Э.Р. Розендорн - Математические вопросы метеорологии (1162185), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тогдаll1∆Φ′x ∆Φ′y2,∆q + l D ≈ detΦ′xΦ′ylа с учетом (32) получим∆q −l2 ζ̇ζ′1≈ detl∆Φ′x ∆Φ′yΦ′xΦ′y.(33)По аналогии с l , Ω — удвоенная угловая скорость вращения воздушныхмасс. Например, для циклона типичные параметры такие: радиус около1 тыс км, скорость около 50 км/ч, угловая скорость около 51 об/сек.Величина |Ω| в стандартной ситуации приблизительно в 5 раз меньшевеличины |l| .§ 5.8.
Параметр Обухова1R(γa − γ)RT 2 . Среднее для выбранной местglности и сезона ее значение обозначим через m2 . При этом m имеет размерность длины и носит название параметра Обухова. Для умеренныхширот m ≈ 800 км. Из определения следуетРассмотрим величинуR(γa − γ)RT ≈ l2 m2 .g33(34)§ 5.9. Схема прогнозаИз (28)−ζqζ′ + ζfT {Φ} +Re,(γa − γ)Φ′ζ ζ̇ ≈ k Egдомножив на (−ζ) , при помощи (11) и (34) получимe.−ζ 2 qζ′ + l2 m2 ζ̇ = ζ 2fT {Φ} − ζk E(35)e ′ + F {Φ} ,m2 ∆q + (ζ 2 qζ′ )′ζ = k(−ζ E)ζ(36)Домножим уравнение (33) на m2 , а (35) продифференцируем по ζ исложим результаты:здесь F {Φ} объединяет все оставшиеся слагаемые.
Левая часть (36) задает уравнение в частных производных эллиптического типа с вырождением при ζ = 0 . Это уравнение — основа прогноза. Рассматриваемаяобласть пространства ограничена поверхностями ζ = 0 (верхняя граница), ζ = 1 (эквивалент подстилающей поверхности) и Γ — боковой поверхностью. Дополним задачу (36), (27), (31) граничным условием(37)q = 0 .Γ1. Пусть в момент t = t0 сделаны метеонаблюдения.2. По значению атмосферного давления p определим Φ ; T и влажность — из начальных данных.3. Найдем q , решив задачу (36),(31),(27),(37)при t = t0 .5. По q вычислим Φ≈ Φ + q ∆t , tk+1 = tk + ∆t .tk +∆ttktk1(11) вытекает= − ζqζ′ ,на основе чегоRζ ′ T≈ T −q ∆t , tk+1 = tk + ∆t .R ζ tktk +∆ttk7. Пересчитаем по этим данным правую часть (36) и f∗ .8.
Используя геострофическое приближение, построим траекториидвижения воздушных частиц в плоскости (x, y) . Затем с помощью приближения для ζ̇ получим законы T (t) и p(t) . По ним можно сказать,когда и где произойдет конденсация влаги и выпадение осадков.6.ИзTt′34В трехмерной схеме ∆x = ∆y = 250 км, ∆t ≈ 40 мин. Удовлетворительная работа прогноза — до 3 суток (Φ , T , ветер, качественная картина осадков). Схема также допускает и приблизительный учет испаренияс подстилающей поверхности.
Подобная схема прогноза использоваласьдля расчетов в 1960–х годах в московском гидрометеобюро.35Глава 6Учет влажности§ 6.1. Цикл КарноБудем рассматривать p , T , U как координаты в трехмерном пространстве. Пусть плотность ρ = ρ(p, T ) известна (например, из (1)), тогдаUρ(p, T ) = 1 .(38)Это уравнение задает некоторую поверхность в пространстве (p, T, U) .Допустим, что существует нагреватель, сообщающий рабочему веществу количество теплоты Q . Представим теперь, что температура нагревателя и температура вещества в цилиндре отличаются незначительно.В этом случае переход тепла будет тоже осуществляться. В предельном случае, когда температуры нагревателя и вещества одинаковы (илиразница температур не поддается физическому измерению), нагревательтакже будет сообщать веществу соответствующее количество теплоты.И рабочее вещество, в свою очередь, тоже будет передавать теплоту нагревателю (ввиду симметрии данного случая).
Обратимость как раз иозначает возможность введения работы извне с последующей передачейтеплоты от холодильника к нагревателю.Рассмотрим поведение температуры T в координатах (p, U) . В промежутке от точки O до точки A (см. рис. 2) температура соответствуеттемпературе нагревателя (изотерма T = T1 ), а в промежутке от точкиB до точки C — температуре холодильника (изотерма T = T2 ). Тогдаадиабаты AB и CO будут участками, когда температура соответственнопонижается и повышается. Пусть Q — то количество теплоты, которое36pOACBUРис. 2e — то, которое передается холодильнику.поступает от нагревателя, а Q§ 6.2. КПД тепловой машиныСогласно постулату Карно, тепловую энергию физического тела(или ее часть) нельзя превратить в механическую работу, не произведя при этом никаких изменений в других физических телах.eQ−Q.
КПД обратимойОпределим КПД тепловой машины как η =Qтепловой машины условимся обозначать η0 .Теорема 1. (Карно) При заданных T1 и T2 наибольший КПД имеетобратимая тепловая машина. Все обратимые тепловые машины имеют одинаковый КПД.Приведем схему доказательства. Предположим, что возможен случай,когда η > η0 . Рассмотрим две тепловые машины: обратимую и необратимую. Ту, у которой КПД больше, запустим в обратную сторону.Таким образом, в ней будет наблюдаться передача тепла от холодильника к нагревателю.37§ 6.3. Вычисление η0Рабочим веществом будем считать идеальный газ.
Тогда на каждойиз адиабат потенциальная температура θ = T ζ −k постоянна. Ноζ=RρTRTp==,p0p0p0 Uто естьθ=TRTp0 U−k,следовательно, величина T 1−k Uk (а вместе с ней и T Uκ−1 , поскольку1 − k = κ1 ) тоже постоянна на адиабате. Итак, для AB:T1 (U(A))k−1 = T2 (U(B))k−1 ,а для CO:откудаT1 (U(O))k−1 = T2 (U(C))k−1 ,U(C)U(O)k−1T1==T2U(B)U(A)k−1.(39)Рассмотрим теперь, например, изотерму OA . Произведенная работа:ZZART1p dU =AOA =dU = RT1 ln U .UOOAOAНа цикле Карно ∆U = 0 , а в силу (19) ∆Q = ∆U + A , работа, соответствующая OAU(A)RT1 ln= Q.(O)Аналогично получаем, что для изотермы BCRT2 lnU(B)e.=Q(C)Отсюда на основании (39) следуетk−1 k−1U(A)U(B)=,U(O)U(C)38pOδpACBδUUРис. 3иT2Q=.eT1QИтак,η0 =eA∆QQ−QT1 − T2===.QQQT1(40)§ 6.4.
Бесконечно малый цикл КарноЕсли цикл достаточно мал, его приближенно можно считать параллелограммом (см. рис. 3). В этом случае суммарная работаZZA=p dU −p dU = δp δU .OABBCOНо с другой стороны, по (40)A = η0 δQ =следовательноδTδQ ,TδTδQ = δp δU .T39(41)Примем T и U в качестве аргументов. Тогда p = p(T, U) , U = U(T, U) , иδp =∂pδT ,∂Tа на основании (19)δQ = δU +Zp dU ≈ δU + p δU =∂U+ p δU .∂UС учетом этого (41) перепишется в видеδT ∂U∂p+ p δU =δT δU ,T∂U∂Tоткуда вытекает∂U∂p=T−p∂U∂T(42)для U = U(U, T ) .§ 6.5. ЭнтропияТеорема 2. На поверхности (38) линейная дифференциальная формаdQявляется полным дифференциалом.TДоказательство. Согласно (19)dQ = dU + p dU .ПоэтомуdQ1=TT∂U∂U1 ∂U1 ∂UdT +dU + p dU =dT ++ p dU .∂T∂UT ∂TT ∂UdQФормабудет полным дифференциалом по переменным T и U, еслиTвыполнено равенство ∂1 ∂U∂1 ∂U=+p.∂U T ∂T∂T T ∂U40В правой части воспользуемся (42): 1∂p∂2p∂T=.∂T T∂T∂T 2В левой части∂∂U1 ∂UT ∂T1 ∂2U=.T ∂U∂TБудем считать, что функция U(U, T ) достаточно гладкая, и, поменявпорядок дифференцирования, на основе (42) получим1 ∂∂p∂2p1 ∂2U=T−p =.T ∂T ∂UT ∂T∂T∂T 2Другими словами, требуемое равенство выполняется.
Теорема доказана.Это утверждение позволяет ввести понятие удельной энтропииZdQS=,Tопределенной в данной случае с точностью до постоянной интегрирования. Под вторым законом термодинамики иногда понимается, что взамкнутых физических системах энтропия S не убывает. А третий закон термодинамики (постулат Нернста) гласит, что S → 0 при T → 0 .§ 6.6. Тепловая машина со сменяющимсярабочим веществомВ цикле Карно применялась модель идеального газа, но реально втепловой машине используется смена рабочего вещества (например, выхлоп).
Рассмотрим вещество с параметрами p1 , U1 . Считаем, что вначальный момент газа в цилиндре машины не было.1. Всасывание. Работа A1 = p1 U1 .2. Извне поступает количество теплоты δQ , происходит дальнейшеерасширение. Здесь δQ = δU + δA , где δA = A2 .3. Выхлоп. Работа A3 = −p2 U2 .За весь цикл Ac = A1 + A2 + A3 , при этом A2 = δQ − δU ,δU = U(p2 , U2 ) − U(p1 , U1 ) . СледовательноAc = p1 U1 + δQ − U(p2 , U2 ) + U(p1 , U1 ) − p2 U2 .41Введем величину H = U + pU , называемую удельной энтальпией (теплосодержанием).
ТогдаAc = δQ − δH ,где δH = H(p2 , U2 ) − H(p1 , U1 ) .§ 6.7. Переход к переменным (p, T )Равенство (42) записано в переменных (U, T ) . Преобразуем (19):dQ = dU + p dU = dU + p dU + U dp − U dp = dH − U dp .Тогда11dQdS == (dH − U dp) =TTT∂H1 ∂H− U dp +dT .∂pT ∂TПоследнее выражение заведомо является полным дифференциалом, поэтому ∂1 ∂H∂1 ∂H−U=.∂T T ∂p∂p T ∂TОтсюда1− 2T∂H1 ∂2H1 ∂U1 ∂2H−U +−=.∂pT ∂T ∂p T ∂TT ∂p∂TКак и ранее при условии достаточной гладкости функции H , перестановка порядка дифференцирования дает1 ∂HU1 ∂U−+= 0,T 2 ∂pT 2 T ∂TилиА поскольку U =∂H∂+ T2∂p∂T U= 0.T1, возможен такой вариант:ρ ∂H12 ∂= −T.∂p∂T ρT42(43)§ 6.8.
Вычисление удельной энтальпии иудельной энтропииРассмотрим в координатах p, T точку (p0 , T0 ) , так что H0 = H(p0 , T0 ) ,S0 = S(p0 , T0 ) , и H0 = U(p0 , T0 ) + p0 U(p0 , T0 ) . Требуется вычислить значения H и S в точке (p, T ) . Допустим, что известны удельный объемU(p, T ) и теплоемкость cp (p, T ) .Так как dQ = dH − U dp ,cp =Следовательно, в силу (43)H(p, T ) = H0 +=ZTZ∂HdQ =.dT p=const∂Tdp .∂∂T∂H1 ∂H− U dp +dT .∂pT ∂Tp0T0Zpp0T0cp (p0 , T ) dT − T∂Hdp =∂p∂HdT +∂TdH = H0 +2ZpZTU(p, T )TЗатем,dQdH − U dp1dS ===TTTС помощью (43) получается, что∂S1 ∂H1∂U∂U=−U =−T=−,∂pT ∂pT∂T∂Tа∂S1 ∂Hcp== ,∂TT ∂TTp = const .Итак,S(p, T ) = S0 +ZTcp (p0 , T )dT −TT043Zpp0∂U dp .∂T T =const§ 6.9. Некоторые свойства водяного пара ивлажного воздухаПусть e — та часть атмосферного давления, которая создается присутствием водяного пара.
Тогда (p − e) будет давлением сухого воздуха.Допустим, что существует некоторая зависимость e 6 E(T ) . Также введем обозначение T0 для температуры замерзания воды при атмосферномдавлении p0 , которое, напомним, составляет 1000 гПа. Примем, чтоE(T ) = E(T0 ) exp(T − T0 )c1Tесть вид зависимости E(T ) , основанный лишь на теоретических данных,а уже(T − T0 )c0E(T ) = E(T0 ) expT − T1является уточненным с помощью эксперимента (так называемая формула Магнуса). Здесь c0 , c1 — некоторые постоянные, T1 ≈ 38◦ K , аE(T0 ) = 6,1 гПа.Рассмотрим теперь характеристики водяного пара и влажного воздуха.e1.
Относительная влажность определяется как. Тогда E(T )E(T )называется насыщающим давлением. Отметим, что пересыщения“ бо”лее чем на 1% в атмосфере не наблюдается. Это происходит из–за присутствия в воздухе конденсирующих частиц.2. Отношение массы воды в единице объема к массе воды в том жеобъеме воздуха вместе с водой носит название удельного влагосодержания (или удельной влажности, если e < E(T )).3. Отношение смеси — это масса воды, отнесенная к массе воздухабез воды.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
