Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Первый закон Гаусса, уравнение (3.24а), является прямым следствием закона Кулона для точечных электрических зарядов. Уравнение (3.25а) утверждает, что изолированных магнитных полюсов не существует, и на сегодня таковые не обнаружены. Соответствующее дифференциальное уравнение было выведено в этой главе как уравнение (3.3). Эквивалентность дифференциальной и интегральной форм законов Гаусса легко показывается при помощи теоремы о дивергенции.
Заметим, что в уравнениях Максвелла число переменных больше числа связывающих их уравнений. Используя макроскопические аспекты электромагнетизма, принято вводить определяющие соотношения, связывающие переменные полей и содержащие функции е, р и о. Для изотропных, но нелинейных материалов определяющие соотношения имеют вид 0 =— е(Е) Е, (3.33) в=— м(н) н, (3.34) Лэ = о (Е+ ч Х В), (3.35) где е — диэлектрическая проницаемость, и — магнитная проницаемость и о — электропроводность материала. В пустом пространстве е и и являются константами со значениями ее= =8,854 !О " Ф м ' и ра — — 4н !О ' Гн м '. Скорость света в вакууме с =(ееме) ' = 2,9979 10 м с '.
Уравнение (3.35) выражает закон Ола для движущихся сред и справедливо только в системах, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света. В настоящее время в большинстве работ по ФГД считается, что среда имеет только магнитные свойства и что плотность гоз 3.4. уравнения Максвелла свободных токов и ток смещения Максвелла пренебрежимо малы. Поэтому обычно применяемые уравнения ФГД для полей являются магнитостатнческим пределом уравнений Максвелла: тг ° В = О, (3.36) т Х Н=О. (3.37) Эти соотношения были ранее выведены как уравнения (3.3) и (3.4) соответственно. Нетрудно представить ситуации, в которых имеется переменный ток и ток смещения создает магнитное поле или в которых по проводящей магнитной жидкости течет ток, так что вместо уравнения (3.37) надо использовать уравнение (3.23Ь).
Также, например, если бы имелись заметные количества свободных зарядов, то для полного описания потребовались бы уравнения (3.22) и (3.24). Более того, имея дело с источниками поля, важно использовать дополнительные члены в уравнениях Максвелла. В следующих примерах источники поля описываются в рамках полного закона Ампера. Радиус Л Рис, З.В. Применение интегрального закона Ампера для вычисления поля длинного проводника с током.
Пример. Описание поля бесконечно длинного прямолинейного проводника при помощи стационарного закона Ампера; дР/дг = О и Яг Ф О. На рис. 3.8 изображен длинный прямоугольный проводник радиуса )7, несущий постоянный ток /. Определить распределение поля Н, создаваемого этим током. Решение. В этом случае ток смещения отсутствует, так как поле во времени стационарно. Закон Ампера связывает магнитное поле с токами-источниками; подходящая форма закона получается из уравнения (3.23а): ~ Н.Л=~3,. (8. (3,38) 104 8.
Элементы теории электромагиетиэма Из соображений симметрии ток создает азимутально направленное поле Н = Н„; исходя из контура, показанного на рис. 3.8, получим для переменной поля 1. ( 11птт г(й Е Н„2пт = ~ Х 11птт', г ) т(, (3. 39) или Н 1 2нт ' т > 14. (3.40) Таким образом, внутри проводника поле увеличивается линейно с радиусом и вне проводника затухает обратно пропорционально радиусу. Рис.
3.9. Применение интегрального закона Ампера для расчета магнитного поля, инлупируемого током смещения. Пример. Описание поля электрического конденсатора в цепи переменного тока при помощи нестационарного закона Ампера; 11 = О и дР/д1 Ф О. Определить магнитное поле, устанавливающееся в зазоре воздушного конденсатора, схематично изображенного на рис.
3.9. Металлические пластины конденсатора соединены проводниками с источником переменного напряжения тт. Краевыми эффектами пренебречь. Решение. Переменное напряжение создает переменный ток 1 в проводниках и накопление свободных зарядов на пластинах. В воздушном зазоре ток проводимости отсутствует, но имеется однородное поле Р = еоЕ и его изменение со временем дает ток смещения дР/д1. Из закона Ампера при )1 — — О следует ~ Н 1(= — „", ~ Р 18. На схеме показана часть неподвижного контура Л радиуса т, охватывающего площадь 5 в пространстве зазора. Вычисляя интегралы с учетом симметрии, получим Н 2пг = птг г(0/Ж, (3. 42) где Н постоянно на круговых линиях вокруг центра.
3.5. Плотность энергии электромагнитного ноля !05 3.5. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Для создания в некоторой области пространства электрического или магнитного поля нужно затратить энергию сверх той, которая поглощается в необратимых процессах, как, например, омический нагрев.
Зная пространственное распределение векторов поля, можно вычислить эту энергию независимо от того, какие конкретные процессы привели к такому распределению поля. Поэтому плотность энергии может быть приписана электромагнитному полю. В этом разделе на основе полной системы уравнений Максвелла выводится важный для последующего изложения результат.
Будем предполагать, что в некоторой произвольной системе, в начальном состоянии которой нет полей, возникают поля. Предположим также, что поля генерируются электрическим током с плотностью Зг в электрическом поле Е в объеме У. Таким образом, во всяком элементе объема системы внешние источники совершают малую работу г(((Р = — Е 3~ дУ й. Величину Е Ь можно преобразовать к следующему виду, который содержит только величины электромагнитных полей: (3.44) е Зг=е (чХн — в ) — н ° (чХе+ в ). (345) Ток 3г был исключен из первого слагаемого в правой части при помощи закона Ампера (3.23Ь), а второй член тождественно равен нулю, если учесть закон Фарадея, уравнение (3.22Ь). Если теперь воспользоваться векторным тождеством Ч (ЕХ Н)=Е (Ч Х Н) — Н ° (Ч ХЕ) (3.46) и переписать соотношение (3.44) в интегральной форме, то по- лучим выражение для работы, совершаемой внешними источни- ками при создании поля в системе: %'= ~ ~ (Е в, + Н ~~ ) с(гс(У+ ~ ~ Ч ° (Е Х Н)Жс(У.
(3.47) то Второе слагаемое в правой части при помощи теоремы о дивергенции можно преобразовать к интегралу по поверхности; в ре- Так как приложенное напряжение У =ЕТ., где 7.— толщина зазора, то величина поля, создаваемого током смещения, определяется формулой 2 д ш (3.43) 1ое 3. Элементы теории электромагнетиэма зультате получим ~ Ч (Е Х Н)Л' = <~ (Е Х Н) ил(5, (3.48) где вектор ЕХ Н называется вектором Пойнтинга и имеет размерность ватт на квадратный метр (Вт/м').
Вектор Пойнтинга формально описывает поток энергии сквозь пространство; можно измерить только его интеграл по замкнутой поверхности, поэтому только он имеет физический смысл. При предположении, что векторы Н и Е стремятся к нулю на границах системы, выражение для работы (3.47) принимает вид л М7 = ~ ~ (Е ° — + Н ° — ) е0 Ю. го (3.49) Интегрирование по объему проводится по неподвижным элементам объема, поэтому выражение (3.49) приводится к виду ув в у = ( (( е ло Л- ) и ле)ле. (В.лл) т о о Здесь предполагалось, что в начальный момент поля отсутствовали. Величина ()т представляет плотность энергии электромагнитного поля в единицах ньютон-метры на кубический метр (И.м/м'). Основываясь на формуле (3.50), выражение Н г(В будем рассматривать как представление дифференциала локальной плотности энергии магнитного поля.
Когда векторы Н и В параллельны, как, например, в мягко намагничивающихся материалах при равновесных условиях, слагаемое Н г(В можно выразить через абсолютные величины полей в виде НдВ. 3.6. ДРУГОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ЭНЕРГИИ ПОЛЯ Выражение для энергии (3.50) является общим выражением для магнитостатической энергии всей системы, которая может состоять, например, из объема магнитной жидкости и областей пространства, не содержащих магнитного материала, или других областей, содержащих источники магнитного поля, например катушки с током, постоянные магниты и намагничивающиеся железные детали или другие материалы. Однако зачастую удобней работать с выражением, которое выделяет только магнитостатическую энергию, связываемую с магнитной жидкостью, и которое выводится в этом разделе.
З.д. другое выражение для энергии поля 107 Рассмотрим рис. 3.10. Пусть )г~ — объем линейно намагничиваюшейся 0 и изотропной среды с магнитной проницаемостью 1зь пусть )га — объем, занимаемый магнитной жидкостью, которая рассматривается как линейно намагничиваюшаяся и изотропная с магнитной проницаемостью ра. Поэтому плотность ее энергии, согласно выражению (3.50), принимает вид Н В/2 Источником магнитного поля является неподвижный замкнутый Рис.
3.!О. К выводу выражения для магнитостатической энергии намагничивающейся жидкости. контур с электрическим током 1, который предполагается идеальным проводником (т. е. с бесконечно большой электропроводностью о). Из закона Фарадея в интегральной форме (3.22а) видно, что если интеграл по замкнутому контуру от Е' равен нулю, то полный поток индукции сквозь контур ~р= — ~ В с(8 постоянен. Всюду внутри материала идеально проводящего контура поле Е' должно равняться нулю; в противном случае из закона Ома следовало бы, что плотность тока 31 =оЕ' бесконечна.
Следовательно, поток гр остается постоянным, даже если в окружающей его системе происходят изменения, например движение объема магнитной жидкости. Существенно, что в контуре с током не может происходить никакого накопления энергии. Рассмотрим процесс, в котором магнитная жидкость, перво. начально расположенная далеко за пределами замкнутой поверхности 5, вносится внутрь ее, замещая равный объем первой о Под линейно намагничивающейся средой всюду понимается среда с магнитной восприимчивостью, не зависящей от магнитного поля.— Прим. ред. 1оа 8. Элементы теории электрамагнетиэма среды. Изменение энергии за счет переноса магнитной жидкости равняется Лж = ~ — (Н В вЂ” Но В,) ( = = ~ — (Н+ Но) ( — Во)Л' — ~ — (Но  — Н Во)г(У, (3.5!) т ° ВА = А сэр+ трР ° А (3.52) и теоремы о дивергенции первый интеграл в правой части последней строчки (3.51) можно записать в виде — ) 2(Рф-ГРфо) ( — Во) ( =$ —,'(ф+фо)( — Во).п (З+ + ~ ~ (эг+фа)7 ( — Во)НУ.
(3.53) Теперь можно отодвинуть внешнюю границу 5 в бесконечность, чтобы включить в систему все пространство. Выражение под знаком поверхностного интеграла стремится к нулю быстрее, чем растет площадь поверхности интегрирования, поэтому этот интеграл исчезает. Во всем объеме У слагаемое 7' ( — Во) равно нулю„ поэтому интеграл по объему также равен нулю. Следовательно„правая часть равенства (3.53) равна нулю и ~ — (Н + Но) ° ( — Во) ~Л~ — О. (3.54) Второй интеграл в правой части уравнения (3.51) можно представить в виде суммы интегралов по составляющим объемам У1 и Ут'. 1 — (Н,  — Н.В)Л' — 1 — (Но'В Н Во)гтУ и~ 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
