Э.Р. Розендорн - Математические вопросы метеорологии (1162185)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

⇒Э. Р. РозендорнМатематические вопросыметеорологииКонспект лекцийВерсия 2.1εγПредисловие к версии 1.0Одноименный спецкурс читается на мехмате МГУ. Спецкурс годовой,здесь представлена первая его часть. Данный конспект есть просто–напросто электронная версия тетрадки, куда я делал записи по этой темев 2003–2004 учебном году. Авторская разбивка на главы и параграфысохранена, равно как термины и обозначения, введенные автором.Те книги, что указаны в Списке литературы, ни к чему не обязывают:лектор о них не говорил, просто к ним обращался я сам, когда возникаливопросы, а обращался скорее всего по причине того, что они были подрукой.В Приложении помещены экзаменационные вопросы по данному курсу, предлагавшиеся, опять же, в 2003–2004 учебном году.Даже если я и найду нужные слова, их все равно будет мало, чтобывыразить благодарность лектору — Эмилю Ренольдовичу Розендорну —за столь интересный курс.

Это правда.Буду рад критике и пожеланиям. Пишите на epsgam@yandex.ru.Пригодится для следующей версии.Зеленоград,сентябрь 20041Предисловие к версии 2.0Две части, не претерпев изменений, объединились в один файл. Это,пожалуй, единственное отличие. Нумерация глав, рисунков и уравненийнезависимая для каждой части. Общий у них только список литературы.В конспекте версии 2.1 исправлены некоторые стилистические и графические неточности.Зеленоград,май 20062Часть I3ВведениеО прогнозе погодыПрогнозы на срок до трех суток принято считать краткосрочными,до десяти суток — среднесрочными. Своеобразным пределом предсказания здесь является срок в три недели. Такие факторы как перемешивание траекторий воздушных частиц и турбулентность трудно поддаютсяпрогнозированию, хотя их влияние в течение месяца может быть оченьвелико.

Однако в некоторых случаях прогноз на более длительный период, выявляющий определенные отклонения от нормы по температуреи влажности, может оказаться весьма полезным. Это относится, например, к сельскому хозяйству.Улучшение качества прогноза во второй половине XX века связано впервую очередь с использованием вычислительной техники, искусственных спутников Земли, автоматизацией всего процесса сбора и обработкиинформации.

Впрочем, любое целенаправленное наблюдение атмосферы — с аэростата, ракетного зонда, самолета или с земли — может служить источником метеорологических данных.Нижняя атмосфера Земли в умеренныхширотахНа графике зависимости (см. рис. 1) температуры атмосферы Земливыделяется нижний слой до 2 км. Суточные колебания температуры уповерхности составляют 3–4 градуса для суши, и 1–2 градуса для моря.Фактически, этот слой — часть тропосферы, простирающейся до 10–11км в полярных и умеренных широтах и до 14–17 км в тропических. Втропосфере температура убывает приблизительно на 6◦ за каждый ки4лометр высоты, достигая к тропопаузе в среднем −55◦ C . Тот факт, что встратосфере начинается повышение температуры, объясняется присутствием озона, который поглощает ультрафиолетовое излучение Солнцаи, тем самым, создает теплый слой.

Так, уровню стратопаузы соответствует примерно нулевая температура. В термосфере ультрафиолетовоеизлучение поглощается молекулярным кислородом.5Высота, км100Мезопауза8060Стратопауза4020ТропопаузаТемпература, К0200250300Рис. 16Глава 1Вспомогательные сведения измеханики и физики§ 1.1.

Атмосферное давлениеСначала для простоты будем считать, что подстилающая поверхностьявляется плоскостью z = z ∗ . Пусть задана величина p∗ атмосферногодавления вблизи этой поверхности. Уравнение ρ = ρ(T, p), где ρ — плотность, в общем случае будет зависеть от конкретного вещества и егофазового состояния. Для атмосферного воздуха используем уравнениесостояния идеального газаp = RρT .(1)Здесь R = 8,31 Дж/(моль·К) — молярная газовая постоянная.Рассмотрим цилиндр с основанием площади S, лежащим в плоскостиz = z ∗ . Зафиксируем некоторый уровень z > z ∗ . Тогда на объем воздуха, заключенный в цилиндре между уровнями z и z + ∆z, сонаправленнодействуют сила давления p(z + ∆z)S и вес S∆zhρgi.

Их уравновешивает действующая в противоположном направлении сила давления p(z)S.Следовательно,p(z + ∆z)S + S∆zhρgi = p(z)S ,откудаp(z + ∆z) − p(z)= −hρgi .∆zЧерез hρgi обозначили усреднение переменной, вообще говоря, величины7по рассматриваемому объему.

Переходя к пределу, получаем∂p= −ρg .∂z(2)Предположим, что g = const. В этом случае из (1) и (2) вытекает1 ∂pg 1=−,p ∂zR T (z)откудаp(z) = p∗ exp −gRZzz∗ds .T (s)Эта формула больше соответствует условиям холодного времени года,когда величина T на отрезке [z ∗ , z] меняется не столь значительно.§ 1.2. Атмосферное давление. ПродолжениеВ общем случае подстилающая поверхность плоскостью не будет. Врассмотрение придется включить силы давления, действующие и на боковую поверхность цилиндра.§ 1.3. Вращающаяся система координат ицентробежная силаПусть неподвижная система координат OXY Z и подвижная Oxyzтаковы, что Z = z, и Oxyz вращается вокруг оси OZ в положительном направлении с угловой скоростью ω.

Рассмотрим произвольнуюточку w = x + iy в плоскости Oxy. Ей будет соответствовать точкаW = X + iY в плоскости OXY , так что W = (cos ωt + i sin ωt)w = eiωt w.Второй закон Ньютона запишется так:ẌẄẄF~ = m~a = m  Ÿ  = m=m.(3)z̈Z̈Z̈Один и тот же вектор силы в каждой из двух систем координат можно представить как F~ = {FX , FY , FZ } = {FW , FZ } и8f~ = {fx , fy , fz } = {fw , fz }, где FZ = fz .Тогда, FW = eiωt fw , и (3)примет вид iωte fw = mẄfz= mz̈ .Поскольку W = eiωt w, то Ẅ = (ẅ + 2iω ẇ − ω 2 w)eiωt , следовательно,2ẅ−ωw+2iωẇf~ = m,z̈откуда окончательно получаем ẍwẇ2m  ÿ  = f~ + mω− 2imω.00z̈(4)Второе слагаемое в правой части (4) представляет центробежную силу.§ 1.4.

Сила КориолисаРаспишем третье слагаемое:−2imωẇ0ẋẏ= −2imω  ẏ  = 2mω  −ẋ  .00Последнее представим в виде векторного произведения   ẋ02m ẏ×0 ,żωкоторое и являет собой силу Кориолиса.§ 1.5. Уравнение движения. ПримитивнаясистемаПопробуем представить, как будет выглядеть основанное на второмзаконе Ньютона уравнение движения некоторой частицы вещества в ат~ — скорость частицы, то левая часть уравмосфере. Если m — масса, V~˙ . А какова будет его правая часть? Во–первых,нения примет вид mV9в нее войдет вес (сила тяготения и центробежная сила), во–вторых, сила Кориолиса, в–третьих, сила давления, наконец, сила сопротивлениявязкой среды, различные электромагнитные силы и т.

д. В частности,учитывать электромагнитные силы необходимо при изучении моделейверхних слоев атмосферы. Сейчас ограничимся моделью для тропосферы выше 1 км и стратосферы, причем, это будет невязкая модель безучета сил трения. Вес, кориолисова сила и сила давления соответствен−−→~ ×~ω ], −U−но запишутся как −mg~n, 2m[Vgrad p, где ~n — единичный вектор,направленный против силы тяжести, ~ω — угловая скорость Земли, p —атмосферное давление, U — объем рассматриваемой частицы.

С учетомсказанного получаем уравнение движения−−→˙~ × ~ω ] − 1 −V~ = −g~n + 2[Vgrad p .ρ(5)Модель (5) пригодна для построения краткосрочного прогноза (до трехсуток включительно).Следует сделать некоторые замечания относительно выбора неподвижной системы координат. Можно рассматривать инерциальные системы отсчета — такие, для которых выполняются первый и второй законы Ньютона и которые движутся друг относительно друга равномернопрямолинейно.

Если в качестве начала отсчета выбрать центр Солнца,а оси ориентировать по достаточно удаленным (мало прецессирующим)звездам, то полученная система координат будет инерциальной. Ее можно считать неподвижной“ системой координат.”Фактически, уравнение (5) является следствием закона сохраненияимпульса. Воспользовавшись законом сохранения массы, придем к уравнению неразрывности; на основе закона сохранения энергии с привлечением некоторых эмпирических соотношений получим уравнение притокатепла; уравнение притока влаги получается из того же закона сохранения массы, но уже применительно к воде земной атмосферы. Наконец,есть уравнение состояния (1), которое можно исследовать с поправкамина учет влажности.

Итак, расписав векторное уравнение (5) по трем компонентам, получим семь скалярных уравнений против семи скалярных~ , ρ, T , p и плюс к тому переменная, каким–то образомнеизвестных (Vхарактеризующая влажность). Эта система носит название примитивной.Предпринимались попытки решить подобную систему уравненийвручную (Великобритания, 1920–е).

Решение, найденное в результате10длительного кропотливого труда многих вычислителей, никак не моглобыть признано удовлетворительным. Расхождение, как позже выяснилось, было следствием вычислительной неустойчивости задачи.§ 1.6. Локальные модели. ИсходныепредпосылкиПусть начало системы координат лежит на поверхности планеты, аорты выбраны следующим образом: ~n — ранее упоминавшийся вектор,действующий в направлении противоположном весу, ~τ2 направлен по меридиану на север, ~τ1 — по параллели.

Тройка ~τ1 , ~τ2 , ~n ориентированаположительно. Поскольку вектор ~ω лежит в координатной плоскости,справедливо ~ω = (ω cos θ)~τ2 + (ω sin θ)~n, где θ — угол от ~ω к ~τ2 , ω = |~ω |.Обозначим l = 2ω sin θ (параметр Кориолиса) и bl = 2ω cos θ.Распишем входящие в уравнение (5) векторные величины по компонентам в полученной системе координат:~ = u~τ1 + v~τ2 + w~n ,V−−−→ ∂p∂p∂p~τ1 + ~τ2 + ~n ,grad p =∂x∂y∂z~ × ~ω ] = (lv − b2[Vlw)~τ1 + (−lu)~τ2 + (blu)~n .~˙ будем рассматривать в той же жестко связанной с планетойУскорение Vсистеме координат:~˙ = u̇~τ1 + v̇~τ2 + ẇ~n .VВ итоге из (5) получаем систему в координатной записи1 ∂pu̇ =lv − blw −ρ ∂x1 ∂pv̇ =−lu−ρ ∂y1 ∂pb ẇ = − g +lu−.ρ ∂z(6)В дальнейшем будем придерживаться допущений о том, что либоg, l, bl постоянны (первая локальная модель), либо g = const, l = l(y),β(y) = l′ (y) — параметр Россби (вторая локальная модель).11§ 1.7.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций