Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика (1163188), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Из соотношения (4.62) следует, что для несжимаемой жидкости (так как Ч ч = О) Т, = т1 [Чч + (7ч) ], (4.67) а из соотношения (4.63) следует, что плотность вязких сил для несжимаемой жидкости имеет вид (4.68) В уравнении (4.62) коэффициенты т1 и Л называются коэффициентами вязкости; т1 часто называют обычным, или первым, «озффициентом вязкости, а Л вЂ” вторым коэффициентом вязкости.
Второй коэффициент вязкости существен при описании поглощения энергии в продольных колебаниях звука и при анализе распространения ультразвука (Каптп, Розен(теаб, 1952). Отношение Л/т1 приблизительно равно 2,4 для воды на частоте 5 МГц и более ГОО для бензола на частоте 2 МГц. Для большинства течений как обычные, так и магнитные жидкости можно с очень хорошей точностью считать практически несжимаемыми, 7 ч = О, поэтому коэффициент Л не входит в уравнения, описывающие эти течения. Уравнение (4.63) можно вывести следующим образом: д Г дьяк део д' (4.64) 4.
Тензор нааряжений и уравнение движения 134 Подставляя в уравнение движения (4.56) это выражение для 1„, выражение (4.59) для ! и (4.6!) для 4в, получим уравнение движения в виде р —",, = — Чр+ рд+). + проч. (4.69) Подставив также выражение (4.32) для силы 1, получим сле- дующий развернутый вид уравнения двигкения магнитной жид- кости: и р —,' — — ер.~,,еН~-ре — е [е,! ( — '"') ен~'.~- ниен. о (4.70) Некоторые другие формы уравнения движения Полезно записать уравнение (4.70) разными эквивалентными способами. Введем суммарное давление Р* следующим образом: Р = — Р(Р Т)+но)( д ) о и н =Р(Р, Т)+ ро ~ (о д ) АИ+ 1оо~ Ме(Н=Р(Р, Т)+ Р,+ Р о о (4.7!) где р, и р определены соотношениями (4.36а) и (4.36Ь) соответственно.
С учетом определения для р* уравнение движения (4.70) принимает вид р — ч = — ч Р*+ роМт7Н + т1Чоч + рн, (4.72) или р — ", = — р(Р+ р,+ р )+ ноМрН+ т1Ч'и+ рй. (4.73) Любое сформулированное выше уравнение движения приводит к одному и тому же расчетному течению, если используется согласованно с соответствующими условиями для по- Для изотермического течения уравнение (4.73) можно упростить. Согласно соотношениям (4,36Ь) и (4.41), если чТ равен нулю, то член — чр приводится к члену — 1ооМРН, который взаимно уничтожается со слагаемыми РоМе!Н в правой части уравнения (4.73); в результате получим Р ~~ = — ч(Р+ Ре+ Р~з) + т!'е ч.
(4.74) Замечания и донолнительная литература 1Зб верхностных напряжений. В отсутствие намагниченности любое уравнение (4.70) или (4.72) — (4.74) сводится к хорошо известному уравнению гидромеханики Навье — Стокса. ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Вывод выражения для тензора магнитных напряжений для нелинейно намагничивающихся сред основан на законе сохранения энергии. Этот вывод сделан в работе Каули и Розен- цвейга (Соти!еу, Козепзтие!д, 1967), а также при помощи релятивистского метода виртуальных вариаций Пенфилдом и Хаузом (Реп!!е!б, Напз, 1967, (С-б), табл. С.2).
К сожалению, в большинстве руководств по электромагнетизму или отсутствует обсуждение вопроса о напряжениях в средах в электрических или магнитных полях, или только едва затрагивается суть дела. Ценным исключением здесь является классическая работа Ландау и Лифшица (1957), 9 15 — 17, 34, 38, 56; в ней выведено выражение для тензора напряжений как в жидкости, так и в твердом теле в присутствии электрического поля, а затем рассматриваются частные случаи для сред с линейными свойствами. Мало стандартных учебников по электро- магнетизму содержат столь добротный материал по этому вопросу.
Укажем три книги в порядке нарастающей сложности: (АЬгаЬаш, Вес)сег, 1937, гл. 5); (Рапо(з)су, РЬ!11!рз, 1962, гл. 6); (8!га((оп, 1941, гл. 2). Более современным руководством, в котором рассматриваются и сравниваются плотности электрических и магнитных сил в рамках электромеханики континуумов, является книга Мелчера (Ме!сЬег, 1981, гл. 3). Вклад магнитострикции в плотность силы обусловлен изменением намагниченности при сжатии или расширении магнитной жидкости.
Это должно, в частности, повлиять на распространение звука в магнитной жидкости. Затухание ультразвука в магнитной жидкости исследовали Готох, Ислер и Чанг (Оо1оЬ, !э!ег, СЬппд, 1980) и Тарапов, Пацегон (1980)'Ь и В работе В. В. Гогосова, С. И. Мартынова, С. Н. Цурикова, Г.
А. Шапошниковой (1987) (см. дополнительную литературу) показано, что влияние стрикционного слагаемого на скорость распространения и декремент затухания ультразвука несущественно. Определяющим является дисперсный характер магнитной жидкости: трение диспергнрованных магнитных частиц и образованных из них агрегатов о несущую жидкость.— Прим.
ред. 5. Уравнение Бернулли в феррогидродинамике Одним из наиболее полезных уравнений обычной механики жидкостей является уравнение швейцарского математика Даниэля Бернулли, впервые приведенное им в его «Гидродинамике» в 1738 г. Это уравнение связывает давление, скорость и высоту подъема жидкости в поле сил тяжести. С его помощью можно вычислить изменение давления с глубиной в резервуаре, подъемную силу крыла самолета или силу давления ветра на парус.
Анализ многих задач феррогидродинамики также выглядит прозрачно и просто, если использовать обобщенное уравнение Бернулли, которое будет выведено в этой главе. Его применение особенно эффективно для задач равновесия и установившегося течения жидкостей, в которых вязкое трение отсутствует или пренебрежимо мало. Уравнение Бернулли в ФГД часто позволяет оценить порядок искомых величин, когда точное решение потребовало бы чрезмерных затрат труда и времени.
Обобщенное уравнение Бернулли было выведено в разд. 1.6, но в неполной форме. Вернемся снова к его выводу, имея теперь более глубокое представление об объемных и поверхностных магнитных напряжениях. В равд. 5.1 — 5.3 выводится это важное уравнение; далее подробно рассматривается его применение для анализа ряда задач. 5.!. ВЫВОД Уравнение Бернулли в феррогидродинамике найдем как общий интеграл уравнения движения, записанного в виде (4.72): р( — + ч ° Чч) = — Чр'+ рчМЧН+ т1Ч«ч+ рд.
(5.1) Это уравнение обобщает уравнение Навье — Стокса обычной гидромеханики: в правую часть уравнения добавлена магнитная объемная сила п»МЧН, а обычное давление р заменено на суммарное давление р'. Хорошо известно векторное тождество Ч2т = Ч (Ч ° ч)— — Ч Х (Ч Х ч), где Ч Хч = эх называется вектором вихря. Для несжимаемой жидкости Ч»ч= — Ч Х ха. Если жидкость иевязкая («1= 0) или движение безвихревое (0=0), то вязкое слага- 5.1. Вывод емое в уравнении движения тождественно равно нулю и, сле- довательно, р(дч/д1)+ рч Чч= — Чр'+ роМЧН+ ря.
(5.2) При помощи другого векторного тождества ч Чч = Ч (ве/2)— — ч Х (Ч Х ч) и соотношения (4.41) уравнение (5.2) можно записать в виде и дч ° о' Р— — Р хо- — г Р еР 2 ч РИ вЂ” ч,(мзв)— о и — ~ (дМ) (ЧТ)„,.дН. (5.3) о При переходе от уравнения (5.2) к уравнению (5.3) предпола- галось, что я = ~ я ~ постоянно, а Ь вЂ” высота относительно неко- торого уровня отсчета в направлении, противоположном направ- лению силы тяжести. Для безвихревого течения 0=0 суще- ствует потенциал скорости ф, такой, что ч= — Чф. Тогда, если ЧТ = О или (дМ/дТ)и, = О [см. обсуждение, следующее за уравнением (4.41)), уравнение (5.3) можно записать в виде Ч( — рдф/д1+ р'+ — рве+ рд/г — роМН) =О.
Здесь М вЂ” средняя по полю намагниченность, введенная фор- мулой (4.37): М= — „' ~МЛН. (5.4) о Проинтегрировав уравнение„предшествующее уравнению (5.4), найдем, что величина в скобках может быть равной только функции времени /(1): — рдф/д1+ р'+ '/аров+ рд/г — роМН =-/(1) (5 5) Уравнение (5.5) — зависящее от времени уравнение Бернулли в феррогидродинамике '~. Следует помнить, что оно было вы- ведено при следующих предположениях: Жидкость ньютоновская, несжимаемая; ЧХ Н=О; Среда намагничивается нелинейно, без гистерезиса; Векторы поля и намагниченностип параллельны: М ~~ Н; Течение безвихревое, Ч Х ч = аа = О; Сила тяжести постоянна; Течение изотермично или намагниченность не зависит от температуры.
и Уравнение в форме (5.5) обычно называется интегралом Коши — Ла- гранжа. — Лриае ред. 138 5. Уравнение Бернулли в феррогидродинамикв Для установившихся, не зависящих от времени течений дгр/дг= 0 и /(1)=сонэ(, и уравнение Бернулли сводится к виду р'+ '/,роз+ рд/т — )хоМО = сопя(, (5.6) или с использованием введенных ранее обозначений — к виду р + р, + '/,ро'+ ря/т = сопзЪ (5.7) Физический смысл этого соотношения будет подробно обсуждаться после вывода граничных условий для рассматриваемых здесь течений. Граничные условия часто оказывают решающее влияние на конфигурацию жидкости, поэтому сделаем для их вывода специальное отступление. 5.2.
ГРАНИЧНЪ|Е УСЛОВИЯ Чтобы использовать интеграл Бернулли для описания течения, нужно иметь граничные условия для потока импульса и П йда/г г(т; (Ь) (и) Рис. б.!. Геометрия элемента поверхности раздела, на который действуют силы поверхностного натяжения. (а) Общий вид; (Ь) дуга дзе, образующаяся при сечении элемента поверхности плоскостью 1. поверхностного натяжения на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, каждая из которых невязкая и намагничивающаяся.
Поверхностную силу, возникающую из-за поверхностного натяжения, можно вычислить при помощи рис. 5.), на котором изображен прямоугольный элемент поверхности раздела, ограниченный линиями кривизны в двух плоскостях под прямым углом друг к другу. Поверхностное натяжение действует тангенциально к поверхности раздела вдоль границ элемента, создавая малые силы величиной гт/1 =М81 и г(/я = азы где о — коэффициент поверхностного натяжения.
Проекции этих сил на направление нормали и имеют значения 1г/1, л з1п (г(9г/2) с(/1 и с(/з, а = 81п (с(91/2) с(/з. б.2. Гроничнще условии 139 Т, = — — (р1+ '/гвене~) 1+ В~но Тщ. г = (ре+ '~г)ггНг)! 1-ВгНл (5.13а) (5.13Ь) Так как углы малы, то их синусы хорошо аппроксимируются самими углами, поэтому е(/, „= — е(О,г(Ц2 и е(/г,„= — НО,д/г/2. Вводя радиусы кривизны поверхности, получим соотношения е(Ог = е(вг/)7г и г/О, = дв,/Нь Полная поверхностная сила равняется сумме всех рассматриваемых сил по всем четырем сторонам элемента, отнесенной к площади элемента е(А =ггз, е(в„и имеет величину — о(1/Н, + 1Яг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
