Э.Р. Розендорн - Математические вопросы метеорологии (1162185), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Благодаря уравнению неразрывности в ζ–координатах это означает,~ } = 0, а следовательно ичто Dσ {V=r02u′λ + (v cos ξ)′ξ = 0.Это, в свою очередь, значит, что дифференциальная форма−u dξ + v cos ξ dλ является полным дифференциалом dψ. Здесь ψ —89функция тока, иψξ′ = −u,ψλ′ = v cos ξ.§ 7.2. Система уравнений для ψ, ϕСделаем следующее преобразование: второе уравнение (25) продифференцируем по λ и вычтем из него первое, домноженное на cos ξ и продифференцированное по ξ.
Получим(∇2 ψ)′t + α(∇2 ψ)′λ + 2ω1 ψλ′ = 0,(26)где оператор Лапласа на сфере∇2 ψ =11′′ψλλ+(ψ ′ cos ξ)′ξ ,2cos ξcos ξ ξтак какvλ′−(u cos ξ)′ξ=ψλ′cos ξ′+ (ψξ′ cos ξ)′ξ = (cos ξ)∇2 ψ.λЗатем в первом уравнении (25) перейдем к функции тока′′′′(ψξt+ αψξλ) cos ξ + 2ω1 ψλ′ sin ξ = ϕ′λ cos ξ.(27)Система (25) распалась: уравнение (26) теперь не содержит неизвестнойфункции ϕ. Правда, это уравнение третьего порядка.§ 7.3. Частное решение для функции токаБудем искать функцию ψ в виде ψ(λ, ξ, t) = z(ξ) exp (im(λ − βt)), гдеβ = const. Тогдаψξ′ = zξ′ exp (im(λ − βt)) ,ψλ′ = imz exp (im(λ − βt)) ,′′ψλλ= −m2 ψ,′m2 ψ1′+zexp(im(λ−βt))cosξ=ξξcos2 ξ cos ξ1m2 z′′= exp (im(λ − βt))(z cos ξ)ξ −.cos ξ ξcos2 ξ∇2 ψ = −90В итоге (26) примет видm2 z1′′im exp(im(λ − βt)) (−β + α)(z cos ξ)ξ −+ 2ω1 z = 0.cos ξ ξcos2 ξ(28)Считая, что β < α, обозначим2ω1= n(n + 1).α−βТогда из (28) следует′1m2 z′z cos ξ ξ + n(n + 1) −z = 0.cos ξ ξcos2 ξСогласно (21) этому уравнению удовлетворяет присоединенная функцияЛежандра z = Pnm (sin ξ).
Другими словами, существует решениеψ = Pnm (sin ξ) exp (im(λ − βn t)),где формула Гаурвицаβn = α −2(ω + α).n(n + 1)§ 7.4. Частное решение для ϕАналогично,будемискатьϕвспециальномвидеϕ = z̃(µ) exp(im(λ − βn t)), где µ = sin ξ.Подставим найденное решение ψ в левую часть (27), а в правую —функцию ϕ.
Получим(1 − µ2 )(Pnm (µ))′µ (im)(−βn + α) + 2ω1 (imµ)Pnm (µ) exp (im(λ − βn t)) == exp (im(λ − βn t)) z̃(µ).ПустьHnm (µ) = µPnm (µ) +1 − µ2(P m (µ))′µ .n(n + 1) nСледовательноz̃(µ) = 2ω1 Hnm ,91иϕ = 2ω1 Hnm (sin ξ) exp (im(λ − βn t)).Для вычисления (Pnm )′µ можно воспользоваться формулой (22), полагая,что Pnm ≡ 0 при m > n.Например,p1H31 (µ) = (45µ2 − 1)µ 1 − µ2 ,8или45112H3 (sin ξ) =sin ξ −sin ξ cos ξ.845§ 7.5. Планетарные волныИтак, после разделения вещественных и мнимых частей, полученысерии решенийIψmn= Pnm (sin ξ) cos m(λ − βn t),ϕImn = 2(ω + α)Hnm (sin ξ) cos m(λ − βn t),(29)IIψmn= Pnm (sin ξ) sin m(λ − βn t),mϕIImn = 2(ω + α)Hn (sin ξ) sin m(λ − βn t),поскольку ω1 = ω + α. По сути дела эти решения соответствуют волнам,движущимся вдоль параллели при m 6 n.
Это перемещение происходитсогласно формуле Гаурвица.§ 7.6. Разложение геопотенциала и схемапрогнозаСначала делается допущение, что Φ нечетен по ξ. Поэтому в разложении Φ в начальный момент времени по сферическим функциям будутприсутствовать только такие, у которых сумма индексов нечетна.
Например, по (22)1H11 = P21 ,6H31 =3·3 1 4·4 1P +P ,....4·7 4 3·7 292Зафиксировав при t = 0 геопотенциал в виде Φ = Φst + Hnm , затемвключим в рассмотрение решения (29) при t отличном от нуля. В частности, для среднего уровня ζ = 0, 5 по ним можно определить геопотенциал(а значит, давление) и ветер в определенный момент времени.§ 7.7.
Некоторые комментарииДанная схема не учитывает взаимодействие атмосферных явлений наразных высотах. Нечетность Φ означает, что вблизи экватора Φ = Φst —стационарный зональный поток. В качестве дальнейшего развития данного подхода, можно сразу иметь дело с разложениями по сферическимфункциям всех величин, входящих в примитивную систему.§ 7.8. Ультрадлинные волныСреди величин Hnm выделяют несколько групп. Так, при m = 5 волны фактически неустойчивые, быстро разрушающиеся после появления. Наиболее хорошо подчиняются линейной теории волны с m = n + 2,m = n + 4 при m > 5. Части с m ≪ n и m = n появляются в разложениях с малыми коэффициентами и вносят, в целом, незначительный вклад.Ультрадлинные волны (m = n + 2, m = n + 4 при m < 5) присутствуютпостоянно, но линейной теории не подчиняются.§ 7.9.
Блокирующие ситуацииЕсли βn = 0, тоα=и следовательно2(ω + α),n(n + 1)α2=.ωn(n + 1) − 2αВ частности, для n = 8 и m = 6 (хороший линейный случай) ≈ 2,8 %.ωСудя по табл. 3, это, в сущности, минимум для среднего уровня ζ = 0, 5.Значит, волна должна практически стоять на месте, так как угловая скорость минимальна. Такая блокировка имела место, когда каждая волна93была примерно по 60◦ вдоль всей параллели, и три крупных антициклонас центрами над Британскими островами, Восточно–Европейской равниной и Якутией в течение длительного срока не меняли своего положения.94Глава 8Верхняя атмосфера.
Проблемадолгосрочного прогнозаО долгосрочном прогнозеОсновная задача долгосрочного прогноза (2–3 недели и более) — выявить отклонения от нормы для усредненной по региону месячной (декадной) температуры и для осадков. О точном прогнозировании в данном случае говорить не приходится. Например, известно, что циклысолнечной активности оказывают влияние на тропосферу Земли. Понятно, что в целях получения более точного прогноза на длительный срок,неплохо было бы учитывать и данные о вспышках на Солнце. Другоедело, как спрогнозировать сами вспышки.ИоносфераТермосфера простирается от 85–90 км и приблизительно до 600 км.Весь этот слой входит в состав ионосферы, нижняя граница которойнаходится на высоте около 60 км днем и 80 км ночью.
Ионосфера характеризуется наличием свободных электронов, хотя и сам состав воздуха“”меняется с высотой: появляются группы OH и атомарный кислород O.Верхняя граница ионосферы составляет около 1000 км.95ПриложениеПрограмма первой части курса1. Центробежная сила и сила Кориолиса. Уравнение движения. Первая локальная модель. Гидростатическое приближение. Геострофический ветер.2. Изменение с высотой атмосферного давления. Геопотенциал.
Переход в уравнениях к ζ–координатам.3. Уравнение вихря скорости. Приближенное уравнение для тенденции геопотенциала. Двумерная геострофическая схема прогноза.4. Первый закон термодинамики. Удельные теплоемкости идеального газа. Потенциальная температура. Сухоадиабатический температурный градиент. Устойчивые и неустойчивые стратификации сухоговоздуха.5. Тепловая энергия атмосферы. Уравнение притока тепла.6.
Преобразование уравнения притока тепла в геострофическом приближении. Постановка граничных условий для трехмерной геострофической схемы прогноза.7. Уравнение неразрывности в ζ–координатах (без вывода). Уточненное уравнение для тенденции геопотенциала. Трехмерная геострофическая схема прогноза.8. Цикл Карно. КПД обратимой тепловой машины. Энтропия.9. Тепловая машина со сменяющимся рабочим веществом.
Энтальпия. Вычисление удельной энтальпии и удельной энтропии.10. Прогноз обложных осадков в трехмерной геострофической схеме.Влажноадиабатический температурный градиент. Влияние влажностина развитие тепловой конвекции.11. Бездивергентный средний уровень тропосферы. Функция тока.Уравнение баланса ветра и давления; исследование его типа. Модели96ветра в тропиках и у экватора.12. Связь геострофического приближения с уравнением баланса ветра и давления. Вторая локальная модель. Запись уравнения вихря сфункцией тока.
Двумерная соленоидальная схема прогноза.Программа второй части курса1. Сила давления в жидкости. Потенциал силы тяжести. Уравнениедвижения. Гидростатическое приближение. Геострофический ветер.2. Баротропность и бароклинность. Молекулярная вязкость. ЧислоРейнольдса. Турбулентность; диссипация энергии в турбулентном потоке.3.
Закон Колмогорова — Обухова. Внешний и внутренний масштаб турбулентности, турбулентная вязкость. Планетарный пограничный слой. Задача о повороте ветра в пограничном слое.4. Ортогональные криволинейные координаты, коэффициенты Ламе, формулировка теоремы Дюпена. Выражения для градиента и дляскорости. Деривационные формулы (без вывода), выражения для ускорения.5.
Уравнение состояния. Специальная замена переменных. Геопотенциал и его вычисление в σ–координатах.6. Преобразование уравнения движения к σ–координатам. Условнаявертикальная скорость.7. Запись дивергенции в ортогональных криволинейных координатах. Уравнение неразрывности и его запись в декартовых и в криволинейных координатах.8. Преобразование уравнения неразрывности к σ–координатам.9. Уравнение для приземного давления. Вычисление σ̇ и w.10. Энтропия; формула для ее вычисления (без вывода); уравнениепритока тепла. Примитивная система уравнений.11. Полиномы Лежандра, присоединенные и сферические функции.Теоремы о разложении по сферическим функциям (без доказательства).12. Упрощенная сферическая модель.
Частное решение — стационарный зональный поток. Индекс циркуляции. Линеаризация.13. Следствие из теоремы Ролля. Бездивергентный средний уровень.Функция тока. Вывод системы уравнений для среднего уровня в линеаризованной модели.9714. Частное решение для функции тока. Формула Гаурвица.15. Частное решение для геопотенциала. Планетарные волны. Схемапрогноза.98Список литературы[1] Бабаджанов П. Б.
Метеоры и их наблюдение. — М.: Наука, 1987.[2] Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. — М., Л.:Гостехиздат, 1952.[3] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы). — М.: Наука, 1968.⇔c Э. Р. Розендорн, 2004c George "epsgam" Epishin, конспект, 2003–200699.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
