Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Обычно этот эксперимент выполняется с жидкостью в вертикальной стеклянной трубочке. Подъем поверхности жидкости в перпендикулярном поле В задаче, иллюстрируемой рис. 5.5 (допев, 1978), плоскопараллельные полюсы магнитов создают вертикальное поле, перпендикулярное поверхности магнитной жидкости. Поверхность магнитной жидкости в поле поднимается иа величину Ь)т.
Величина магнитного поля над и под поверхностью равна Нт и Нг блй Приложения ФГЛ уравнения Бернулли 148 .мм 'мвюем иммми и .В=6"и иммйи ьюммчжвмн'м ЙВВВш мимам имжмш зл род е ,ф бай гпт среда Мпгниюнпя жидковы ь (Ь) Рис. б.б.
(а) Однородное магнитное ноле, приложенное перпендикулярно свободной поверхности магнитной жидкости. Предполагается, что намагниченность меньше той, при которой возникает явление неустойчивости в ортогональном поле. (Ь) Процесс печати, использующий волнообразную поверхность магнитной жидкости, которая устанавливается в пространственно периодическом магнитном поле. Печать происходит по команде — подаче злектрического импульса, в результате из пика на поверхности выбрасывается капелька жидкости — чернил, Показан образец печати, которая происходит при одновременном выбрасывании капелек из избранных пиков и формировании из них линий на движущейся бумаге.
(См. Магнпо, Тньа(гат1, Бона, 1983). соответственно. Эти значения связаны граничным условием для нормальной компоненты индукции В; в результате имеем и,(Н,+М)=р,н,. (5.27) Из уравнения Бернулли (5.6) следует Р,'+ Рйй, =Р,*+ Рйй, — ~,МН,, (5.28) а из граничного условия (5.22) при р, = 0 получаются соотношения Р~ =Ро Р, '= Р, — ((г,/2) М'. Объединяя эти результаты, найдем выражение для высоты подь- ема Лй: Мз ч йй— = пт — л~= — ~роМН~+ио 2 ) (5.3() рз По сравнению с результатом Квинке (5.26) в этой задаче высота подъема оказывается больше на величину (гоМз/2 при том же значении поля Н в жидкости.
146 5. Уравнение Бернулли в гйеррогадроданамике Б. М. Берковский и Л. П. Орлов (1973) аналитически решили ряд других задач о форме свободной поверхности магнитной жидкости. Разработан процесс высокоскоростной записи на простой бумаге с высоким разрешением (рис. 5.5Ь), в котором, в частности, в поле щетки из магнитных иголок вырабатывается волнообразная поверхность магнитной жидкости (Магппо, т'цЬакаш1, Зода, !983). Получаемое из интеграла Бернулли в феррогидродинамике решение для формы поверхности раздела в этом случае аналогично решению, изображенному на рис. 5.5(а), но с удаленным южным полюсным наконечником.
Магнитный насадок Течение струи, как на рис. 5.6, является примером взаимодействия динамических и магнитных явлений. Магнитное поле создается соленоидом с током с равномерной намоткой. Поле Обмотка соленоида с током о б о Струн магнитнои жидкости Рис. 5.6. Свободная струя магнитной жидкости при прохождении через магнитный насадок изменяет площадь поперечного сечения и скорость; это течение иллюстрирует класс 5 на рис. 5.3.
См. (Коэепэзче15, 19665). притягивает жидкость и ускоряет ее течение вдоль струи, которая предполагается горизонтальной. Граничное условие для магнитного поля в выходном сечении 2 требует непрерывности тангенциальной компоненты поля Н. Следовательно, 02 2' (5. 32) Из соотношения Бернулли (5.5) следует Р~ + Iгро~ =Рг+ Арор (голвггг' (5.33) Граничные условия для параметров жидкости (5.22) при р„= О и Р, = О приводят к соотношениям Р~ =Ро (5.
34) (5.35) Р" = Р б.4. Приложения ФГД уравнения Бернулли 147 Следовательно ( 2иеМП )сгс (5.38) Модифицированный эксперимент Гуи (Сому) Метод, проиллюстрированный на рис. 5.7, позволяет гравиметрическим способом измерить среднюю по полю намагниченность М. Первоначально этот метод применялся к очень слабым парамагнитным жидкостям с постоянной проницаемостью (Ва1ез, 1963); здесь рассматривается обобщение на случай нелинейных сред с большим ма- ~ гнитным моментом.
Пробирка ~ 9 Р с магнитной жидкостью весом а цсс и площадью сечения ас подвешивалась вертикально на нити между полюсами элек- 1 с ) ) тромагнита, являющегося источником поля Н,. На верхней плоской поверхности жидкости 1 поле пренебрежимо мало, тогда как в сечении 2 внутри жидкости поле Н, однородно и имеет максимальную величину. Сила Р равна сум- ) ) ) ) 2 (- ф б ф, ме сил давления и веса со- рис. 6,7, к анализу модифицировандержимого пробирки: ного уравнения Гуи (бону); эту ситуацию иллюстрирует класс 6 на Р = (Рз Ро) ас + %с (5 39) рнс. 6.3 (Поэецэсиесд, 1979а).
Заметим, что давление Р' действует так же, как и обычное давление, и вырабатывает на поверхности нормальное напряжение. Из уравнения Бернулли, примененного к точкам сечений 1 и 2, следует р",+ рд)с,=р,'+ рй)с,— о,МН,. (5.40) о' — от= 2(з МН,~Р, (5.36) Скорость несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению неразрывности Р тс = О.
Предполагая, что поперечное сечение струи всюду круглое, уравнение неразрывности можно проинтегрировать и с применением теоремы о дивергенции получить ту тсс7)с = Г~тг ° и с(5 = о, (я/4) с(зс — о (и/4) е(те= О. (5.37) Объединяя соотношения (5.36) и (5.37), найдем отношение диаметров струи !48 5. Уравнение Бернулли в феррогидрадинамике Из граничного условия (5.22) при Р, = 0 и Р, = 0 получаем Р! =Ро (5.41) Объединяя результаты и разрешая полученное уравнение для Я, найдем М = [(Р— Ро)/ае[/(!лоНо) (5.42) где Р, = пге + рд(й, — гг!) а, — сила в отсутствие поля.
Из-за влияния формы образца поле Н, меньше приложенного поля Н,. Введем коэффициент размагничивания по формуле /! =— — (Н, — Н)/М; в результате в нашей задаче поле имеет величину Н = Н вЂ” /)М. (5.43) Для кругового цилиндра, длина которого много больше его диаметра, коэффициент размагничивания равен /л = 1/2. Следующий раздел посвящен задаче, которая была важным исходным пунктом для формулировки принципов феррогидродинамики — задаче о подъеме жидкости по проводнику с током (5)епг(пйег, Козепзч е!ц, 1964).
Конический мениск Найдем отклик первоначально плоского слоя магнитной жидкости на пропускание стационарного тока по проводнику, вертикально проходящего через слой. Из теории электромагнетизма известно [уравнение (3.40)[, что стационарный ток ! создает азимутальное поле вокруг проводника величиной Н = //(2пг). (5.44) Так как М параллельно Н, то оно также азимутально, поэтому М„= 0 всюду на свободной поверхности жидкости. Хотя задачу достаточно решить лишь один раз, полезно провести ее решение несколькими разными способами.
В первых двух способах используется ФГД уравнение Бернулли в двух разных формах, в третьем — тензор напряжений по Чу, введенный в гл. 4. Схема системы дана на рис. 5.8. Способ 1. Применим ФГД уравнение Бернулли в форме (5.6) для точек 1 и 2; учитывая, что жидкость покоится, получим Р!+ Рк/г! (!лоМН)! =Р;+ Рядо (!лоМН),. (5.45) Так как точка 2 расположена вдали от проводника, то магнитное поле в ней асимптотически приближается к нулю [по уравнению (5.44)] и последнее слагаемое в уравнении (5.45) стремится к нулю при г-+-оо [или при Ио- 'п(оо)[.
Чтобы закончить 84. Приложения ФГД уравнения Бернулли решение задачи, нужно связать Р', и Р' с атмосферным давлением р, при помощи граничных условий ФГД. Из уравнения (5.22), пренебрегая капиллярным давлением, получим Р', = Р, — '(,ц,М'„= Р, (для точки 1), (5.46) р',=Р— '/з14 М'„= р, (для точки 2). (5.47) Здесь использовалось, что на свободной поверхности жидкости в точке ! М„= 0 и в точке 2 М = О, так как в ней Н = О. Под- Рис.
8.8. Конический мениск в равновесии — задача феррогидростатикн. ставляя (5.46) и (5.47) в уравнение (5.45), после небольшой перегруппировки слагаемых получим ЛЬ = Й(г) — 11 (оо) =роМН1рй. (5.48) Эта формула показывает, что по высоте подъема свободной поверхности жидкости около проводника можно измерить наприжениость магнитного поля; получается своего рода гауссметр. Способ 2. Применим ФГД уравнение Бернулли в форме (5.7) к точкам 1 и 2 со стороны жидкости.
Получим (Р+ Р. + РЯй) ь — (Р + Ре + РФ)т (5.49) Так как Н вЂ” 0 при г- оо, то Р,,=О. Применив граничное условие в форме (5.24) к точкам 1 и 2, получим Р| + Ре, ~ + Р,1= ре (в точке !), (5.50) Р, = Ре (в точке 2). (5.51) 5. Уравнение Бернулли в феррогидродинамике Уравнение (5.49) можно записать в виде Ро — Р! = Р„+ и (й — йо), а объединяя уравнения (5.50) и (5.51), получим Ро Р! Рп!+Рт,! (5.53) Исключая общие слагаемые из уравнений (5.52) и (5.53), имеем Рт, !!рй РоМ Н~РК" (5.54) Заметим, что величина стрикционного слагаемого нигде не вошла в решение задачи.
Стрикционные слагаемые взаимно уничтожаются при решении: это является общим правилом для всех задач гидродинамики несжимаемой жидкости. Однако эффекты сжимаемости существенны в задачах оптики, акустики и кавитации. Способ 3. Наконец, решим ту же задачу при помощи тензора напряжений Чу, выражение для которого было выведено как уравнение (4.54): и г.=( — ( елн))!».
во о (5.55) Плотность силы, соответствующая этому тензору напряжений, дается выражением (4.52): 1„= — ~(ЧВ) дН. о (5.56) Условие, которое должно удовлетворяться на поверхности, нужно получить заново, чтобы оно было согласовано с тензором напряжений (5.55). Если индексы п и ! означают нормальную и тангенциальную компоненты соответственно, то компоненты магнитного напряжения с двух сторон мениска записываются в виде В жидкости (5.58) и ' Т 1 Ты 0 и и Т и= 7„„= Тг= — ~ В!ОН.
о (5.59) В рассматриваемом приближении магнитная жидкость имеет одинаковый состав во всех точках, поэтому ( о'В)» — — О, что приводит к равенству 1 =О. Легко найти уравнение движения, соответствующее рассматриваемому выражению для силы: О = — Чр, + рп = — Ч (р, + рйИ). (5.57) 5.4. Приложения ФГД уравнения Бернулли В воздухе (5.60) тел=о, т„„=т,= — ~ В,дн. о (5.6!) При выводе (5.58) — (5.6!) использовались следующие соотношения: (т„„1 =р,— р,, (5.66) где индекс 0 при величинах давления для простоты опущен.
Подставляя значения Т„„(5.59) и (5.61) и используя равенство (5.64), получим 1ло ~ М е1Н = роМН = Ре Р1 ° о (5.67) Термодинамическое давление в каждой фазе подчиняется уравнению (5.57), поэтому, пренебрегая плотностью воздуха и полагая уровень И = И(оо) в качестве уровня отсчета для распределения давления в жидкости, получим распределение давления в обеих фазах: р, =- сопз(, (5.68) р Р = — И(И( ) "). (5.69) Исключив ро — р, путем подстановки значения (5.69) в соотношение (5.67), снова получим уравнение (5.48), которое и есть искомый результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
