Е.В. Чижонков - Конспект лекций по методам решения симметричных линейных систем (1162400), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

ek+1 = TSORSORT T®âªã¤ TSSOR = TSORSOR .“⢥थ­¨¥. DZãáâì A | ᨬ¬¥âà¨ç­ ï ¯®«®¨â¥«ì­®®¯à¥¤¥«¥­­ ï ¬ âà¨æ : A =AT > 0 . Œ¥â®¤ SSOR á室¨âáï , 0 < w < 2 .„®ª § ⥫ìá⢮:DZãáâì ¬¥â®¤ SSOR á室¨âáï. ’®£¤ (TSSOR ) < 1 ¨«¨, ¤à㣨¬¨á«®¢ ¬¨, jdetTSSORj < 1 . ‡ ¬¥â¨¬, çâ® detTSSOR = det2 TSOR = (1 w)2n , §­ ç¨âj1 wj2n < 1 , ®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬, çâ® w 2 (0; 2) .„®áâ â®ç­®áâì. DZãáâì 0 < w < 2 .  áᬮâਬ ®¡®¡é¥­­ë© ¬¥â®¤ ¯à®á⮩ ¨â¥à 樨:¥®¡å®¤¨¬®áâì.Bxk+1 xk+ Axk = b; T = IB 1 A:31 ¯®¬­¨¬, çâ® ¥á«¨11A > 0 , B > A;22Bâ® ®¡®¡é¥­­ë© ¬¥â®¤ ¯à®á⮩ ¨â¥à 樨 á室¨âáï.DZ®ª ¥¬, çâ® ¬ âà¨æ TSSOR ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ TSSOR = I Q 1 A , £¤¥Q = w(2 w)1D+L Dw1D+R :w„«ï í⮣® ¯à®¤¥« ¥¬ á«¥¤ãî騥 ¢ëª« ¤ª¨:TSOR = wD 1 L + I 1wD 1 R = 1 1 DD1(1 w) I wD 1 R == wD L + Iww 1 1D1 wDD=+LD R =+L+L A ;wwww ­ «®£¨ç­®(1 w) ITTSOR®âªã¤ T TTSSOR = TSORSOR ==D=+RwD+Rw 1 1D+R A ;wD+R Aw 1D+LwD+L A ;w‚®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯à¨¢¥¤¥­­ë¬¨ ¢ëª« ¤ª ¬¨, ¯®«ãç ¥¬:TSSOR = IQ 1A ,, A = Q (I TSSOR) , A = 2 w w Dw + L D 1"D+RwD+R Aw"D+Lw 1#D+L Aw=#1DDD=+L D 1 I ++R A+LA,2 w www 1 1 12 wDDDDD+L=I++R+LA+L,wwwww, 2 w w D = Dw + L + Dw + R A = w2 D D:w,â.¥.

¯®«ã稫¨ ¢ १ã«ìâ â¥ íª¢¨¢ «¥­â­ëå ¯¥à¥å®¤®¢ ⮤¥á⢥­­®¥ à ¢¥­á⢮.„®ª ¥¬ ⥯¥àì, çâ®Q1A > 0 , 8x 6= 0 (Qx; x)21(Ax; x) > 0:232DZ८¡à §ã¥¬ ¢ëà ¥­¨¥ (¨á¯®«ì§ã¥¬, çâ® L = RT ):1(Ax; x) =2DD1w1+L D+ R x; x(fL + D + Rg x; x) ==2 www2 wDD11=+ R x;+R x(Dx; x) (Rx; x) =D2 www21w1 1 11= (Dx; x) +D Rx; Rx + (Rx; x) ++(Dx; x) =22 w4 4 w2 wDD2 w1=(Dx; x) +D+ R x;+R x :4w2 w22(Qx; x)Žç¥¢¨¤­®, çâ® ¯à¨ w 2 (0; 2) ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¯®«®¨â¥«ì­® 8x 6= 0 , §­ ç¨âQ1A > 0:2’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¤®ª § «¨, çâ® ¬¥â®¤ SSOR ï¥âáï ®¡®¡é¥­­ë¬ ¬¥â®¤®¬ ¯à®á⮩¨â¥à 樨 á ¬ âà¨æ¥© B = Q ¨ ¯à¨ w 2 (0; 2) ¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥11Q= B> A,B2A > 0;2 §­ ç¨â ¬¥â®¤ SSOR á室¨âáï.

“⢥थ­¨¥ ¤®ª § ­®.‹…Š–ˆŸ 9€á¨¬¯â®â¨ç¥áª ï ®¯â¨¬¨§ æ¨ï ¡«®ç­®£® ¬¥â®¤ SSOR áᬮâਬ § ¤ çã ®¯â¨¬¨§ 樨 !minmax (T(!; )) . Ž¯¥à â®à ¯¥à¥å®¤ ¨¬¥2(0;2) (Tï ) SSOR¥â ¢¨¤ TSSOR= !D 1 R + I 1 (1 !) I !D 1 L!D 1 L + I 1 (1 !) I !D 1 R . ‚ëà §¨¬ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ­ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ïTSSOR y = y ç¥à¥§ à¥è¥­¨¥ ᯥªâà «ì­®© § ¤ ç¨ ¤«ï ¬¥â®¤ Ÿª®¡¨ Tï x = x . „«ïí⮣® ¯¥à¥¯¨è¥¬!D1R + I 1!DTSSOR ==I !A111 A120I1L + I 1= 1=!A111 A12II0I01!A22 A21 I:;)(1 !)2 I + !2 (1 !)(2 !)A111 A12 A221 A21!(1 !)(2 !)A221 A21!(1 !)(2 !)A111 A12 !3 (2 !)A111 A12 A221 A21 A111 A12(1 !)2 I + !2 (2 !)A221 A21 A111 A12:33„®áâ â®ç­® ¨áª âì § ¢¨á¨¬®áâì ¬¥¤ã ᮡá⢥­­ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ ¢ ¢¨¤¥y1 = x1 ;y2 = x2(18)£¤¥ { ­¥¨§¢¥áâ­ë© ¯ à ¬¥âà. ’®£¤ , á ãç¥â®¬ ᮮ⭮襭¨ïTï x = xA111 A12 x2 = x1 ;A221 A21 x1 = x2(19)¬®­® § ¯¨á âì ᯥªâà «ì­ãî § ¤ çã ¤«ï ¬ âà¨æë TSSOR :(1 !)2 + !2 (1 !)(2 !)2 + !(1 !)(2 !) + !3 (2 !)3 = !(1 !)(2 !) + (1 !)2 + !2 (2 !)2 = :…᫨ ¯à¥®¡à §®¢ âì á¨á⥬ã á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬!(2 !)(1 ! + !2 2 ) = (1 !)2 !2 2 (1 !)(2 !)!(1 !)(2 !) = [ (1 !)2 !2 2 (1 !)(2 !)℄;¨ ¨áª«îç¨âì , â® ¯®«ãç¨âáï ª¢ ¤à â­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ­ 室¥­¨ï ­¥¨§¢¥áâ­®£® :2 (2(1 !)2 + !2 2 (2 !)2 ) + (1 !)4 = 0 .!2 2 (2 !)21;2 = (1 !)2 +2r4 44 (1 !)2 (2 !)2 !22 + ! (24 !)‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯ à ¬¥â஬ ¤«ï ª®à­¥© 1;2 ¢ëáâ㯠¥â 2 , ¯®í⮬㠪®«¨ç¥á⢮ ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© ¤«ï Tï ¨ TSSOR ᮢ¯ ¤ ¥â.’.ª.

1 > 2 > 0 , ⮠ᯥªâà «ì­ë© à ¤¨ãá ¬ âà¨æë TSSOR ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«ïâì ¢¥«¨ç¨­ 1 . ‚ëà ¥­¨¥ ¤«ï 1 ¬®­®â®­­® § ¢¨á¨â ®â 2 , ¯®í⮬㠬 ªá¨¬ã¬ ¯® ¤®á⨣ ¥âáï¯à¨ = (Tï ) < 1: )r!4 4 (2 !)4!2 2 (2 !)2(TSSOR ) = (1 !)2 ++ (1 !)2 (2 !)2 !2 2 +:24„«ï ­ 室¥­¨ï ¬¨­¨¬ã¬ ¯® ! ¢ëç¨á«¨¬ ¯à®¨§¢®¤­ãî0! (TSSOR ) = 2(! 1) + 22 (1 !)+2 !(1 p!)(2 !)(2 6! + 3!2 ) + 4 (2! !2 )3 (1 !): )2 !2 (1 !)2 (2 !)2 + 1=44 !4 (2 !)40! (TSSOR ) = 0 ¯à¨ ! = 1 , ¯®í⮬㠮¯â = (TSSOR )!=1 = 2 . DZ®«ã稫®áì â ª®¥ ¥+ᮮ⭮襭¨¥ ¤«ï ®¯â¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï ᪮à®á⨠á室¨¬®áâ¨, ª ª ¨ ¤«ï ¬¥â®¤ ƒ ãáá ‡¥©¤¥«ï: (Tz ) = 2 .

’.ª. ®¤¨­ è £ ¬¥â®¤ SSOR § ª«îç ¥âáï ¢ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 è £®¢ ¢¥àå­¥© ¨ ­¨­¥© ५ ªá 樨, ¨ ¯à¨ ! = 1 ¬¥â®¤ SOR ᮢ¯ ¤ ¥âá ¬¥â®¤®¬ ƒ ãáá -‡¥©¤¥«ï, â® ¬®­® ᤥ« âì ¢ë¢®¤, çâ® ¡«®ç­ë© 2 2 ¬¥â®¤ SSOR­¥ ¤ ¥â ã᪮७¨ï á室¨¬®á⨠¯® áà ¢­¥­¨î á ¬¥â®¤®¬ ƒ ãáá -‡¥©¤¥«ï, ¯®í⮬㠮­ ­¥¨á¯®«ì§ã¥âáï.Ž¤­ ª® ¯®«ã祭­®¥ ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ¬¥â®¤ SSOR ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¤«ï ®¯¥à â®à ¯¥à¥å®¤ TSSOR = I Q 1 A ¯à¨¬¥­ïîâ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: 䨪á¨àãîâ ­¥ª®â®à®¥ !34¨ ¨á¯®«ì§ãîâ Q ª ª ¯à¥¤®¡ãá« ¢«¨¢ ⥫ì, â.ª.

SSOR Q(xk+1 xk ) + Axk = b ¨ Q =QT > 0 , ¯®á«¥ 祣® ¯à¨¬¥­ïîâ ¬¥â®¤ ᮯà省­ëå £à ¤¨¥­â®¢.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®­® § ª«îç¨âì, çâ® ¬¥â®¤ SOR ï¥âáï ­ ¨«ãç訬 ¯® ᪮à®áâ¨á室¨¬®á⨠á।¨ à áᬮâ७­ëå ५ ªá 樮­­ëå ¬¥â®¤®¢, ¯®â®¬ã ª ª 2 > (TSOR )¯à¨ ®¯â¨¬ «ì­ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥â஢.  áᬮâਬ ¤ «¥¥ ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­ë© ¬¥â®¤SOR ¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ ¯®§¢®«ï¥â «¨ ¢¢¥¤¥­¨¥ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® ¯ à ¬¥âà ¯®«ãç¨âì ¢ë¨£àëè¢ á室¨¬®áâ¨.Œ®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­ë© ¬¥â®¤ SOR (MSOR)8><uk+1 ukA11+ A11 uk + A12 pk = b1!k+1 pk>: A p+ A21 uk+1 + A22 pk = b2 :22!0…᫨ ¯®«®¨âì ! = !0 , â® ¯®«ã稬 ®¡ëç­ë© ¬¥â®¤ SOR . Ž¯¥à â®à ¯¥à¥å®¤ TMSOR =I!0 A221 A210I 1(1 !)I0!A111 A12 :(1 !0 )I…᫨ A = AT > 0 , Tï x = x; TMSOR y = y , â® ¢ë¯®«­¥­®( + !1) = !0 !2 .‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¥ ! = !0 á­®¢ ¯®«ãç ¥¬ ¢ â®ç­®á⨠ᮮ⭮襭¨ï ¤«ïTSOR .„®ª § ⥫ìá⢮: ã¤¥¬ ¨áª âì ¢§ ¨¬®á¢ï§ì ¬¥¤ã ᮡá⢥­­ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ à áᬠâਢ ¥¬ëåᯥªâà «ì­ëå § ¤ ç ¢ ¢¨¤¥ (18).

“¬­®¨¬ ®¡¥ ç á⨠TMSOR y = y ­ I0¬ âà¨æã !0 A 1 A I , ¯®«ã稬“⢥थ­¨¥ 1.1)( + !02221(1 !)y1 !A111 A12 y2 = y1(1 !0 )y2 = [!0 A221 A21 y1 + y2 ℄:DZ®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥­¨ï (18) ¨ (19), ⮣¤ á¨á⥬ ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ¢¨¤ã: + ! 1 = ! + !0 1 = 1 !0 ;¯®á«¥ ¯¥à¥¬­®¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ¯®«ã稬 â®, çâ® âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. pŠ®à­¨ ¯®«ã祭­®£® ¢ ã⢥थ­¨¨ 1 ª¢ ¤à â­®£® ãà ¢­¥­¨ï 1;2 = 1 2 !!0 (2 + 1) ,0 !!0 2£¤¥ = ! + ! +.2“⢥थ­¨¥ 2.

DZਠA = AT > 0 ¬¥â®¤ MSOR á室¨âáï ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ­ ç «ì­®£® ¯à¨¡«¨¥­¨ï , !; !0 2 (0; 2) .“⢥थ­¨¥ 3. ¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ á¨¬¯â®â¨ç¥áª®© ®¯â¨¬¨§ 樨min (TMSOR ) = (TSOR )!=!0 =! = ! 1;!;!0 2(0;2)£¤¥ ! = !0 = ! = p 2 2.1 + 1 (Tï )ˆ§ ã⢥थ­¨ï 3 á«¥¤ã¥â, çâ® ¬®¤¨ä¨ª æ¨ï ¬¥â®¤ SOR ­¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ã᪮७¨îá室¨¬®áâ¨, â® ¥áâì á।¨ ५ ªá 樮­­ëå ¬¥â®¤®¢ SOR ï¥âáï ­ ¨«ãç訬.’¥¬ 1‚ᯮ¬®£ ⥫ì­ë¥ १ã«ìâ âë‚ à §¤¥«¥ ¯à¨¢®¤ïâáï ®á­®¢­ë¥ ®¡®§­ 祭¨ï ¨ ¯®áâ ­®¢ª § ¤ ç¨ ¨ ¤®ª §ë¢ îâáï¢á¯®¬®£ ⥫ì­ë¥ १ã«ìâ âë, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë¥ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬.1.1.

Žá­®¢­ë¥ ®¡®§­ 祭¨ï¨ ¯®áâ ­®¢ª § ¤ 税¡®§­ 稬 ç¥à¥§ U ¨ P ¥¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà ­á⢠¢¥ªâ®à®¢ à §¬¥à­®á⥩ Nu ¨ Npᮮ⢥âá⢥­­®, Z = U P: ‡ ¯¨áì ¢¥ªâ®à z ¢ ¢¨¤¥ z = fu; pg 2 Z ®§­ ç ¥â, çâ®®­ á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ª®¬¯®­¥­â: u 2 U; p 2 P . „«ï á¨áâ¥¬ë «¨­¥©­ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨© L z = F í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â à §¡¨¥­¨î ª¢ ¤à â­®© ¬ âà¨æë L ­ ¡«®ª¨Lij (1 i; j 2) :11 L12 ;L= LL21 L22à §¬¥à­®á⨠ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«ïîâáï à §¬¥à­®áâﬨ ª®¬¯®­¥­â ¢¥ªâ®à z : L11 ï¥âáïNu Nu ¬ âà¨æ¥©, L12 | Nu Np , L21 | Np Nu , L22 | Np Np . DZà ¢ ï ç áâìá¨á⥬ë F ¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥, ­ «®£¨ç­®¥ z : F = ff; 'g 2 Z .…᫨ L11 ­¥¢ëத¥­ , â® ¬®­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¬ âà¨æã S :S = L=L11 (L22L21 L111 L12 );­ §ë¢ ¥¬ãî ¤®¯®«­¥­¨¥¬ ˜ãà ¤«ï ¬ âà¨æë L ®â­®á¨â¥«ì­® L11 (¤«ï 㤮¡á⢠¢§ïâë¬ á® §­ ª®¬ ¬¨­ãá).

…¥ §­ 稬®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ä ªâ®à¨§®¢ ­­ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ L :1L I0 L11 0IL12 ;11L= L L 1 I(1.1)0S 0I21 11£¤¥ I ¨¬¥¥â á¬ëá« ¥¤¨­¨ç­®© ¬ âà¨æë ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® à §¬¥à . ”®à¬ã« (1.1) ᢮¤¨â à¥è¥­¨¥ á¨á⥬ë Lz = F ä®à¬ «ì­® ª ®¡à 饭¨î ¤¢ãå ¯®¤¬ âà¨æ L11 ¨ S , ä ªâ¨ç¥áª¨ | ⮫쪮 S , â ª ª ª ¢ ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 㥠¢å®¤¨â L111 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,íâ®â ¯à¨¥¬ ¯®§¢®«ï¥â ¯®­¨§¨âì à §¬¥à­®áâì à¥è ¥¬®© § ¤ ç¨ ¯ã⥬ ᢥ¤¥­¨ï ¥¥ ª à ¢­®á¨«ì­®© á ¬ âà¨æ¥© á¯¥æ¨ «ì­®© áâàãªâãàë.„ «¥¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¤¥«® á ¢¥é¥á⢥­­®© á¨á⥬®© «¨­¥©­ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨© L" z = F á ¯ à ¬¥â஬ " 0 á¯¥æ¨ «ì­®£® ¢¨¤ :L"z ABTB"D u = f'pF;(1.2)36’¥¬ 1 ‚ᯮ¬®£ ⥫ì­ë¥ १ã«ìâ â룤¥ A = AT > 0; D = DT > 0 | ª¢ ¤à â­ë¥ ¬ âà¨æë à §¬¥à®¢ Nu Nu ¨ Np Np , B | ¯àאַ㣮«ì­ ï, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¬ âà¨æ à §¬¥à Nu Np .ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¬ âà¨æ L" ­¥¢ëத¥­ ¯à¨ «î¡®¬ " 0 . â® ãá«®¢¨¥,¢ ᨫã ä ªâ®à¨§ 樨 L" ¢¨¤ (1.1), ®§­ ç ¥â ­¥¢ëத¥­­®áâì ¤®¯®«­¥­¨ï ˜ãà S" =BT A 1B++" D .

DZ® ¯®áâ஥­¨î S0 = S0T ¨ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ ¯®«®¨â¥«ì­®© ¯®«ã®¯à¥¤¥«¥­­®áâ¨, â.¥. (S0 p; p) 0 ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® p 2 P . DZ®í⮬㠯ਠ" > 0 ¬ âà¨æ S" (¨,á«¥¤®¢ ⥫쭮, L" ) ­¥¢ëத¥­ ¢á¥£¤ , ¯à¨ " = 0 ãá«®¢¨ï ­¥¢ëத¥­­®á⨠¬ âà¨æL0 ¨ S0 ­®áïâ íª¢¨¢ «¥­â­ë© å à ªâ¥à. â® ®§­ ç ¥â ¨áª«îç¨â¥«ì­®áâì á¨âã 樨 á" = 0 , ¯®í⮬㠮᭮¢­®¥ ¨§«®¥­¨¥ ¡ã¤¥â ¯®á¢ï饭® ¨¬¥­­® í⮬ã á«ãç î, ®¡®¡é¥­¨¥à¥§ã«ìâ ⮢ ¤«ï " > 0 ¡ã¤¥â ¯à®¢®¤¨âìáï ¯® ¬¥à¥ ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨.Ž¡à ⨬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­ ᮮ⭮襭¨¥ ¬¥¤ã à §¬¥à­®áâﬨ ¯à®áâà ­á⢠U ¨ P , á«¥-¤ãî饥 ¨§ ãá«®¢¨ï ­¥¢ëத¥­­®á⨠¨á室­®© § ¤ ç¨. Ž­® ¢á¥£¤ ¨¬¥¥â ¢¨¤Nu Np :„¥©á⢨⥫쭮, ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥ à áᬮâਬ à¥è¥­¨¥ ®¤­®à®¤­®© á¨á⥬ë L0 z = 0¢¨¤ z = f0; pg .

Характеристики

Список файлов лекций