Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло - Струи, следы и каверны (1163175), страница 75
Текст из файла (страница 75)
определить фуикпии /(т!) и д(т!), Так, например, используя предположение Прандтля (!4.5), где т! = у/хч (или т! = г/хч). Это предположение эквивалентно допушению, что / - и'(х, 0)Ь(т!), что правдоподобно и согласуется по размерности с теорией пути смешения Прандтля. Если подставить (! 4.9) в упрощенное уравнение движения (/ди/дх = д(и'о')/ду, то получим в показателе для х равенство — Р— 1 = — 2Р— с/ или 392 Гл. Х1К Турбулентные следы и струп Шлихтинг вычислил входягцу1о в (14.!Оа) функцию'") т (ч) = (1 — Ф')'. (14.11а) Таким же образом в осесимметричном случае (14.1Об) с учетом (14.5) получается а(ч) = (1 — ье)'. (14.11б) Эти формулы весьма хорошо согласуются с экспериментом, если эмпирическая константа 8 и плоскость х = О выбраны в соответствии с экспериментальными данными и), Однако, как было замечено Рейхардтом [671 и Сквайром [82], не следует придавать слишком большого значения этому совпадению.
Хорошо известно, что использованные уравнения пограничного слоя относятся к параболическому типу, как и уравнение теплопроводности [31, гл. 1Ц, и что любое такое уравнение типа уравнения диффузии дает асимптотически колоколообразное распределение функции первоначально сосредоточенного источника. Так, например [98, гл. ХХ1Г1, профиль скорости, выведенный из соотношений (14.11а) и (14.1!б), пренебрежимо мало отличается от кривой ошибок Гаусса, полученной из обычного уравнения теплопроводности, как, например, в гл. ХП,п,5.
Поэтому мы не будем дальше обсуждать обширную литературу по турбулентным следам, основанную на понятии пути смешения "). 8. Следы гидродинамических движителей. Размерные формулы двух первых разделов табл. 1 гл. ХП не применимы к следам за гидродинамически самоходными объектами (лодками или самолетами). Если движитель включен, то суммарная сила 0 = О и, следовательно, уравнение количества движения и~(у=О не дает связи между параметрами р и д. Получим теперь другие формулы для р и т), пригодные в этом случае. В случае ламинарного следа при постоянной вязкости у используются соображения гл.
ХП, п. 5. Так, например, в плоском течении предполагаем, что (/ди1дх = «д'тт/ду' и что имеется симметрия течения относительно оси х. При этом легко показать (интегрируя по частям), что момент второго порядка (14.12) 393 8. Следы гидрадинаинчегких движителей не должен зависеть от х.
Предполагая Л' Ф О, получаем асимптотическую формулу а = Ах-" Н, (т!) е-" = Ах- ч й ( ~), (14.12а) где О,(в!) — полипом Эрмпта по т,= уф 2нх/(7, а коэффициент Л пропорционален гу. Подобным же образом в ламинарном осесимметричном течении и-х.'. Таким образом, в обоих случаях падение скорости происходит значительно быстрее, чем а обычных следах. Турбулентный случай является более трудным. Условие подобия все еше справедливо. Сохранение момента (14,12) не может быть строго обосновано: интегрирование по частям при использовании (14.1"') дает д )сузи "у=)су д !Г' д 1ду= 1('д !!уеду= = — ~ вуду= ~ ид(гу).
(14.13) Если бы коэффициент турбулентной вязкости е не зависел от у, то написанный интеграл обратился бы в нуль. Предположим, что изменение е пренебрежимо мало, т. е. будем считать уравнения моментоп ламинариого течения справедливыми и для турбулентных следов. Это предположение сводится в плоском течении к соотношению у'и с!у = ~Ч га О, или р = Зу (14.14а) и в осесимметричном— ~ г'иге(г=М ча О, или р=4д. (14.14б) (14.15а) и аналогично за гидродицамическим движителем в простран- стве а =х-'ьд (14. 1бб) Из этого находим, что в следе число Ке — 11")Гх в плоском случае и Ке хннз — в пространственном, На основании соотношений (14.7а) и (14.14а) приходим к выводу, что в турбулентном следе за гидродинамически самодвижу~цимся цилиндром имеем Гл.
Хl у. Турбулентные следы и струн 394 и=у( — ), о=д( — ~ (!4.16) и образованию клиновидной зоны смешения после появления турбулентности. Такая зона смешения действительно наблюдается в экспериментах, причем ширина Ь(х) составляет около 0,225 х. Распределение средней скорости представляется приближенно ((67] и (56, рис. 13 — 15)) формулой и = — с7~1+ ег1~ — Д.
(14.16") Однако теоретическая интерпретация сугцествующих экспериментальных данных довольно противоречива'4). 10. Структура струй. При достаточно большом числе Рей. нольдса, например Ке > 1200 (60, стр. 57), свободные однородные струи обычно становятся турбулентными.
Структуру такой струи, вытекающей из круглого отверстия, в общих чертах мож. но описать следующим образом. Вблизи отверстия граница струи диффундирует и образует высокотурбулентную кольцевую «зону смешения» клиновидной формы (рис. 115), как в п.
9. Она постепенно поглощает невозмущенное центральное ядро струи. Хотя объемный расход можно приближенно определить по потенциальной теории, как в гл. Хм), угол распространения зоны смешения приводит к поглощению нетурбулентного конического ядра (рис. 115) струи на расстоянии четырех или пяти диаметров. Приблизительно на расстоянии восьми диаметров от отверстия 131, гл. ХП11 асимп- 9. Зона смешения, Простейшая задача смешения касается турбулентной поверхности раздела потоков двух жидкостей, движущихся тангенциально с относительной скоростью ~/ и имеющих первоначально плоскую поверхность раздела. В случае равных плотностей зту задачу можно рассматривать как задачу неустойчивости по Гельмгольцу для больших значений й Неустопчивость по Гельмгольцу той же самой конфигурации для малых 1 была обсуждена в гл.
Х1, п. 14. Указанная задача смешения впервые рассмотрена теоретически Толмином'е), использовавшим понятие пути смешения Прандтля. Поскольку это понятие не соответствует действительности (см. п. 6), то мы рассмотрим только уравнения, следующие из анализа размерностей. Относительная скорость (/ не зависит от х; следовательно, если принять предположение подобия (14.9) о том, что длина пути смешения пропорциональна ширине Ь(х) зоны смешения, то получим а-Ь(х).
Сказанное соответствует формулам да «Теории» длины емеи»енил 395 ао»ру н — — Эона и елееш и'е(у = сопз1 и соответственно для круглых струй ~ изе(у е(а =сопз1. (14.176) Примем также гипотезу подобия (12.22) для плоских струй и=х ру(у) (14.18а) готический турбулентный режим струи становится вполне установившимся. Асимптотически такие круглые турбулентные струи распространяются в виде конуса с углом раствора порядка 20 — 25'"), профиль средней скорости и(г/Вх) имеет колоколообразный вид и может быть хорошо аппроксимирован нормальной кривой ошибок 167]. Более ранние результаты были получены Фортманом м).
Структура плоской турбулентной струи, истекающей из идели, вполне аналогична описанной, не считая очевидных видоизменений, Профиль средней скорости также может быть представлен нормальной кривой ошибок (31, рис. 235); ширина струи б(х) также асимптотически пропорциональна расстоянию х — х, в соответствии с углом распространения струи 25 — 30'.
Хотя поведение струи, как легко видеть, мало изменяется в зависимости от степени турбулентности вплоть до значения 8~, оно может значительно изменяться под влиянием начального профиля скорости струи, вытекающей из отверстия"). 11. «Теории» длины смешения. Как и в случаях ламинарных струй и турбулентных следов, асимптотическое поведение турбулентных струй может быть изучено, исходя из рассмотрения уравнения количества движения и из соображений подобия.
Так, например, пренебрегая изменением давления вдоль струи и касательными напряжениями вне ее, в приближении пограничного слоя можно получить, аналогично формулам (12.28а) и (12.28б), следующие соотношения: для плоских струй 396 Гл. Х!!с. Турбулентные следи ч струи и для круглых струй и=х рд( —,). (14. 18б) (Эмпирически, согласно п.
1О, в обоих случаях с) = 1.) Вообще говоря. соотношения (14.17а) и (14.18а) дают в случае плоских струй с) = 2Р, (14.19а) а соотношения (14.17б) и (14.!8б) в случае круглых струй дают г7= Р (14.19б) (см. гл. Х11, п. 13 и 14 соответственно). Чтобы закончить анализ размерностей, примем гипотезу подобия для турбулентного течения, и'о' — х-'р, уже использовавшуюся в и. 9 и на тех же самых основаниях. (Возможно более общее предположение 7 — х-'р.) Уравнения пограничного слоя в плоском течении имеют вид ди ди, ди' д Г ди1 д (и'и'1 и — +о — +и' — = — !е — )= . (14.20а) дх ду дх ду ( ду ) ду Аналогичные уравнения, отличающиеся только множителем г, справедливы и для осесимметричного течения.
Они совместимы с принятой гипотезой подобия тогда и только тогда, когда су — р — 1 = — р или е)=! и о=х р!г( «„). (14.20б) и=х-у г~ — ) (14.21а) и для круглых турбулентных струй и=х 'д( — ). (14.21б) Эти формулы согласуются с наблюдениями "); так же как и в ламинарном случае, угол распространения струи теоретически не определяется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
