Э.Р. Розендорн - Математические вопросы метеорологии (1162185), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для построения долгосрочного прогноза в это уравнение необходимо внести некоторые уточнения:−−−−→−−→ ~˙~ × ~ω ] − 1 −V~ = −grad W + 2[Vgrad p + N.ρ(1)Здесь первое слагаемое — все тот же, но по–другому записанный, вес(сумма двух потенциальных сил: тяготения и центробежной), а последнее — та часть ускорения частицы вещества, которая определяется действием силы вязкости.56Баротропность и бароклинность~ = ~0 при V~ = ~0 .
В жидкостях, вИз эксперимента известно, что N~ = ~0 имеемотличие от твердых тел, трения покоя нет. При V−−−→ 1 −−−→~˙ = −−Vgrad W − grad p .ρВозьмем ротор от обеих частей этого уравнения. Для этого обозначим~ = rot V~ и учтем, что для достаточно гладких f и F~ справедливы таΩ−−−→−−−→кие свойства ротора как rot grad f = ~0 и rot(f F~ ) = [grad f × F~ ] + f rot F~ .Тогда получимh −−→ −−−→i~˙ = 1 −Ωgrad ρ × grad p .ρ2−−−→ −−−→Если grad ρ k grad p , то среда называется баротропной. В этом слу−−−→ −−−→ −−−−→чае согласно уравнению состояния (I.1) grad ρ k grad p k grad T .
Если−−−→ −−−→grad ρ ∦ grad p , то среда называется бароклинной. Причиной тому можетбыть, например, ее неравномерное нагревание. В этом случае имеет место вращательное движение в жидкой или газообразной среде, поскольку~˙ 6= ~0 .Ω57Глава 1Криволинейные ортогональныекоординаты§ 1.1. Коэффициенты ЛамеПусть O — начало координат, а X — текущая точка пространства,−→~ =−~ = X(u,~тогда радиус–вектор XOX . Считаем, чтоZ Xv, w) , u = u(t) ,~ ′ | dt .
Дифференциалv = v(t) , w = w(t) на траектории AB , и s =|Xt2 ′′ ~′~~дуги ds = |Xt | dt = Xt , Xt dt2 .AB23X~′ = X~ ′ du + X~ ′ dv + X~ ′ dw , то для ds2 =gij dui duj полуТак как Xtuvwdtdtdti,j=1′′~~чим gij = Xui , Xuj при (u1 , u2 , u3) = (u, v, w) .В случаеX ортогональной системы координат дифференциал дуги примет видgii du2i . Тогда gii = Hi2 > 0 , иi~ ′ = Hi~τi ,Xuiгде Hi — коэффициенты Ламе, а ~τi — единичные орты.58(2)§ 1.2.
Вспомогательные сведения издифференциальной геометрииПусть поверхность задана в виде z = (x, y) , где x , y — координаты вкасательной плоскости к этой поверхности в данной точке, z — по нормали. Из–за такого выбора системы координат тейлоровское разложениефункции в окрестности данной точки будет начинаться со 2–й степени.Слагаемые 2–й степени образуют так называемый соприкасающийся параболоид.
Согласно характеристике точек C 2 –гладкой поверхности, еслисоприкасающийся параболоид является плоскостью или параболоидомвращения, данная точка называется омбилической; если соприкасающийся параболоид является эллиптическим параболоидом, данная точканазывается эллиптической; если соприкасающийся параболоид являетсяпараболическим цилиндром, данная точка называется параболической;наконец, если соприкасающийся параболоид является гиперболическимпараболоидом, данная точка называется гиперболической.
Заметим, если все точки поверхности являются омбилическими, то это сфера илиплоскость. Имеет местоТеорема 4. (Дюпен) Пусть дана поверхность в криволинейной ортогональной системе координат. Тогда координатные поверхности пересекаются по линиям кривизны.Рассмотрим некоторые следствия теоремы Дюпена.1. Допустим, что на поверхности введена сеть из двух семействвзаимно–ортогональных линий. Будем считать их координатными линиями. Продолжение полученной ортогональной системы в пространствоневозможно по теореме Дюпена.2. С плоскости и со сферы такое продолжение возможно.§ 1.3. ГрадиентРассмотрим функцию f = f (X) , где текущая точка пространства−−−→X = X(u1, u2 , u3 ) . Вычислим grad f в локальной декартовой системе координат с началом в точке X и ортами ~τj :−−−→∂f∂f∂fgrad f =~τ1 +~τ2 +~τ3 .∂x1∂x2∂x359∂f∂fОбозначим через sj длину дуги по направлению ~τj , тогда=.∂xj∂sjXXКроме того ds2 =Hj2 du2j =ds2j , и dsj = Hj duj .
ПоэтомуjjX dfX ∂f−−−→ X ∂fgrad f =~τj =~τj =hj~τj ,∂sjHj duj∂ujjjjгде hj =(3)1.Hj§ 1.4. Скорость движенияСчитаем, что uj = uj (t) — криволинейные координаты движущейсяточки, t — время. Тогда скоростьX ∂X~ duj~ =~ = dX.Vdt∂uj dtjС помощью (2) получимV~ =XHj ~τj u̇j =jXvj ~τj ,jгде vj = Hj u̇j .§ 1.5. Деривационные формулыИмеет место следующее разложениеX∂~τi=ηijk ~τk .∂ujkКоэффициенты ηijk образуют трехмерную матрицу размера 3 × 3 × 3 .∂Hi∂HiОбозначим hij == hj.∂sj∂uj60Теорема 5. Все ηijk выражаются через коэффициенты Ламе и ихчастные производные 1–го порядка:η112 = −h12 , η113 = −h13 , η122 = h21 , η133 = h31 ,η211 = h12 , η221 = −h21 , η223 = −h23 , η233 = h32 ,η311 = h13 , η323 = h23 , η331 = −h31 , η332 = −h32 ,остальные — нулевые.§ 1.6.
Ускорение~dV, тогдаdt!33 XXdvj ~τj =v̇j ~τj + vj ~τj .dtj=1j=1Определим полную производную ~a =~a =3Xaj ~τj =j=1ddtСогласно деривационным формулам333Xd∂~τi duj X X~τi ==ηijk ~τkdt∂udtjj=1j=1k=1!u̇j ,следовательно~a =3Xv̇k ~τk +3Xvi τ~˙i =i=1k=1=3Xk=1или покомпонентно3Xv̇k ~τk +i=1k=1v̇k ~τk +3X~τk3X3Xhj vj ηijk ~τkj=1 k=1hj ηijk vi vji,j=1k=1ak = v̇k +33 X3XXhj ηijk vi vj .!!vi =,(4)i,j=1Второе слагаемое здесь представляет собой несимметризованную квадратичную форму.61§ 1.7. Запись силы и ускорения КориолисаАналогично § I.2.6 введем на сфере репер ~τ1 , ~τ2 , ~τ3 , так что ~τ3 = ~n —нормаль к эквипотенциальной поверхности поля силы тяжести.
Пустьθ — угол между векторами ~ω и ~n, а l = 2ω3 = 2|~ω| cos θ — параметр Кориолиса. Тогда~ × ~ω ] = (lv2 − 2ω2 v3 )~τ1 + (2ω1 v3 − lv1 )~τ2 + (2ω2 v1 − 2ω1 v2 )~n .2[VpПри |v3 | ≪ v12 + v22 можно считать~ × ~ω ] ≈ lv2~τ1 − lv1~τ2 + (2ω2 v1 − 2ω1 v2 )~n .2[VС учетом (3) и (4) проекции (1) на ~τ1 и ~τ2 примут видv̇k = −3X1 ∂phj ηijk vi vj + (−1)3−k lv3−k − hk+ Nk ,ρ∂uki,j=162k = 1, 2 .(5)Глава 2Вязкость и турбулентность§ 2.1.
Молекулярная вязкостьИзвестен следующий экспериментальный факт: на твердой стенке“”~ = ~0. Происходитнаблюдается явление прилипания, т. е. Vобмен импульсом между силами, подгоняющими медленный слой вещества, и си~ = V~ (z), гделами, тормозящими быстрый слой. Если считать, что Vкоордината z характеризует высоту слоя, то справедлива простая зависимость∂ V~.F~vis = ηS∂zЗдесь S — площадь рассматриваемого участка твердой стенки“, а η —”некий коэффициент. Разность между верхним и нижним слоем"#~∂VF~top − F~btm = δ ηS.∂zРасполагающееся в левой части равенства приращение силы вязкостиможно проинтерпретировать иначе, воспользовавшись массой и разницей слоев δz ,#"~~ = δ ηS ∂ V .(S δz ρ)N∂zРазделим обе части на выражение в скобках и перейдем к пределуδz → 0.
В случае когда вектор скорости V~ перпендикулярен оси z,63получим~ = ∂N∂z∂ V~ν∂z!,(6)η— кинематическая вязкость. Параметр η носит названиеρдинамической вязкости. Для неподвижной системы координат при отсутствии силы Кориолиса часто применяется аналог уравнения (1) вида~−−−−→ −−−→1dV~~.ρ= −ρ grad W − grad p + η∆V + ζ + η grad div Vdt3где ν =Здесь ζ — так называемая вторая вязкость, а η считается постояннойвеличиной (хотя в некоторых случаях это не так). В метеорологическихзадачах используется!~∂∂V~ =~.Nν1+ ν2 ∆V∂z∂zНа искривленной поверхности ∆ действует как оператор Бельтрами —Лапласа.§ 2.2. Размерности.
Число Рейнольдса~~ ] = см/сек, [ ∂ V ] = 1/сек,Известны размерности [z] = см, [S] = см2 , [V∂z32~[ρ] = г/см , [F ] = г·см/сек . Поэтому [η] = г/(см·сек) и [ν] = см2 /cек. Втабл. 1 представлены величины вязкостей для некоторых веществ.ртутьводаспиртглицеринвоздухη, г/(см·сек)0,01560,0100,0188,50,00018ν, см2 /cек0,00120,00100,0226,80,15Табл. 1Допустим, что задан характерный масштаб длины [L] = см и скоростиLu[u] = см/сек. Тогда безразмерная величинаносит название числаνРейнольдса и обозначается Re.64§ 2.3. Скорость диссипации энергии~ = {u, 0, 0} и η = 0, тогда получимРассмотрим частный случай Vуравнение схожее с первым уравнением (I.6), а именноρ∂pdu=− .dt∂x(7)Если теперь η = const 6= 0 и u(0) = u(H) = 0 для z ∈ [0, H] (горизонтальное движение между двух твердых стенок“), то”du∂p∂2pρ=−+η 2 .(8)dt∂x∂zДопустим также, что среда несжимаема, т.
е. ρ = const. Кинетическая1энергия для единицы объема E = ρu2 . Далее по (7) имеем2dEdu∂p= ρu= −u ,dtdt∂xи следовательноδE ≈dEdtδt = −∂p∂p(uδt) = − δx ≈ −δp .∂x∂xПусть энергия, равная работе сил давления, перешла в тепловую форму (произошла диссипация энергии). Значит δE = 0 . Из (8) следуетdu∂p∂2puρδt = −δt u+ uη 2 δt .dt∂x∂zПроинтегрируем это равенство по параллелепипеду, разделим на объемH и на δt . Согласно предыдущим заключениям получим1H δtZH1δE dz =H δt0ZHη(−δp) dz +H δt0ZH0А так как δE = 0, то1HZHηδp dz =H0ZH065u∂2uδt dz .∂z 2u∂2uδt dz .∂z 2Проинтегрировав по частям,u(0) = u(H) = 0, получим1HZH 0δp−δtблагодаряηdz =HZH 0∂u∂zусловию2прилипанияdz .(9) ∂p −−−→Если u = u(z), то можно считать, что = grad u . Согласно (9) по∂zлучим, что для единицы объема−−−→2Diss = ηgrad u,а для единицы массы за единицу времени−−−→2Diss=νgrad u.E=ρ§ 2.4.
Закон Колмогорова — ОбуховаδE. Пусть λ — линейный масштаб, vλ —ρ δtперепад скоростей за счет вихря. Найдем такую комбинацию величин λ и vλ , которая имела бы ту же размерность, что и[E] = (г/см3 )·(см2 /сек2 )·(см3 /г)·(1/сек) = см2 /сек3 . Отсюда следует(см/сек)α · смβ = см2 /сек3 , а затем α + β = 2, −α = −3, поэтому α = 3,β = −1 . Тогдаvλ3 λ−1 = CE,Таким образом E =где C — безразмерный коэффициент, постоянный для данного потока.Пусть C = c3 , тогда закон Колмогорова — Обухова (1941) запишетсятак:vλ = c(λE)1/3 .(10)§ 2.5.
Внешний и внутренний масштабытурбулентностиЕсли величина числа Рейнольдса превышает некоторое Recr , наблюдается турбулентность. Пусть Recr = 100. Тогда в случае каменистой66поверхности для турбулентности достаточно относительно небольшогоLuсреднего размера камней, поскольку Re =, где L — типичный разνмер камней, u — скорость ветра, ν = 0,15.Пусть l — размер самых крупных вихрей, λ0 — размер самых мелкихвихрей, λ — некий промежуточный размер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
