике давление р в точке движущейся жидкости определяется как среднее значение нормальной компоненты напряжения с обратным знаком: р = — '7з 1г Т. Для покоящейся жидкости это определение дает обычное гидростатическое давление.
Для магнитной жидкости, которая является полярной жидкостью, одна треть следа тензора магнитных напряжений (4.27) равна — 1гТ' = — р(р, Т) — 1п ' ] е(Н вЂ” — и Н'+ — В Н= 2 2 0 3 о = — Р(Р, Т) — ~ ро~ и 1 е(Н+ в РоН (2)е/(ео — 3). о Согласно проведенному выше анализу, это выражение представляет собой среднее значение нормальной компоненты напряжений, осредненной по поверхности маленькой сферы с центром в фиксированной точке магнитной жидкости. В отсутствие поля это выражение, как и должно быть, сводится к гидростатическому давлению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
