Е.В. Чижонков - Конспект лекций по методам решения симметричных линейных систем (1162400), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

…᫨ ®­® ­¥ ¢ë¯®«­¥­®, â® ¢ ᨫ㠭¥¯à¥ë¢­®á⨠¯® , ¬ ªá¨¬ «ì­®¥§­ 祭¨¥ ¬®­® 㬥­ìè¨âì, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ®¯â¨¬ «ì­®á⨠0 .‚ëç¨á«¨¬ ¢¥«¨ç¨­ã q: DZਠ®¯â¨¬ «ì­®¬ §­ 祭¨¨ ®­ à ¢­ q=M m 1 m=; = < 1:M +m 1+M“⢥थ­¨¥ ¤®ª § ­®.Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢¥«¨ç¨­ ᮢ¯ ¤ ¥â á 1= ond2 (A); â.¥. ®â ç¨á« ®¡ãá«®¢«¥­®á⨠¨á室­®© ¬ âà¨æë § ¢¨á¨â ­¥ ⮫쪮 â®ç­®áâì ¯®«ãç ¥¬®£® à¥è¥­¨ï (ª ª íâ® á«¥¤ã¥â ¨§­¥à ¢¥­á⢠“¨«ª¨­á®­ ), ­® ¨ ᪮à®áâì ¥£® ¯®«ã祭¨ï.8Œ¥â®¤ ­ ¨áª®à¥©è¥£® £à ¤¨¥­â­®£® á¯ã᪠Ž¡á㤨¬ ¢®¯à®á ® ¢ë¡®à¥ ¨â¥à 樮­­ëå ¯ à ¬¥â஢ ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ¨­ä®à¬ æ¨ï ®£à ­¨æ å ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© ¨á室­®© ¬ âà¨æë ®âáãâáâ¢ã¥â.  ¯®¬­¨¬ á­ ç « १ã«ìâ âë, á¢ï§ ­­ë¥ á ®¯â¨¬ «ì­ë¬ ®¤­®è £®¢ë¬ ¬¥â®¤®¬.

ˆá室­®© ï¥âáï § ¤ ç Ax = b; A = AT > 0 :DZãáâì ¨§¢¥áâ­ë ¬¨­¨¬ «ì­®¥ ¨ ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï:min(A) = m; max (A) = M:’®£¤ ¥á«¨ ¢ ¬¥â®¤¥xk+1 xk+ Axk = b¯®«®¨âì = m +2 M ; â® ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥­ª ¯®£à¥è­®áâ¨mkxk xk2 qk kx0 xk2; q = M:M +m¥¤®áâ ⪮¬ ¬¥â®¤ ï¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬®áâì §­ ­¨ï M ¨ m .  è 楫ì | ¯®áâ஥­¨¥ «£®à¨â¬ (­ ¨áª®à¥©è¥£® £à ¤¨¥­â­®£® á¯ã᪠), ¨¬¥î饣® ­ «®£¨ç­ãî ᪮à®áâì á室¨¬®áâ¨, ­® ­¥ ¨á¯®«ì§ãî饣® ¨­ä®à¬ æ¨î ® £à ­¨æ å ᯥªâà . „«ï í⮣® ­¥®¡å®¤¨¬®¯à¨¢«¥çì ¨¤¥¨ ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï.‡ ¬¥­¨¬ ¨á室­ãî á¨á⥬㠫¨­¥©­ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨© § ¤ 祩 ®âë᪠­¨ï¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樮­ « F (x) = (Ax; x) 2(b; x) :â¨ § ¤ ç¨ à ¢­®á¨«ì­ë, â.¥. ¨¬¥îâ ®¤­® ¨ â® ¥ ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥.

„¥©á⢨⥫쭮,à áᬮâਬ äã­ªæ¨î(A(yx); y x) (Ax; x) = (Ay; y) 2(Ay; x) + (Ax; x) (Ax; x) F (y) :DZ®áª®«ìªã A = AT > 0; â® (A(y x); y x) > 0 ¯à¨ y 6= x , ¢¥«¨ç¨­ (Ax; x) = (b; x)­¥ § ¢¨á¨â ®â y; â® F (y) ¨¬¥¥â ¥¤¨­á⢥­­ãî â®çªã ¬¨­¨¬ã¬ , ᮢ¯ ¤ îéãî á x .’¥¯¥àì ¤«ï ®âë᪠­¨ï â®çª¨ íªáâ६㬠¬®­® ¯à¨¬¥­¨âì ¨§¢¥áâ­ë¥ ¬¥â®¤ë ¬¨­¨¬¨§ 樨 ä㭪樮­ « . DZà®á⥩訬¨ ¨§ ­¨å ïîâáï ¬¥â®¤ë £à ¤¨¥­â­®£® á¯ã᪠, ¢ª®â®àëå ¯à¨¡«¨¥­¨ï ¨éãâáï ¯® ä®à¬ã«¥xk+1 = xk Æk grad(F (xk )) = xk k (Axk b); k = 2 Æk :‡¤¥áì Æk | ¯ à ¬¥âà ¬¥â®¤ , ¨ ¥£® ¢ë¡®à ®¯à¥¤¥«ï¥â ª®­ªà¥â­ë© «£®à¨â¬.  ¯à¨¬¥à,¥£® ¬®­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§ ãá«®¢¨ïÆk : F (xk+1 ) = F (xk Æk grad(F (xk )) ! min :‚ í⮬ á«ãç ¥ ¬¥â®¤ ­ §ë¢ ¥âáï ¬¥â®¤®¬ ­ ¨áª®à¥©è¥£® £à ¤¨¥­â­®£® á¯ã᪠.

„«ï ­ 襣® á«ãç ï ª¢ ¤à â¨ç­®£® ä㭪樮­ « § ¤ ç ¢ë¡®à ¯ à ¬¥âà à¥è ¥âáï ¢ ®¬¢¨¤¥. Ž¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î'(k ) = F (xk+1 ) = F (xk ) 2k (Axkb; Axkb) + 2k (A(Axkb); Axkb) :9‚¢¥¤¥¬ ®¡®§­ 祭¨¥ ­¥¢ï§ª¨ rk = Axk b ¨ ­ ©¤¥¬ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï k ¨§ ãá«®¢¨ï'0 (k ) = 0 :k =(rk ; rk ):(Ark ; rk ) áᬮâਬ ¢®¯à®á ® ᪮à®á⨠á室¨¬®á⨠«£®à¨â¬ .

‚¢¥¤¥¬ ®¡®§­ 祭¨¥F0 (y) = (A(y x); y x) = ky xk2A ;£¤¥ x | â®ç­®¥ à¥è¥­¨¥, ¨ ¤®ª ¥¬ á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì“⢥थ­¨¥. DZਡ«¨¥­¨ï ¬¥â®¤ ­ ¨áª®à¥©è¥£®â¢®àïî⠮業ª¥F0 (xk ) M mM +m2k£à ¤¨¥­â­®£® á¯ã᪠㤮¢«¥-F0 (x0 ) :‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ í⮣® ­¥à ¢¥­á⢠᫥¤ã¥âkxkxk2 qkrM 0kxmxk2 ; q =M m;M +m¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ᪮à®áâì á室¨¬®á⨠⠪ ï ¥, ª ª ã ®¯â¨¬ «ì­®£® ®¤­®è £®¢®£®¬¥â®¤ , ­® ¨­ä®à¬ æ¨ï ® ¢¥«¨ç¨­ å M ¨ m §¤¥áì ­¥ âॡã¥âáï.„®ª § ⥫ìá⢮. ‡ 䨪á¨à㥬 â®çªã xk : ˆ§ â®çª¨ y k xk ᤥ« ¥¬ ®¤¨­ è £ ®¯â¨¬ «ì­®£® ®¤­®è £®¢®£® ¬¥â®¤ :2(AykM +myk+1 = ykŽè¨¡ª ek = yk x 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᮮ⭮襭¨îek+1 = Ib) :2A ek :M +mDZãáâì fzi g | ®àâ®­®à¬¨à®¢ ­­ ï á¨á⥬ ᮡá⢥­­ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¬ âà¨æë A :Azi = i zi ; (zj ; zi ) = Æij ; i 2 [m; M ℄; m > 0 :‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ­¥à ¢¥­á⢠1DZãáâì ek =nPi=18i 2 [m; M ℄ :i zi : ’®£¤ (Aek ; ek ) =bi = 12i mq= MM + mM +mnXi=1i i zi ;nXi=1!i zi =nXi=12i i ;ek+1=nXi=1nnXX2ii ; (Aek+1 ; ek+1 ) = b2i i = 2i i 1M +mi=1i=1Žâáî¤ ¨¬¥¥¬ ®æ¥­ªã(Aek+1 ; ek+1 ) q2 (Aek ; ek ) :bi zi ;2iM +m2:10DZ®áª®«ìªã F0 (yk ) = (Aek ; ek ); â®F0 (yk+1 ) q2 F0 (yk ) = q2 F0 (xk ) :Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨¡«¨¥­¨¥ yk+1 ¯®«ã祭® ¯® ä®à¬ã«¥yk+1 = xk grad(F (xk )) ; =1;M +mâ.¥.

¢ १ã«ìâ â¥ è £ £à ¤¨¥­â­®£® á¯ãáª á ­¥®¯â¨¬ «ì­ë¬ §­ 祭¨¥¬ ¯ à ¬¥âà :DZ®í⮬㠤«ï ­ áâ®ï饣® ¯à¨¡«¨¥­¨ï xk+1 ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮F (xk+1 ) F (yk+1 )¢ á¨«ã ¯à ¢¨«ì­®£® ¢ë¡®à ¨â¥à 樮­­®£® ¯ à ¬¥âà . ® F (y) = F0 (y) (Ax; x); â.¥.F0 (xk+1 ) (Ax; x) F0 (yk+1 ) (Ax; x) :Žâáî¤ á«¥¤ã¥âF0(xk+1 ) F0(yk+1 ) M mM +m2F0 (xk );¨ ᮮ⢥âá⢥­­® á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ¨áª®¬®© ®æ¥­ª¨.

“⢥थ­¨¥ ¤®ª § ­®. áç¥â­ë¥ ä®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ xk ! xk+1 ¢ ¬¥â®¤¥ ­ ¨áª®à¥©è¥£® £à ¤¨¥­â­®£® á¯ã᪠:k krk = A xkb; k =(r ; r ); xk+1 = xk(Ark ; rk )k rk¨¬¥îâ §­ ç¨¬ë© ¢ á«ãç ¥ ¡®«ì让 à §¬¥à­®á⨠­¥¤®áâ ⮪: ¤¢ 㬭®¥­¨ï ¬ âà¨æë ­ ¢¥ªâ®à. DZ®í⮬㠭 ¯à ªâ¨ª¥ ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâ ¤à㣨¥ ä®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ fxk ; rk g !fxk+1; rk+1g :k =(rk ; rk ); rk+1 = rk(Ark ; rk )k A rk ; xk+1 = xkk rk :‚ í⮬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï ­ ª ¤®© ¨â¥à 樨 ¢ëç¨á«ïâì ⮫쪮 ¢¥ªâ®à A rk ; ­® § â®­ã­® ¯®áâ®ï­­® åà ­¨âì ¤¢ à ¡®ç¨å ¢¥ªâ®à xk ¨ rk , â.¥. 祬-â® ®¡ï§ ⥫쭮 ¯à¨å®¤¨âáï à ᯫ 稢 âìáï § ­¥§­ ­¨¥ £à ­¨æ ᯥªâà («¨¡® ¢ëç¨á«¨â¥«ì­®© à ¡®â®©, «¨¡®¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®© ¯ ¬ïâ¨).Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¬¥â®¤ë £à ¤¨¥­â­®£® á¯ã᪠ïîâáï ­¥«¨­¥©­ë¬¨, â.ª.

¯ à ¬¥âà Æk¢ë¡¨à ¥âáï ª ª ­¥ª®â®à ï äã­ªæ¨ï ¯à¨¡«¨¥­¨ï xk . â® ¯à¨¢®¤¨â ª ãá«®­¥­¨î ­ «¨§ á室¨¬®áâ¨, ç áâ® ¢¥áì¬ áãé¥á⢥­­®¬ã.‹…Š–ˆŸ 3—¥¡ë襢᪨© ¤¢ãåá«®©­ë© ¬¥â®¤ ¯®¬­¨¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠¬­®£®ç«¥­®¢ —¥¡ë襢 ¯¥à¢®£® த Tn (x):1) ¥ªãà७⭮¥ ᮮ⭮襭¨¥:T0 (x) = 1; T1 (x) = x; Tn+1 (x) = 2x Tn (x) Tn 1 (x) :112) ’ਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª ï ä®à¬ . DZਠ«î¡®¬ ¨¬¥¥¬os (n + 1) = 2 os os(n) os (n 1) :DZ®« £ ï = aros x , ¯®«ã稬Tn (x) = os(n aros x) :â ä®à¬ 㤮¡­ ¤«ï ¯à¨¬¥­¥­¨ï ­ ®â१ª¥ [ 1; 1℄: ‡ ¬¥â¨¬, çâ® Tn (x) 1 ¯à¨jxj 1:3)  §­®áâ­®¥ ãà ¢­¥­¨¥.

¥ªãà७⭮¥ ᮮ⭮襭¨¥ ï¥âáï à §­®áâ­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬¯® ¯¥à¥¬¥­­®© n . …¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥2 2x + 1 = 0 :‘«¥¤®¢ ⥫쭮,p1;2 = x x2 1Tn (x) = C1 n1 + C2 n2 :ˆ§ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨© ¯®«ãç ¥¬ C1 = C2 = 12 . â® ¤ ¥â1 p 2 n p 2 nTn (x) =x+ x 1 + xx 1:2Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢á¥ ¬­®£®ç«¥­ë T2n (x) | ç¥â­ë¥, T2n+1 (x) | ­¥ç¥â­ë¥, â.¥. Tk (x) =( 1)k Tk ( x): DZਠí⮬ ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ áâ à襬 ç«¥­¥ à ¢¥­ 2n 1 . áᬮâਬ ­¥ª®â®àë¥ ¯®«¥§­ë¥ ᢮©á⢠íâ¨å ¬­®£®ç«¥­®¢.ã«¨.  ©¤¥¬ ­ [ 1; 1℄ ¢á¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï Tn (x) = 0; ¨á¯®«ì§ãï âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áªãî ä®à¬ã:xk = os (2k 1)k = 1; : : : ; n:2n‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ®­¨ ¢á¥ à §«¨ç­ë, ¯®í⮬㠢­¥ ®â१ª [ 1; 1℄ ¤àã£¨å ­ã«¥© ¬­®£®ç«¥­ Tn (x) ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.ªáâ६ã¬ë ­ ®â१ª¥ [ 1; 1℄ .

‚­ãâਠ®â१ª ¨¬¥¥âáï ஢­® (n 1) íªáâ६ã¬(¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì­ë¬¨ ­ã«ï¬¨). „«ï ¨å ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬®­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáïãà ¢­¥­¨¥¬sin(n aros x)np 2 :0 = Tn0 (x) =1 xâ® ¤ ¥â xm = os(m=n); m = 1; : : : ; n 1: ‚ íªáâ६ «ì­ëå â®çª å á¯à ¢¥¤«¨¢ëà ¢¥­á⢠Tn (xm ) = ( 1)m : Šà®¬¥ í⮣®, ¢ ª®­æ¥¢ëå â®çª å x = 1 ¨¬¥¥¬: Tn (1) =1; Tn ( 1) = ( 1)n : DZ®í⮬㠮¡é¥¥ ª®«¨ç¥á⢮ íªáâ६㬮¢ ­ ®â१ª¥ [ 1; 1℄ à ¢­®(n + 1) :mxm = osm = 0; : : : ; n :n ¨¬¥­ì襥 㪫®­¥­¨¥ ®â ­ã«ï.  áᬮâਬ ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ ¬­®£®ç«¥­ë —¥¡ë襢 :Tn (x) = 21 n Tn (x) = xn + an 1 xn 1 + : : : + a0 ;â.¥. ¬­®£®ç«¥­ë á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ 1 ¯à¨ áâ à襩 á⥯¥­¨. „«ï ­¨å á¯à ¢¥¤«¨¢® ã⢥थ­¨¥:12n ­ ¨¬¥­¥¥ 㪫®­ï¥âáï ®â ­ã«ï á।¨+ : : : + b0 á® áâ à訬 ª®íää¨æ¨¥­â®¬ 1 ­ ¯à¨¢¥¤¥­­ë© ¬­®£®ç«¥­ —¥¡ë襢 á⥯¥­¨¢á¥å ¬­®£®ç«¥­®¢®â१ª¥Pn (x) = xn + bn 1 xn[ 1; 1℄ , â.¥.1max Pn (x) max T n (x) = 21[ 1;1℄[ 1;1℄n:.

DZãáâì kPn (x)k < 21 n . ’®£¤ ¢ â®çª å íªáâ६㬠¬­®£®ç«¥­ —¥¡ë襢 §­ ª à §­®á⨠T n (x) Pn (x) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï §­ ª®¬ T n (x)„®ª § ⥫ìá⢮sign T n (xm ) Pn (xm ) = sign ( 1)m 21nPn (xm ) = ( 1)m:DZਠí⮬ 㪠§ ­­ ï à §­®áâì ï¥âáï ®â«¨ç­ë¬ ®â ­ã«ï ¬­®£®ç«¥­®¬ á⥯¥­¨ n 1 ,­® ¨¬¥¥â n ­ã«¥©, ¯®áª®«ìªã n + 1 à § ¬¥­ï¥â §­ ª ¢ â®çª å íªáâ६㬠. DZ®«ã祭­®¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¨ ¤ ¥â ¨áª®¬ë© १ã«ìâ â.Œ®­® ¤®ª § âì, çâ® â ª®© ¬­®£®ç«¥­ ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬.Žâ®¡à ¥­¨¥ ­ ®â१®ª [a,b℄. DZãáâì âॡã¥âáï ­ ©â¨ ¬­®£®ç«¥­, ­ ¨¬¥­¥¥ 㪫®­ïî騩áï ®â ­ã«ï á।¨ ¢á¥å ¬­®£®ç«¥­®¢ á® áâ à訬 ª®íää¨æ¨¥­â®¬ 1 ­ ®â१ª¥a+b b a[a; b℄ .

’®£¤ ᤥ« ¥¬ «¨­¥©­ãî § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­ëå x0 =+x ¤«ï ®â®¡à ¥22­¨ï ®â१ª [ 1;1℄ ¢ § ¤ ­­ë©®â१®ª [a; b℄ . Œ­®£®ç«¥­ T n (x) ¯à¨ í⮬ ¯à¥®¡à §ã¥âáï2x (b+a)¢ ¬­®£®ç«¥­ T n b aá® áâ à訬 ª®íää¨æ¨¥­â®¬ (2=(b a))n . DZ®á«¥ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª¨ ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï áå¥¬ë ¤®ª § ⥫ìá⢠¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ᢮©á⢠¨¬¥¥¬T [na;b℄(x) = (ba)n 21 2n Tn2x (b + a):b aˆ­®£¤ âॡã¥âáï ¨¬¥âì ¬­®£®ç«¥­ ¢¨¤ : Pn (x) = bn xn + bn 1 xn 1 + : : : + 1; â.¥. ᪮íää¨æ¨¥­â®¬ 1 ¯à¨ ¬« ¤è¥© á⥯¥­¨, ­ ¨¬¥­¥¥ ®âª«®­ïî騩áï ®â ­ã«ï ­ ®â१ª¥Tn[a;b℄(x)[a; b℄; a 0: …£® ¬®­® ¯®«ãç¨âì ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ª®© Pn (x) = [a;b℄ ; â ª ª ª ¬­®£®ç«¥­Tn (0)T [na;b℄(x)¨¬¥¥â ¢á¥ ­ã«¨ ­ [a; b℄ . DZ®ª ¥¬, çâ® ¯®áâ஥­­ë© ¬­®£®ç«¥­ ¨¬¥¥â ­ ¨¬¥­ì襥 ®âª«®­¥­¨¥ ®â ­ã«ï ¢ ᢮¥¬ ª« áá¥. …᫨ ¯à¨¬¥­¨âì 㥠¨á¯®«ì§®¢ ­­ãî ¢ëè¥á奬ã à áá㤥­¨©, â® ¯®«ã稬, çâ® à §­®áâì Pn (x) Pn (x) ï¥âáï ¬­®£®ç«¥­®¬ n -©á⥯¥­¨, ¨¬¥¥â n ­ã«¥© ¢­ãâਠ[a; b℄ ¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ­ã«ì ¯à¨ x = 0 .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮íâ à §­®áâì ¤®«­ ⮤¥á⢥­­® à ¢­ïâìáï ­ã«î, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î.pŽàâ®­®à¬¨à®¢ ­­®áâì ­ ®â१ª¥ [ 1; 1℄ . DZ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì T~0 (x) = 1= 2; T~n (x) =1 1Tn (x); n 1 ®¡à §ã¥â ®àâ®­®à¬¨à®¢ ­­ãî á¨á⥬ã á ¢¥á®¬ p(x) = p, â.¥. á¯à 1 x2¢¥¤«¨¢®Z11n :T~n (x)T~m (x)p(x)dx = Æmâ® ¤ ¥â ¢®§¬®­®áâì ­¥ ⮫쪮 㤮¡­® ­ 室¨âì ­ ¨«ãç襥 ¯à¨¡«¨¥­¨¥ ¤«ï ä㭪樨f (x) ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L2 ( 1; 1) :f (x) nXk=0ak T~k (x);Z1£¤¥ ak = p(x)f (x)T~k (x)dx ;113­® ¨ ¡ëáâà® ¢ëç¨á«ïâì íâ® ¯à¨¡«¨¥­¨¥ ¢ 䨪á¨à®¢ ­­®© â®çª¥ x ¯® ४ãà७⭮©ä®à¬ã«¥ ¤«ï ¬­®£®ç«¥­®¢ —¥¡ë襢 . áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 «£®à¨â¬ á ¯¥à¥¬¥­­ë¬ ¨â¥à 樮­­ë¬ ¯ à ¬¥â஬xk+1 xk+ Axk = bk+1ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¤®¯ã᪠¥âáï ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯ à ¬¥âà ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ­®¬¥à ¨â¥à 樨 á«¥¤ãî騬 (横«¨ç¥áª¨¬ á ¯¥à¨®¤®¬ N ) ®¡à §®¬:1 ; 2 ; : : : ; N ; 1 ; 2 ; : : : :“⢥थ­¨¥ 1.

DZਠãá«®¢¨¨A = AT , (A) 2 [m; M ℄0<mM <1¨®¯â¨-¬ «ì­ë¥ §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥â஢ à ¢­ë ®¡à â­ë¬ ¢¥«¨ç¨­ ¬ ª®à­¥© ¬­®£®ç«¥­ —¥¡ë襢 á⥯¥­¨N­ ®â१ª¥+ M 2 m os (22jN 1) . DZਠí⮬ ¨¬¥¥âá室¨¬®á⨠§ N è £®¢:[m; M ℄ : j 1 =¬¥áâ® á«¥¤ãîé ï ®æ¥­ª ᪮à®áâ¨M +m2N£¤¥ppkx xN k2 1 +2qq2N kx x0 k2 ;pmq = pMM+ m .„®ª § ⥫ìá⢮. „«ï à áᬠâਢ ¥¬®£® ¬¥â®¤ § N è £®¢ ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî騩 § ª®­¨§¬¥­¥­¨ï ¢¥ªâ®à ®è¨¡ª¨ ek+N = x xk+Nek+N = BN ek ; BN =NY(Ij =1j A) :ã¤¥¬ ¨áª âì ­ ¡®à ¨â¥à 樮­­ëå ¯ à ¬¥â஢ j , j = 1; :::; N ¨§ ãá«®¢¨ï ¬¨­¨¬ã¬ ¥¢ª«¨¤®¢®© ­®à¬ë ®¯¥à â®à ¯¥à¥å®¤ BN : …᫨ A = AT > 0 , ⮣¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® A =QNQDQ 1 ¨ BN = Q j =1 (I j D)Q 1 : â® ®§­ ç ¥â, çâ® BN ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç­®©¬ âà¨æ¥©.

DZ®í⮬ãNYkBN k2 = minmax j (1 j (A))j :minjj 2[m;M ℄j =1Q‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ëà ¥­¨¥ Nj=1(1 j (A)) ï¥âáï ¬­®£®ç«¥­®¬ N -®© á⥯¥­¨ ­ ®â१ª¥ [m; M ℄ á ¬« ¤è¨¬ ª®íää¨æ¨¥­â®¬, à ¢­ë¬ ¥¤¨­¨æ¥. ‚ëè¥ ¡ë«® ¯®ª § ­®,çâ® ¬­®£®ç«¥­, ­ ¨¬¥­¥¥ ®âª«®­ïî騩áï ®â ­ã«ï ­ [m; M ℄ ¢ í⮬ ª« áá¥, ¨¬¥¥â ¢¨¤T [m;M ℄()PN () = N[m;M ℄ ; £¤¥ T [na;b℄ (x) = (b a)n 21 2n Tn 2x b (ba+a) | ¯à¨¢¥¤¥­­ë© ¬­®£®ç«¥­TN (0)—¥¡ë襢 ­ í⮬ ®â१ª¥. …£® ª®à­¨ ¢ë¯¨áë¢ îâáï ­ «¨â¨ç¥áª¨, ¨áª®¬ë¥ j ¥áâ좥«¨ç¨­ë ®¡à â­ë¥ í⨬ ª®à­ï¬. ©¤¥¬ ¢¥«¨ç¨­ã ­®à¬ë kPN ()k2 = 1=jTN[m;M ℄ (0)j: „«ï í⮣® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï á«¥¤ãî騬 ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ ¤«ï ¬­®£®ç«¥­ —¥¡ë襢 1TN (x) =2x+px21N+ xpx21N :14’ ª ª ªx=TN[m;M ℄(0)= TNpM +m; âॡã¥âáï ¢ëç¨á«¨âì ¢¥«¨ç¨­ë x x2 1 ¤«ïM mM +m: «¥¬¥­â à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯à¨¢®¤ïâ ª à ¢¥­á⢠¬M mxpx2pp pM mp p :1= pp( Mm)( M + m)ppmˆá¯®«ì§ãï ®¡®§­ 祭¨¥ q = pMM + m ; ¬®­® § ¯¨á âìTNM +m( q)N + ( q)=M m2N;®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â ¨áª®¬®¥ ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ®æ¥­ª¨ ¯®£à¥è­®áâ¨.

“⢥थ­¨¥ ¤®ª § ­®.‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ á।­¥¬ § ª ¤ã N ¨â¥à 権 ¯à¨ ¢ë¡®à¥ 祡ë襢᪨åp1è £®¢ ®è¨¡ª ã¡ë¢ ¥â ¯à¨¬¥à­® ª ª 1+p ; çâ® ¯à¨ ¬ «ëå áãé¥á⢥­­® ¬¥­ìè¥, 祬1 : ­ «®£¨ç­ ï ¢¥«¨ç¨­ ¤«ï ®¯â¨¬ «ì­®£® ®¤­®è £®¢®£® ¬¥â®¤ 1+“«ãçè¨âì ¯®«ã祭­ãî ᪮à®áâì á室¨¬®á⨠­¥«ì§ï, â ª ª ª ¬­®£®ç«¥­ —¥¡ë襢 ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ ¬¨­¨¬ «ì­®á⨠­®à¬ë, | íâ® ¡¥§ãá«®¢­®¥ ¤®á⮨­á⢮. ¥¤®áâ ⪮¬¬¥â®¤ ï¥âáï âॡ®¢ ­¨¥ ¨­ä®à¬ 樨 ® £à ­¨æ å ᯥªâà ¬ âà¨æë A .Ž¤­ ª® §¤¥áì ¯®ï¢«ï¥âáï ¢ ­ë© ᯥªâ 㯮à冷稢 ­¨ï è £®¢.

Характеристики

Список файлов лекций