Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Используя обозначение ОВ для средней кривизны поверхности: М вЂ” = '/г (1/Н + 1/Нг), (5.8) представим плотность поверхностной силы в виде р, = 2йоо. (5.9) Здесь р, — папиллярное давление, вырабатываемое на поверхности раздела с кривизной и определяемое поверхностным натяжением. Для сферы Н, =)те=)г и И= 1/Я; для цилиндра )(', =)с, /г,— оо и М= 1/(2гс). Используя результат (5.9), можно выписать общее уравнение для переноса импульса через поверхность раздела невязких изотермических систем постоянного состава: и ' (Тщ, г Тщ, ~) п2лво =.
О, (5.10) где Т',г и Т', ~ — значения тензоров напряжений, включающих давление, в средах непосредственно около поверхности раздела. На плоской поверхности, даже если коэффициент и не равен нулю, сила поверхностного натяжения 2ОВо равна нулю, так как радиусы кривизны Н~ и /гг бесконечны; поэтому напряжение должно быть непрерывным при переходе через плоскую поверхность раздела. Следовательно, и (Тщ,г--Тщ,~)=п (Тп)=0, (5.!1) где квадратные скобки обозначают скачок заключенной в них величины при переходе через поверхность. Выведем теперь из условия (5.10) граничное условие в ФГД более конкретного вида. Рассмотрим поверхность раздела между жидкостью 1, которая предполагается магнитной (М ) О), и немагнитной жидкостью 2; обе жидкости невязкие.
Наиболее общее выражение для тензора напряжений дают соотношения (4.27) и (4.71), а именно Т' = — (р + /,роН )1+ ВН. (5.12) Записывая это выражение для жидкостей 1 и 2 соответственно, получим !40 5. Уравнение Бернулли в феррогидродинамике Напомним, что в гл. 3 прн помощи закона Гаусса в интегральной форме $ В е(8=-0 [уравненне (3.8)] было показано, что нормальная компонента индукции В непрерывна на поверхности раздела: и (Во В~) и [В] Взл В1л О (5.16) Следовательно, в соотношении (5.15) Вт„= В,„= В„; таким образом, правильность преобразования установлена.
Слагаемые с множителями Нт — Н1 н Н~ -- Нт в соотношении (5.14) также можно упростить. Напомним, что нз уравнения (3.9) следует и,'хг, (Но — Н,) = и 'р,' [Н] = О, (5.17) которое означает, что тангенцнальная компонента поля Н непрерывна на поверхности раздела '1: Нтг — Нгг = О. (5.18) С учетом соотношения (5.18) имеем равенства Оз1 — Нзт = Н1„— Нт„, Н, — Н, = п(Н,„— Нгл). (5.19) (5. 20) УчитываЯ опРеделЯющее УРавнение В = 1ло(О + М), соотноше- ния Н,„=В„/!хо н Н,„=В„/!хо — М„н равенства (5.19) н (5.20), получим Оз — Ог =(О, +Во)(В, — Вт)= = ̄— 2В„М„/ру %тл О~л ™л. (5.21а) (5.21Ь) Подставив полученные величины в соотношения (5.!9) н (5.20), а результирующие выражения в соотношения (5.14), найдем искомое граничное условие ФГД при отсутствии вязких сил: р',-1- „=рц,+р„ (5.22) о Равенства (5.17) и (5.18) справедливы в предаоложеиии отсутствии поверхностных токов вдоль границы раздела фаз.
†Пр. ред. где ро = ро — обычное давление со стороны немагннтной жндкости. Подставляя найденные выражения в условие (5.10), получим [(Рг ро) + 'атно(Н1~ — Нт)|и + Вл (Нт — Н1) — гт2лва = О. (5.14) Магнитное слагаемое нне скобок в соотношении (5.!4) было получено следующим образом; и ° (ВгНз — В,Н,)=(п Вт) Нт — (и В,) Н, =Вз„Н, — ВглН,. (5.!5) 5.2. Граничнме условия где величина р, введена формулой (5.9), а величина р„= Р,Мт/2 (5.23) называется магнитным дав,гением. Известное для обычных жидкостей требование непрерывности давления на плоской поверхности жидкости несправедливо для жидкостей с намагниченностью.
Как показано на рис. 5.2, магнитные напряжения на 1то в й,т 12 Ро ф гоб Рис. ЗЛ. Баланс снл согласно граничному условию ФГД, уравнению (5.22), а котором среда 1 намагничиааюшаясн и среда 2 немагнитнан. поверхности раздела вырабатывают магнитное давление 1лоМ'„/2. Полученное граничное условие можно выразить через определение р' (4.71): р! + р, + р + р. = Ро+ р' (5.24) Соотношения феррогидродинамики, описывающие установившееся течение невязких несжимаемых магнитных жидкостей, собраны в табл. 5.1. Заметим, что в эквивалентной форме уравнения Бернулли не содержится магнитожидкостное давление р„1 однако р явно появляется в граничном условии. Теперь видно, что элементарный вывод обобщенного уравнения Бернулли в равд.
1.6 пестрот; в формулировке граничных условий не учитывается магнитное давление, выражаемое слагаемым р, и капиллярное давление р,. Экспериментальное исследование растяжения капли в магнитном поле показало, что 1/с(о (1 — длина капли, до — ее первоначальный диаметр) яв. ляется однозначной функцией безразмерной комбинации 5 =— = — (яодоМ'/б со значениями 1/с(о от 1 до 5 при 0 ( 5 ( 150 (Архипенко, Барков и Баштовой, 1978). Базаран (Вазагап, 1984) нашел форму поляризованных капель при помощи численного метода конечных элементов Галеркина. !42 5. Уравнение Бернулли и греррогидродинамике Таблица 5.!. Сводка уравнений ФГД Определения «давления» Ра5 ро ~ о( д ) дН (4,36а) дМ о гт рт = ро ~ М дН =НоМН (4 366) о р' = р (р, Т) + р, + р„, (4.7!) р=р(р, т) «Магннтострнкцнонное давление» «Магннтожндкостное давление» «Суммарное давление» «Термодннамнческое давление» Выражения для плотности поверхно- стных снл Рп = УароМп (5.23) Рс 2рбп (5.9) «Магннтное давление» «)хапнллярное давление» Уравнение Бернулли в ФГД Обычная форма: р" + '/арра+ ряд — рт = сопл! (5.6) Эквивалентная форма: р+ ра+ укро»+ рад = сопл! (5.7) Граничные условия Р'+Рп=ра+Рс (5.22) Р+Ра+Рт+Рп=ра+Рс (524) 5.3.
КЛАССЫ РАВНОВЕСНЫХ НЕВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ Стационарное уравнение Бернулли в ФГД описывает некоторые новые классы течений жидкости в дополнение к известным течениям, как видно из диаграммы на рис. 5.3. Если приложенного поля нет, то р* сводится к р(р, Т), а магнитожидкостное давление тождественно равно нулю. В этом случае при отбрасывании одного слагаемого оставшиеся слагаемые описывают известные классы течений обычной гидродинамики со следующими примерами: 1) описание действия расходомеров Вентури и трубок Пито и определение давления на границе пограничного слоя и тела с острой кромкой; 2) распределение давления в баке с жидкостью или около напорной дамбы; 3) получение выражения для скорости истечения вещества из отверстия в баке.
В присутствии магнитного поля комбинация магнитожидкосгного давления с каждым из остальных слагаемых выражает новое взаимодействие и удваивает число классов гидродинамичских явлний. Вот некоторые примеры из этих классов; Примечание. уравиеиие Бернулли в Фгд применимо к уставоаивюемуск течению нева»кон кесжимаемоа иагаитвоа жидкости; р,— лавлекие в вемагкитаоа жалкости. 143 5.4. Прилояеения ФГД уравнения Бернулли 4) описание формы неподвижного меннска; 5) управление поведением струи магнитной жидкости приложенным магнитным полем (это взаимодействие представляет один внд печати магнитными чернилами); 6) описание работы магнитожидкостных уплотнителей, подшипников, держателей и сепарирующих устройств с флотацией.
Как отмечалось, многие задачи феррогидродннамики решаются просто при помощи уравнения Бернулли ФГД. Применение этого уравнения особенно эффективно для установившихся течений, когда эффекты вязкого трения пренебрежимо Рис. 5.3. Классы течений, описываемые уравнением Бернулли в Фглх. Гтиаграмма читается следующим образом: класс 3 соответствует течениям, в которых важны только слагаемые с кинетической энергией и силой тяжести, класс 2 — ситуациям, в которых важны только слагаемые с давлением и силой тяжести, и т. д, Магнетизм приводит к новым классам 4, 5 и 6.
См. (йовепвтче16, 1966Ь). малы. Эти условия выполняют точно в подклассе феррогидростатики. Часто уравнение Бернулли в ФГД позволяет определить порядок искомых величин, когда точное решение требует больших затрат труда и времени. В остальной части этой главы представляется ряд типичных решений задач об основных течениях магнитной жидкости. 5.4. ПРИЛОЖЕНИЯ ФГД УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ Классическая задача Квинке Эта задача имеет практическое значение для измерения намагниченности магнитных жидкостей (Ва(ез, 1963). На рис. 5.4 изображена идеальная геометрия двух параллельных плоских магнитных полюсных наконечников.
Высота н ширина наконечников много больше расстояния между ними; также предполагается, что материал наконечников имеет высокую проницаемость, так что магнитное поле между ними однородно. Наконечники частично погружены в резервуар с магнитной жидкостью с плотностью р. Расстояние между наконечниками достаточно 144 б. Уравнение Бернулли в фгррогидродинамине велико, чтобы капиллярные эффекты не имели значения; поэтому высота подъема жидкости между наконечниками является функцией приложенного магнитного поля Н.
Так как плотность воздуха очень мала по сравнению с плотностью магнитной жидкости, внешнее атмосферное давление может считаться постоянным, т. е. равно ро. Эта задача легко решается применением уравнения Бернулли (5.6) к точке 1 на свободной поверхности жидкости вне поля и агннпгная лгидноспгь Рнс. 6.4. Классический эксперимент Квннке, в котором наблюдается подъем магнитной жидкости между полюсами магнита; эксперимент нллюстрнрует класс 4 на рнс.
5.3. См. (допев, 1978). к точке 2 свободной поверхности в области поля. Согласно уравнению (5.6), имеем Рг~ + Ройг = Рг т Райт РвмН. (5.25) Из граничного условия в форме (5.22), в котором как М„, так и М равны нулю, следует р1=ро и Р,"= р . Объединяя эти соотношения, получим (5.26) Мй = йт — й| — — 1гсмН(РИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
