Е.В. Чижонков - Конспект лекций по методам решения симметричных линейных систем (1162400), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

‚ ª ª®¬ ¯®à浪¥ ¡à âì j 1 = M +2 m + M 2 m os (22jN 1) ? DZà ªâ¨ç¥áª¨¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¯®ª § «¨, çâ® ­ ­¥ª®â®àëå è £ å ¨«¨ ¤ ¥ ¨å ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâïå ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì ¬®¥â ᨫ쭮 à á⨠¨ § íâ® ¢à¥¬ï ¯®«­®áâìî ¨§¬¥­¨âì ¢¨¤ á ¬®£® à¥è¥­¨ï. DZ®í⮬ã¨á¯®«ì§ã¥âáï á¯¥æ¨ «ì­ ï ¯à®æ¥¤ãà 㯮à冷稢 ­¨ï. DZਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à ¤«ï N = 2l : ‚ä®à¬ã«¥ ¤«ï ª®à­¥© ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯¥à¥áâ ­®¢ª (¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì §­ 祭¨© j ) ¬­®¥á⢠f1; 2; : : : ; N g: …¥ ¬®­® ¯®áâநâì ४ãà७â­ë¬ ®¡à §®¬:l = 1 ! f1; 2g; l = 2 ! f1; 4; 2; 3g; l = 3 ! f1; 8; 4; 5; 2; 7; 3; 6g:‡¤¥áì à §¤¢¨£ îâáï í«¥¬¥­âë ¤«ï ¯à¥¤ë¤ã饣® §­ 祭¨ï l ¨ ­ ᢮¡®¤­ë¥ ¬¥áâ § ¯¨áë¢ îâáï ¢¥«¨ç¨­ë 2l + 1 "¯à¥¤ë¤ã騩 í«¥¬¥­â".‹…Š–ˆŸ 4—¥¡ë襢᪨© âà¥åá«®©­ë© ¬¥â®¤ (¯®«ã¨â¥à 樮­­ë©)„«ï à¥è¥­¨ï á¨á⥬ë Ax = b , £¤¥ A = AT > 0; 2 [m; M ℄ ­ á ¨­â¥à¥áã¥â ¯®áâ஥­¨¥ «£®à¨â¬ á ®æ¥­ª®© ¯®£à¥è­®á⨠¤«ï «î¡®£®¨â¥à 樨 k á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ p ­®¬¥à n21mkek k2 qk ke0 k2 , £¤¥ qk = 1 + 12n ; 1 = 1 + p ; = M .1„«ï § ¤ ­­®£® ­ ç «ì­®£® ¯à¨¡«¨¥­¨ï x0 ®¯à¥¤¥«¨¬ ¤ «ì­¥©è¨¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¯®ä®à¬ã« ¬:x1= (I 1 A)x0 + 1 b ;k+1x= k+1 (I k+1A)xk + (1 k+1)xk1+k+1 k+1 b:(1)15â® | áâ ­¤ àâ­ ï ä®à¬ § ¯¨á¨ âà¥åá«®©­®£® «£®à¨â¬ , ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ íª¢¨¢ «¥­â­ë© ¢¨¤ (¤¢ãåá«®©­ë©, ­® ¯®¤¯à ¢«¥­­ë©):x xk+ Axk = b ; xk+1 = k+1 x + (1 k+1 )xk 1 :k+1‚¢¥¤¥¬ ®¡®§­ 祭¨ï: ¤«ï ®è¨¡ª¨ ek = xk x ¨ ¤«ï ®¯¥à â®à Dk = I k A .

ˆ§ä®à¬ã« âà¥åá«®©­®£® ¬¥â®¤ á«¥¤ã¥â:e1 = D1 e0 ; ek+1 = k+1 Dk+1 ek + (1 k+1 )ek 1 :Žâáî¤ ¬®­® ¯®«ãç¨âì, çâ® ®è¨¡ª ­ k ®© ¨â¥à 樨 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ª ª १ã«ìâ â㬭®¥­¨ï ¬­®£®ç«¥­ k ®© á⥯¥­¨ ®â ¬ âà¨æë A ­ ­ ç «ì­ãî ®è¨¡ªã. „¥©á⢨⥫쭮100e = (I 1 A)e = P1 (A)e ;e2 = 2 (I 2 A)e1 + (1 2 )e0 = P2 (A)e0 ;::: ::: ::: ::: ::: ::: :::ek = Pk (A)e0 :’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®«¨­®¬ ®è¨¡ª¨P0 (t) = 1 ; P1 (t) = 1 1 t ; Pk+1 (t) = k+1 (1 k+1 t)Pk (t) + (1 k+1 )Pk 1 (t) : (2)Žâ¬¥â¨¬ ¥£® å à ªâ¥à­®¥ ᢮©á⢮: ¤«ï «î¡®© á⥯¥­¨ k á¯à ¢¥¤«¨¢® Pk (0) = 1:DZ®áâ஥­­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¤«ï ®è¨¡ª¨ ¬¥â®¤ ek = Pk (A)e0 ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì®æ¥­ªã ¢¨¤ kek k2 kPk (A)k2 ke0 k2 ; £¤¥ kPk (A)k2 = mmaxjP (t)j: ’¥¯¥àì ­ 襩 § ¤ tM k祩 ï¥âáï â ª®© ¯®¤¡®à k ; k , ç⮡ë Pk (t) ¡ë«® ¬­®£®ç«¥­®¬ —¥¡ë襢 ¯¥à¢®£®à®¤ ­ ®â१ª¥ [m; M ℄ á ãá«®¢¨¥¬ Pk (0) = 1 , â.¥.Pk (t) = qk Tk1 0 t2M m; 0 =; 0 =:0m+MM +m(3) ¯®¬­¨¬ ४ãà७⭮¥ ᮮ⭮襭¨¥ ¤«ï ¬­®£®ç«¥­®¢ —¥¡ë襢 T0 (x) = 1 ; T1 (x) = x ; Tk+1 (x) = 2xTk (x) Tk 1 (x) :Žâáî¤ ¨ ¨§ ®£® ¢ëà ¥­¨ï ¤«ï Pk (t) ¯®«ã稬Pk+1 (t)1 0 t Pk (t)=2qk+10qkPk 1 (t) P1 (t) 1 0 t;=; P0 (t) = 1 :qk 1q10Žâ¬¥â¨¬ ç áâ­ë© á«ãç © ¯®«ã祭­ëå à ¢¥­á⢠(â.ª.

Pk (0) = 1 ¤«ï «î¡®£® k )Žâáî¤ ­ ©¤¥¬12=qk+1 0 qk1; q1 = 0 ; q0 = 1:qk 1qk+1q= 2 k+1qk 10 qk1; k = 1; 2; : : :“¬­®¨¬ ®¡¥ ç á⨠(4) ­ qk+1 , ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬2qPk+1 (t) = k+1 (1 0 t)Pk (t) + 10 qk2qk+1Pk 1 (t); P1 (t) = 1 0 t; P0 (t) = 1 :0 qk(4)16DZ®«®¨¬ ⥯¥àì22q; k+1 = k+1 ;m+M0 qk’®£¤ ä®à¬ã«ë (3) ¨ (2), § ¤ î騥 ¬­®£®ç«¥­ë Pk (t) ᮢ¯ ¤ãâ.k = 0 =„«ï 㤮¡á⢠¢ëç¨á«¥­¨© ¨á¯®«ì§ãîâ ¤àã£ãî (४ãà७â­ãî) ä®à¬ã«ã ¤«ï k :4k+1 =¯à¨ k 2; 2 = 2 .

Ž­ ¯®«ãç ¥âáï ¢ १ã«ìâ â¥ íª¢¨¢ «¥­â­ëå ¯à¥®¡4 20 kà §®¢ ­¨©:1 44 k+1=1k k+1 k1k+14=1k0 qk4=12qk+1k0 22 0qkqk1=20 qk= 20 :k qk 1’à¥åá«®©­ë© áâ 樮­ à­ë© ¬¥â®¤‡­ 祭¨¥ ¨â¥à 樮­­®£® ¯ à ¬¥âà k ¢ 祡ë襢᪮¬ âà¥åá«®©­®¬ ¬¥â®¤¥ ­¥ § ¢¨á¨â®â ­®¬¥à ¨â¥à 樨 k , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¯ à ¬¥âà k ¨§¬¥­ï¥âáï, ­ 稭 ï á 1 = 2 . ©¤¥¬ ¯à¥¤¥«ì­®¥ §­ 祭¨¥ ¤«ï k , ª®£¤ k áâ६¨âáï ª ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨.  áᬮâਬä®à¬ã«ãk+1 =2 (1 + 2k )2qk+1= 1 2(k1+1) :0 qk 0 1 + 1’ ª ª ª 1 < 1 ¨ 0 = q1 = 21 =(1 + 21 ) , â® = klim = 1 + 21 ; ¨ ¯à¨ ¤®áâ â®ç­®!1 k¡®«ìè¨å k ¨¬¥¥¬ k . DZ®í⮬㠥áâ¥á⢥­­® ¨§ãç¨âì áâ 樮­ à­ë© âà¥åá«®©­ë©¬¥â®¤x1= (I A)x0 + b ;(5)k+1x= (I A)xk + (1 )xk 1 + b:á ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ¨â¥à 樮­­ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨p21mp=; = 1 + 21 ; 1 =; = :m+MM1+ ‚ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¯®«¨­®¬ ®è¨¡ª¨ ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«ïâìáï ᮮ⭮襭¨ï¬¨P0 (t) = 1 ; P1 (t) = 1 t ; Pk+1 (t) = (1 t)Pk (t) + (1 )Pk 1 (t) :(6)’¥¯¥àì ®è¨¡ªã ¬¥â®¤ ek = xk x = Pk (A)e0 ¬®­® ®æ¥­¨âì ª ª kek k2 kPk (A)k2 ke0 k2 ;§­ ï ¢¥«¨ç¨­ã kPk (A)k2 = mmaxjP (t)j: “¤®¡­® ®â [m; M ℄ ¯¥à¥©â¨ ª áâ ­¤ àâ­®¬ãtM k®â१ªã [ 1; 1℄; ¨á¯®«ì§ãï § ¬¥­ã1 0 x1 ; 0 =:1+’®£¤ Pk (t) = Qk (x) ¨ mmaxjP (t)j = maxjQk (x)j: DZ®«¨­®¬ë Qk (x) ®¯à¥¤¥«ïîâáï1x1tM kt=ª ªQ0 (x) = 1 ; Q1 (x) = 0 x ; Qk+1(x) = 20 xQk (x) 21 Qk 1(x) :(7)Žâáî¤ ¯à¨ ¯®¬®é¨ § ¬¥­ë Qk (x) = k1 Rk (x) ¯®«ã稬 áâ ­¤ àâ­®¥ ४ãà७⭮¥ á®®â-­®è¥­¨¥R0 (x) = 1 ; R1 (x) = 0 x=1 ; Rk+1 (x) = 2xRk (x) Rk 1 (x) :(8)17â®¬ã ᮮ⭮襭¨î 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¬­®£®ç«¥­ë —¥¡ë襢 ¯¥à¢®£® த Tk (x) = os(k aros x)á ­ ç «ì­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ T1 (x) = x; T0 (x) = 1 ¨ ¬­®£®ç«¥­ë —¥¡ë襢 ¢â®à®£® த sin((k + 1) aros x)p 2Uk (x) =á ­ ç «ì­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ U1 (x) = 2x; U0 (x) = 1 .

Œ¥â®¤®¬1 x­¥®¯à¥¤¥«¥­­ëå ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ­¥á«®­® ­ ©â¨ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï Rk (x) ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®©ª®¬¡¨­ 樨 Tk (x) ¨ Uk (x) :Rk (x) =1 21221Tk (x) +U (x) ; k 0:21 + 11 + 21 k„ «¥¥, ¨á¯®«ì§ãï ¨§¢¥áâ­ë¥ ᢮©á⢠¬­®£®ç«¥­®¢ —¥¡ë襢 ¯®«ã稬max jTk (x)j = Tk (1) = 1;1x1max jUk (x)j = Uk (1) = k + 1;1x11 21max jRk (x)j = Rk (1) = 1 + k:1x11 + 21Žâáî¤ á«¥¤ã¥â ¨áª®¬ ï ®æ¥­ª ¯®£à¥è­®áâ¨2kek k2 q1k 1 + k 11 + 21 ke0 k2 :1ˆ§ ­¥¥, ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® áâ 樮­ à­ë© âà¥åá«®©­ë© ¬¥â®¤ á室¨âáï ¡ëáâ॥®¯â¨¬ «ì­®£® ®¤­®è £®¢®£® ¬¥â®¤ , ­® ¬¥¤«¥­­¥¥ 祡ë襢᪮£® ¤¢ãåá«®©­®£® ¬¥â®¤ ¨¯®«ã¨â¥à 樮­­®£® ¬¥â®¤ —¥¡ë襢 .‹…Š–ˆŸ 5Œ¥â®¤ ᮯà省­ëå £à ¤¨¥­â®¢DZãáâì âॡã¥âáï ­ ©â¨ à¥è¥­¨¥ á¨á⥬ë Ax = b á ᨬ¬¥âà¨ç­®© ¯®«®¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­­®© ¬ âà¨æ¥© A = AT > 0 .

DZ® § ¤ ­­®¬ã ­ ç «ì­®¬ã ¯à¨¡«¨¥­¨î x0 ¢ëç¨á«¨¬­¥¢ï§ªã r0 = Ax0 b .  ª ¤®© ¨â¥à 樨 ¡ã¤¥¬ ®¯à¥¤¥«ïâì xn ª ªxn= x0 +nX1i=0i Ai r0á ­¥¨§¢¥áâ­ë¬¨ ¯®ª ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ i . áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ä㭪樮­ « F (x) = (Ax; x) 2(b; x) . „«ï ⮣®, çâ®¡ë ®­¤®á⨣ « ᢮¥£® ¬¨­¨¬ã¬ ¢ â®çª¥ xn ­¥®¡å®¤¨¬®:dxnF (xn )= 2 Axn b;= rn ; Aj r0 :0=idiˆ§ ä®à¬ã«ë ¤«ï xn á«¥¤ã¥âAxnb = r0 +nX1i=0i Ai+1 r0 :(9)18“¬­® ï ᪠«ïà­® ­ Aj r0 ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® (rn ; Aj r0 ) = 0 , ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨­¥©­ëåãà ¢­¥­¨© ®â­®á¨â¥«ì­® i :(r0 ; Aj r0 ) +nX1i=0i (Ai+1 r0 ; Aj r0 ) = 0j = 0; : : : ; n 1:‡ ¬¥â¨¬, çâ® ª®íää¨æ¨¥­âë i § ¢¨áï⠮⠭®¬¥à ¨â¥à 樨 n . ‘¯à ¢¥¤«¨¢ ‹¥¬¬ : ¥®¡å®¤¨¬ë¬¨ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ⮣®, çâ® xn { â®çª ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樮­ « F (x) , ïîâáï à ¢¥­á⢠:(rn; rj ) = 0j = 0; : : : ; n 1:(10)„®ª § ⥫ìá⢮: ¥®¡å®¤¨¬®áâì.

ˆ§ ⮣®, çâ® xn ¥áâì â®çª ¬¨­¨¬ã¬ F (x) (9) ¨¬¥¥¬: (rn ; Aj r0 ) = 0; j = 0; : : : ; n 1: ‡ 䨪á¨à㥬 j ¨ § ¯¨è¥¬rj= r0 +j 1X (j ) Ai+1 r0 :i=0i ᬮâਬ ¢ëà ¥­¨¥(rn ; rj ) = (rn ; r0 ) +j 1X(j )i=0i (Ai+1 r0 ; rn ):‡­ 祭¨ï i + 1 ­¥ ¯à¥¢ëè îâ ¢¥«¨ç¨­ë n 1 , ¯à¨ í⮬ i + 1 ¬ ªá¨¬ «ì­® ¯à¨ j 1 ,â.¥. j n 1 , ¯®í⮬㠪 ¤®¥ ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¯®¤ §­ ª®¬ á㬬ë à ¢­® ­ã«î.¥®¡å®¤¨¬®áâì ¤®ª § ­ .„®áâ â®ç­®áâì (¯® ¨­¤ãªæ¨¨). „«ï j = 0 ¢ëà ¥­¨ï (9) ¨ (10) ®ç¥¢¨¤­® ᮢ¯ ¤ îâ:(rn ; r0 ) = 0 . DZãáâì ¤«ï ¢á¥å j ¢¥à­ë à ¢¥­á⢠(10) ¨ (9) ¢ë¯®«­¥­ë ¤«ï ­¥ª®â®à®£®j k : (rn ; Aj r0 ) = 0 . DZ஢¥à¨¬ á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ¤«ï k + 1 , â.¥. (rn ; Ak+1 r0 ) = 0 :0 = (rn ; rk+1 ) = (rn ; Qk+1 (A)r0 ) = ak+1(Ak+1 r0 ; rn ) + ak (Ak r0 ; rn ) + : : : + (r0 ; rn ):‡¤¥áì Qk (t) = ak tk + + 1 ¨ ak 6= 0 .

‹¥¢ ï ç áâì à ¢¥­áâ¢ à ¢­ ­ã«î ¨ ª ¤®¥ ¨§á« £ ¥¬ëå ¢ ¯à ¢®©, ªà®¬¥ ¯¥à¢®£®, â ª¥ à ¢­ë ­ã«î ¯® ¯à¥¤¯®«®¥­¨î ¨­¤ãªæ¨¨.Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ak+1 (Ak+1 r0 ; rn ) = 0; â.¥. (Ak+1 r0 ; rn ) = 0 . ‹¥¬¬ ¤®ª § ­ .‚뢮¤ âà¥åá«®©­®© ä®à¬ë ¤«ï «£®à¨â¬  ®á­®¢ ­¨¨ ¤®ª § ­­®© «¥¬¬ë ¬¥â®¤ã ᮯà省­ëå £à ¤¨¥­â®¢ ¬®­® ¯à¨¤ âìáâ ­¤ àâ­ãî âà¥åá«®©­ãî ä®à¬ãx1= (I 1 A)x0 + 1 b ;k+1x= k+1 (I k+1A)xk + (1 k+1)xk1+k+1 k+1 b:Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢ë© è £ ¬®­® áç¨â âì ç áâ­ë¬ á«ãç ¥¬ âà¥åá«®©­®© ä®à¬ë á 1 =1 , ¨ ¢ ᨫ㠥£® ¤¢ãåá«®©­®á⨠¯ à ¬¥âà 1 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¢ ¬¥â®¤¥ ­ ¨áª®à¥©è¥£®£à ¤¨¥­â­®£® á¯ã᪠: 1 = (r0 ; r0 )=(Ar0 ; r0 ):ˆ§ ä®à¬ã« ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï xk ¯®«ã稬 ᮮ⭮襭¨ï ¤«ï ­¥¢ï§ª¨ rk = Axk b :rk+1 = k+1 rk k+1 k+1 Ark + (1 k+1 )rk 1 :(11)19DZ®áâ஥­¨¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¯ à ¬¥â஢ ¡ã¤¥¬ ®áãé¥á⢫ïâì ¯®á⥯¥­­®.

DZãáâì1 ; 1 ; : : : ; k ; k ®¯à¥¤¥«¥­ë, ⮣¤ ¤«ï ¯à¨¡«¨¥­¨© x1 ; : : : ; xk ¨¬¥¥âáï ¬­®£® ᮮ⭮-襭¨© ®à⮣®­ «ì­®áâ¨:(rj ; ri ) = 0i = 1; : : : ; k(12)¤®áâ ¢«ï¥â ¬¨­¨¬ã¬ äã­ª-j = 0; : : : ; i 1:DZ®«ã稬 ä®à¬ã«ë ¤«ï k+1; k+1 ¨§ ãá«®¢¨©, çâ® xk+1樮­ «ã F (x) ­ (k + 1) © ¨â¥à 樨:(13)DZ®ª ¥¬ á­ ç « , çâ® ¨§ (12) à ¢¥­á⢠᫥¤ãîâ (13) ¤«ï j k 2 ¢â®¬ â¨ç¥áª¨, § ⥬ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ®á⠢訥áï ¤¢ ( j = k 1 ¨ j = k ), çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¨áª®¬ë¥k+1 ; k+1 .DZãáâì j k 2 , ¨§ (11) ¨ (12) ­ ©¤¥¬:(rj ; rk+1) = 0j = 0; : : : ; k:(rk+1; rj ) = k+1 (rk ; rj ) k+1 k+1 (Ark ; rj ) + (1 k+1 )(rk 1 ; rj ):DZ®ª ¥¬, çâ® (Ark ; rj ) = 0 ¤«ï j k 2: „¥©á⢨⥫쭮, ¨§ (11) ¯à¨ k = j ¯®«ã稬Arj =1j +11 h j +1r(1 j +1 )rjj +1j +1rj1i:(14)“¬­® ï ᪠«ïà­® ­ rk ¨ ãç¨âë¢ ï (12), ¯®«ã稬 ¤«ï j k 2 :(Arj ; rk ) =1j +1i1 h j +1 kj1k(r ; r ) (1 j +1 )(r ; r ) = 0:j +1j +1(rj +1 ; rk )‘«¥¤®¢ ⥫쭮, (rk+1 ; rj ) = 0 ¤«ï j k 2 .Ž¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì k+1 ¨ k+1 .

Характеристики

Список файлов лекций