Э.Р. Розендорн - Математические вопросы метеорологии (1162185), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Гидростатическое и квазистатическоеприближениеДля упрощения модели (6) используют гидростатическое и квазистатическое приближения. В гидростатическом приближении пренебрегают малыми в некоторых ситуациях величинами ẇ и blu в третьем уравнении системы (6) — оно тем самым превращается в уравнение (2). Вквазистатическом приближении отбрасывают не только ẇ и blu, но иblw, в результате чего (6) преобразуется в1 ∂pu̇ = −+ lvρ ∂x1 ∂p(7)v̇ = −− luρ∂y ∂p =−ρg .∂zСтоит отметить, что эта модель мало подходит для экваториальных территорий, где величина bl максимальна.§ 1.8. Геострофический ветерДопустим, что в некоторой точке выполнено u̇ = v̇ = 0.

Тогда из (7)следует система1 ∂p 0 = −+ lvρ ∂x1 ∂p 0 = −− lu ,ρ ∂y~g = ug ~τ1 + vg ~τ2 , гдерешение которой дает векторное поле Vug = −1 ∂p,ρl ∂yvg =1 ∂p.ρl ∂x(8)Это так называемый геострофический ветер. На высоте он почти совпадает с реальным ветром.12Глава 2Двумерная (одноуровневая)геострофическая схема прогноза§ 2.1. Специальная замена переменныхРассмотрим функцию f = f (X), где через X обозначена точка(x, y, z, t).

Пусть z = z(ζ), и z строго монотонна по ζ. Можно записать,что z = h(x, y; ζ; t) и f (X) = fb x, y, h(x, y; ζ; t), t . В качестве новой системы независимых переменных возьмем x, y, ζ, t. Выразим производные fпо старым переменным через производные по новым. Дифференцирование в новых переменных будем обозначать как (...)′x , а в старых — как∂f ′∂(...). Тогда fbζ′ =hζ , а поскольку из–за монотонности справедливо∂x∂zh′ζ 6= 0, тоfbζ′∂f= ′ .(9)∂zhζfζ′dfОтсюда= ′ как для функции от параметра.

Затем,dzhζ∂f ′∂f ′∂f ′∂f ′∂f∂f ′xx +yx +hx +tx =+h ,fbx′ =∂x∂y∂z∂t∂x ∂z xоткуда с учетом (9) получаемfb′∂f′′ ζbfx =+ hx ′ ,∂xhζ13и в итогеh′∂f= fbx′ − x′ fbζ′ .∂xhζ(10)∂f∂fи. Заметим, что поверхности уровня∂y∂zζ = const уже не будут плоскостями в общем случае.Аналогично поступаем для§ 2.2. Единицы измерения давления.ζ – координатыВ системе СГС единицей измерения силы является дина = г · см / с 2 ,а в СИ — ньютон, Н = кг · м / с 2 . По–разному определяются и единицы давления: Бар I = дина / см 2 , Па = Н / м 2 = 10 Бар I . Существуюттакже технические единицы: кГ = 9,81 Н, атмосфера = кГ / см 2 . В метеорологии часто используется значение 1013 гПа ≈ 760 мм ртутногостолба — типичное атмосферное давление на уровне моря в хорошуюпогоду.

Поэтому вводится p0 = 1000 гПа.Будем рассматривать безразмерную величину, характеризующуюдавлениеp.ζ=p0Единичная масса, поднятая на высоту z, обладет потенциальной энергиейZzΦ = g dz = Φ(x, y; ζ; t) ,0называемой геопотенциалом. В частности, при g = const (т. е.

в рамкахрассматриваемой первой локальной модели) получим Φ = gh(x, y; ζ; t).§ 2.3. Преобразование уравнения состоянияи гидростатической формулыИз (1), (2) и определения ζ следуетgp0 ζ∂p= −ρg = −,∂zRT14с другой стороны, в силу (9) получаем, что приp′ζg(p0 ζ)′ζgp0∂p= ′ ==.∂zhζgh′ζΦ′ζОбъединяя, имеемζΦ′ζ + RT = 0 .(11)§ 2.4.

Преобразование уравнения движенияВ первых двух уравнениях1 ∂p u̇ = −+ lvρ ∂x1 ∂p v̇ = −− luρ ∂y(12)системы (7) перейдем к ζ – координатам: возьмем проекцию траектории движения частицы на плоскость переменных x, y, в результате чегоu, v, u̇, v̇ останутся прежними. Преобразуем1 (p0 ζ)′ζp01 ∂p=−=− ′ ,ρ=−′g ∂zg hζΦζи с помощью (10)∂ph′xΦ′x′′= (p0 ζ)x − ′ (p0 ζ)ζ = − ′ p0 .∂xhζΦζДействуя для∂pаналогично, получим∂y1 ∂p= Φ′x ,ρ ∂x1 ∂p= Φ′y ,ρ ∂yна основе чего (12) примет видu̇ = lv − Φ′xv̇ = −lu − Φ′y .15(13)(14)§ 2.5. Условная вертикальная скорость1 dpУсловной вертикальной скоростью будем называть ζ̇ =.

Такp0 dtкак∂x∂y∂ζdw = ż = h(x, y; ζ; t) = h′x+ h′y+ h′ζ+ h′t ,dt∂t∂t∂tто по (11) будетgw =откуда находимζ̇ =uΦ′x+vΦ′y RT + ζ̇ −+ Φ′t ,ζζΦ′t + (uΦ′x + vΦ′y ) − gw .RT(15)§ 2.6. Уравнение вихря скоростиПерепишем систему (14) в виде ′ut + uu′x + vu′y + ζ̇u′ζ − lv + Φ′x = 0vt′ + uvx′ + vvy′ + ζ̇vζ′ + lu + Φ′y = 0 .Теперь продифференцируем уравнения по y и x соответственно, а затем вычтем первое из второго. В обозначениях D = u′x + vy′ , Ω = vx′ − u′yполученное станет такимΩ′t + u′x Ω + vy′ Ω + uΩ′x + vΩ′y + ζ̇Ω′ζ + ζ̇x′ vζ′ − ζ̇y′ u′ζ + lD = 0 .Здесь использована перестановочность вторых производных функций u,v, Φ, а также то, что, напомним, l = const в условиях первой локальноймодели.

Наконец, свернув при помощи дополнительного обозначенияΩa = Ω + l, получим уравнение вихря скорости ′dΩaζ̇x ζ̇y′+ Ωa D + det= 0.(16)u′ζ vζ′dt16§ 2.7. Сеточная задача ДирихлеПостановка задачи Дирихле такова: дана область Σ и некотораяфункция z(x, y), которая удовлетворяет заданному уравнению в этойобласти, а на границе Γ = ∂Σ совпадает с функцией f (s), где s — параметр кривой Γ. Рассмотрим более конкретный случай, когда областьпредставляет собой квадрат со сторонами, параллельными осям координат, а уравнение∂2f∂2f+= F (x, y) .∂x2∂y 2Выберем шаг h (можно, впрочем, сделать его неодинаковым по двумосям) и построим сетку (m, n) : m, n = 0, N .

Тогда получим разностный аналог уравнения1(zm+1,n − 2zm,n + zm−1,n + zm,n+1 − 2zm,n + zm,n−1 ) = Fm,n ,h2с краевым условием12zm,0 = fm, zm,N = fm, z0,n = fn3 , zN,n = fn4 .Теперь можно применять один из итерационных методов решения этойзадачи.§ 2.8. Приближенное уравнение длятенденции геопотенциалаОбозначим q = Φ′t — тенденцию геопотенциала.

Применяя (13) кгеострофическому ветру (8), имеем1ug = − Φ′y ,l1vg = Φ′x .l(17)По аналогии с ранее введенными обозначениями Ωg = (vg )′x − (ug )′y иDg = (ug )′x + (vg )′y . В силу (17) справедливоΩg =а также 11 ′′Φxx + Φ′′yy = ∆Φ,llDg =1−Φ′′yx + Φ′′xy = 0,l17поскольку рассматриваемые функции заранее считаются гладкими. Перепишем теперь уравнение вихря скорости (16) применительно к геострофическому ветру, пренебрегая величинами D и ζ̇. Получим(Ωg )′t + ug (Ωg )′x + vg (Ωg )′y = 0 ,или′′1 11 11∆Φ′t + − Φ′y∆Φ x + Φ′y∆Φ x = 0 .lllllБолее компактно∆q = FΦ ,где обозначено1FΦ = detl(∆Φ)′x (∆Φ)′yΦ′xΦ′y(18).§ 2.9.

Схема прогнозаРассмотрим точку на поверхности Земли и некоторую ее окрестность.Введем на ней прямоугольную сетку с шагом h и выделим как ее частьквадрат Σ, Γ = ∂Σ.1. Пусть в момент t = t0 сделаны метеонаблюдения. Зафиксируемуровень ζ = ζ1 (например, 0,5 , что соответствует 500 гПа).2. По наблюдениям определим Φ(x, y; ζ1 ; t0 ) для, вообще говоря, всехx и y из окрестности выбранной точки.3.

С помощью разностных отношений вычислим значения производных (Φ′x и др.) в узлах сетки — так, фактически, узнаемFΦ (xm , yn ; ζ1; t0 ).4. Назначим искусственное граничное условие q = 0 и решим уравΓнение (18).по времени используем аппроксимацию геопотенциала 5. Для шагаΦ≈ Φ + q ∆t , tk+1 = tk + ∆t , k = 0, 1, . . . . Так выясним знаtk +∆ttktkчение Φ при ζ = ζ1 , t = t0 , t1 , . .

. для области Σ .116. Считаем, что u ≈ ug = − Φ′y , v ≈ vg = Φ′x .ll7. Приближенно построив траектории движения воздушных частиц,будем знать эволюцию атмосферного давления (Φ) и ветра (u, v), а такжеперемещение облачных скоплений.18Глава 3Атмосферные фронты.Циклоны и антициклоныумеренных широт. Обсуждениесхемы прогноза§ 3.1. Теплый фронтТеплый воздух движется на наблюдателя и поднимается над холодным, в результате чего холодный воздух оттесняется назад. Наблюдатель вначале видит перистые облака, которые затем сменяются перисто–слоистыми, высокослоистыми и, наконец, слоисто–дождевыми.

Такаякартина длится в среднем 0,5 суток. Протяженность облачной системы — 600–800 км, ее верхняя часть может достигать верхней тропосферы. Повышение температуры составляет 10–15 градусов.§ 3.2. Холодный фронтЗдесь наоборот, наблюдается отход теплого воздуха. Но длительность этого процесса может быть разной. Медленный холодный фронтво многом противоположен теплому фронту: холодный воздух вытесняет теплый воздух вверх и сдвигает его. Такой фронт, однако, перистойоблачностью не заканчивается.19Быстрый холодный фронт характеризуется непрямолинейным разделом двух сред. Движущийся с большой скоростью холодный воздух выталкивает теплый воздух на большую высоту, способствуя образованиюгрозовых облаков летом. Зимние же грозы имеют место только благодаря быстрым холодным фронтам.

Продолжительность грозовой фазыбыстрого холодного фронта составляет 0,5–1 час.§ 3.3. Другие виды атмосферных фронтовВозможна ситуация, когда, к примеру, два фронта — теплый, а затемхолодный — движутся в одном и том же направлении и догоняют другдруга. В результате теплый воздух вытесняется вверх, оказываясь зажатым холодным воздухом с обеих сторон. Это так называемая окклюзия,комбинированное явление, иногда весьма длительное.§ 3.4. Циклоны и антициклоныВ северном полушарии геострофический ветер огибает антициклоны(области высокого давления) по часовой стрелке, а циклоны — наоборот, поскольку в силу (8) он ортогонален градиенту давления. Областьнаиболее низкого давления, центр циклона умеренных широт находитсявблизи окклюзии. Радиус такого образования около 1 тыс.

км.§ 3.5. Обсуждение геострофическогоприближенияВ решении задачи Дирихле (18) были сделаны следующие допущения: 1) молекулярное строение вещества не учитывается; 2) локальнаямодель; 3) гидростатическое приближение; 4) приближение с помощьюгеострофического ветра; 5) приближение производных; 6) смешаные производные не совпадают в случае атмосферных фронтов; 7) атмосферныефронты не учитываются; 8) искусственное граничное условие на q .

Кроме того, (18) — эллиптическое уравнение, поэтому изменение граничного условия влечет изменение решения во всей области. Несмотря на этиогрубления, верное решение получить можно. Для одноуровневой схемы20прогноза оптимальный шаг h = 300 км, ∆t = 1 час. При этом прогнозудовлетворительно работает на 0,5 суток для скорости ветра около 1200км в сутки.21Глава 4Перенос тепла при движениисухого воздуха§ 4.1.

Первый закон термодинамикиРассмотрим условную тепловую машину с веществом массы m = 1 иудельной внутренней энергии U в цилиндре. Пусть извне за время ∆tпоступает количество теплоты ∆Q, в результате чего поршень совершаетработу A , противодействуя давлению p . Следовательно A = Sp l, гдеS — площадь поршня, l — перемещение. Но иначе Sl = ∆U , где U —удельный объем вещества, значит A = p∆U .

Характеристики

Список файлов лекций