Э.Р. Розендорн - Математические вопросы метеорологии (1162185), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Водностью называется отношение массы сконденсировавшейся воды (в том числе и твердой фазы) к единице объема. Это величина размерности г/м3 .По аналогии с (1) и (23) для сухого воздуха имеет место соотношениеp − e = Rd ρd T =44R0ρd T ,µ̄(p − e)µ̄eµw. А для водяного пара соответственно ρw ≈.R0 TR0 Tλeµ̄µw= 0,622 . . . , тогда ρw ≈,Здесь µ̄ ≈ 29 , µw = 18 .
Обозначим λ =µ̄R0 Tи(p − e + λe)µ̄µ̄ (p − (1 − λ)e)ρ = ρd + ρw ==.R0 TR0 TУдельная влажность будетпоэтому ρd =λeλE(T )λE(T )ρw=≈=.ρ(p − e) + λepp0 ζ(44)Если E(T ) ≪ p , то удельная влажность при насыщении окажется равнойλE(T ).p − (1 − λ)E(T )§ 6.10. Прогноз обложных осадков втрехмерной геострофической схемеВключим удельную влажность во входные данные задачи. Затембудем сравнивать удельную влажность рассматриваемой воздушной частицы, движущейся по найденной траектории, с величиной (44). Еслипри некотором t̂ достигается равенство, то в момент времени t̂ должна произойти конденсация. Так можно спрогнозировать качественнуюкартину осадков.§ 6.11. Виртуальная температураЕсли воздух содержит примеси, то идеальным газом он, вообще говоря, не будет.
Другими словами, плотность воздуха будет зависеть такжеот вектора примесей ~η = (η1 , . . . , ηn ) , и из (23)Tv =pµ̄.R0 ρ(p, T, ~η)Это и есть виртуальная температура. В частности, для тропосферыЗемли ~η = η1 = e . Виртуальную температуру Tv придется рассматривать в качестве температуры T в (1), (11) и других равенствах.45§ 6.12. Переход к аргументам p, SПредположим, что в распоряжении имеются величины p , T , U ,S , H , причем S = S(p, T ) и ~η = η1 — удельная влажность, а векторζ~ = (ζ1 , ζ2 ) таков, что ζ1 + ζ2 — водность для данной области (ζ1 соответствует жидкой, а ζ2 — твердой фазе).
Итак, S = S(p, T, ~η) строго∂Scpмонотонна по T , поскольку= , и cp > 0 . Значит, можно выразить∂TTT через p , S , ~η , исключив тем самым аргумент T .§ 6.13. Влажноадиабатическийтемпературный градиент. КонвекцияПусть известны ρ = ρ(p, S, ~η ) , T = T (p, S, ~η) . Влажноадиабатический температурный градиент определим какdT .γwa = − dz S=constВ силу (2)∂T (p, S, ~η )dp ∂Tγwa = −= ρ(p, S, ~η)g.dz ∂p∂pЗдесь, как и ранее, ~η = η1 — удельная влажность.
Таким образом, видно, что γwa < γa — это просто следует из определений температурныхградиентов.Воздух, в котором присутствует водяной пар, имеет меньшую суммарную плотность, поэтому на него действует архимедова сила, выталкивающая его вверх. В средних широтах уровню, на котором начинается процесс кристаллизации частиц водяного пара воздуха соответствуеттемпература около −12◦ C . Визуально наблюдаемое размывание“ верх”ней части кучевого облака, располагающейся примерно на этом уровне,свидетельствует о том, что вскоре из облака пойдет дождь.§ 6.14.
ФенРассмотрим ситуацию, когда циклон пересекает горный хребет средней высоты. Этот процесс служит примером изменения влажноадиабатической модели на сухоадиабатическую. Дело в том, что выпадение46осадков, сопровождающее преодоление горного хребта, влечет изменение удельной энтропии и удельной энтальпии. В частности, энтальпияменяется благодаря многим факторам. Это и диссипация энергии засчет сил трения, и работа, связанная с перепадом высот, и увеличениекинетической энергии (увеличение скорости ветра после прохожденияхребта).
Удельная влажность падает, а температура, наоборот, растет.47Глава 7Уравнение баланса ветра идавления. Двумернаясоленоидальная схема прогноза§ 7.1. О классификации уравнений счастными производнымиНапомним, что равенство∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 zF x, y, z, , , 2 ,,= 0,∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y 2снабженное граничными условиями, называется уравнением с частными производными. Здесь z = z(x, y) — искомая функция. Если краткозаписать правую часть в виде F(x, y, z, p, q, r, s, t) , то формальный определитель ′ 1 ′ FFD = det 1 r′ 2 ′sFFt2 sбудет характеризовать тип данного уравнения:1) если D > 0 , уравнение эллиптического типа;2) если D < 0 , уравнение гиперболического типа;3) если D = 0 в области, уравнение параболического типа;4) если D > 0 (D < 0) , и есть точки, в которых D = 0 , то уравнениеэллиптическое (гиперболическое) с вырождением;485) если D меняет знак, уравнение смешанного типа.Уравнение линейно, если F линейна по аргументам z, p, q, r, s, t и квазилинейно, если F линейна по аргументам r, s, t .
Другими словами, квазилинейное уравнение имеет видA∂2z∂2z∂2z+2B+C+F = 0,∂x2∂x∂y∂y 2где функции A, B, C, F зависят от x, y, z, p, q . Квазилинейное уравнениевида!∂2z∂2z∂2z∂2z∂2z∂x2∂x∂ydet+A+2B+C+F =0∂2z∂2z22∂x∂x∂y∂y2∂x∂y∂yносит название уравнения Монжа — Ампера.§ 7.2. Приближенная теорема РолляВ курсе математического анализа имеется следующаяТеорема 3. Пусть функция f = f (x) непрерывна на невырожденномотрезке [a, b] , дифференцируема в интервале (a, b) и f (a) = f (b) , тогда в интервале (a, b) существует такая точка ξ , что f ′ (ξ) = 0 ,известная как теорема Ролля.
Если потребовать, чтобы |f (a) − f (b)| < εεдля достаточно малого ε , то получим, что |f ′ (ξ)| <.b−a§ 7.3. Бездивергентный средний уровеньтропосферыИз (32) следует, что D + ζ̇ζ′ = 0 . Как показывают наблюдения, уподстилающей поверхности, а также вблизи тропопаузы |ζ̇| значительно меньше, чем в средней тропосфере. Воспользовавшись приближенной теоремой Ролля, получим, что ζ̇ζ′ ≈ 0 (и следовательно D ≈ 0) принекотором ζ = ζ .
Это бездивергентный средний уровень тропосферы,который в моделях, как правило, принимается равным 0,5 или 0,7 .49§ 7.4. Функция токаПусть D = 0 . Рассмотрим дифференциальную форму v dx − u dy .′′Она является полным дифференциалом,такZZ как (−u)x − vx = −D = 0ввиду (32). Следовательно,v dx − u dy =dψ = ψ + const . Функцияψ называется функцией тока, и v = ψx′ , u = −ψy′ .§ 7.5. Уравнение баланса ветра и давленияВо второй локальной модели l = l(y) , β(y) = ly′ .
Перепишем еще разсистему (14) в виде ′ut + uu′x + vu′y + ζ̇u′ζ − lv + Φ′x = 0vt′ + uvx′ + vvy′ + ζ̇vζ′ + lu + Φ′y = 0 .Продифференцируем уравнения по x и y соответственно и сложим:Dt′ + u′x u′x + 2u′y vx′ + vy′ vy′ + uDx′ + vDy′ + ζ̇Dζ′ ++ζ̇x′ u′ζ + ζ̇y′ vζ′ + l(−vx′ + u′y ) + βu + ∆Φ = 0 .Предположим, что D = 0 не только в точке ζ , но и в некоторой ее окрестности.
Иначе говоря, есть некоторый слой, в котором D = 0 , и поэтомууравнение примет вид(u′x )2 + 2u′y vx′ + (vy′ )2 + ζ̇x′ u′ζ + ζ̇y′ vζ′ + l(−vx′ + u′y ) + βu + ∆Φ = 0 .Перейдем от u и v к функции тока ψ . Получим′′ 2′′′′′′ 2′′′′(−ψyx) + 2(−ψyy)ψxx+ (ψxy) + ζ̇x′ u′ζ + ζ̇y′ vζ′ + l(−ψxx− ψyy) − βψy′ + ∆Φ = 0 .Наконец, аналогично подобнымζ̇x′ u′ζ + ζ̇y′ vζ′ . Тогда ′′′′ψxx ψxydet+′′′′ψxyψyyслучаям, пренебрежем величинойlβ1∆ψ + ψy′ = ∆Φ .222(45)В данном уравнении баланса ветра и давления все, что так или иначеотносится к ветру, находится в левой части.
Правая часть характеризуетдавление.50§ 7.6. Связь уравнения баланса ветра идавления с геострофическимприближениемПусть ε =1для l =6 0 , тогда из (45) следуетl ′′′′1ψxx ψxy2ε det+ ∆ψ + εβψy′ = ∆Φ .′′′′ψxyψyylПри ε → 0 сразу получим1∆ψ = ∆Φ .l1В первой локальной модели частное решение будет ψ = Φ , что, опятьlже, соответствует геострофическому ветру ug = −ψy′ , vg = ψx′ .§ 7.7. Исследование типа уравнения балансаветра и давленияПредставим (45) в виде уравнения Монжа — Ампера ′′′′ψxx ψxy′′′′′′det+ Aψxx+ 2Bψxy+ Cψyy+F = 0,′′′′ψxyψyyгде A =ll1, B = 0 , C = , F = (−βu − ∆Φ) . В данном случае222 ′ 1 ′ l2 11FFD = det 1 r′ 2 ′s = + ∆Φ + βu .FF422t2 sТип уравнения будет определяться знаком этого выражения.
В частности, для циклона северных широт уровни Φ = const вогнуты, поэтому∆Φ > 0 .51§ 7.8. Некоторые модели для ветра втропиках и на экватореВыберем в качестве граничного условия на экваторе гипотезу твер”дая стенка“ (допускается только скольжение воздуха вдоль границы).1. Пусть Φ = Φ(y) , y — широта, ищем ψ в виде ψ(y) . Так как заранееизвестно, что ψ от x не зависит, то (45) примет более простой вид, аименно′′lψyy+ ly′ ψy′ = Φ′′yy ,или(lψy′ )′y = Φ′′yy .Интегрирование даетψy′ (y) = −u(y) =1Φ′y (y) − Φ′y (0) ,l(y)y 6= 0 .Здесь учли, что l(0) = 0 .2. Перейдем к пределу в найденном решении:u(0) = −1 ′′Φ ,β(0) yyβ(0) > 0 .Довольно часто вдоль экватора наблюдается так называемая барическаяложбина.
Это означает, что Φ′′yy > 0 . Но тогда u < 0 , и ветер должендуть с востока на запад (восточный перенос).3. Допустим, что на экваторе есть область, где Φ не зависит от аргументов x, y , D = 0 (существует функция тока ψ), u, v не зависят от x, yпри некоторых t (равенство (45) должно быть выполнено при каждомтаком t). Тогда от (45) останется лишьβψy′ = 0 ,откуда следует, что uβ(0) = 0 , значит u = 0 , так как β(0) 6= 0 . Получается, что ветер должен иметь строго меридиональное направление,что опровергает гипотезу твердая стенка“. Такое действительно имеет”место: течение Финлейтера (у Мадагаскара) как раз меридиональногонаправления.52§ 7.9. Схема прогнозаОтправной точкой будет уравнение (16): ′dΩaζ̇x ζ̇y′+ Ωa D + det= 0.u′ζ vζ′dtПренебрегая третьим слагаемым, а также учитывая, что D = 0 , получимΩ′t + uΩ′x + vΩ′y + ζ̇Ω′ζ +dl= 0,dtпоскольку Ωa = Ω + l .
Перейдем теперь к функции тока ψ : u = −ψy′ ,v = ψx′ , значит Ω = vx′ − u′y = ∆ψ , во второй локальной моделиdl= ly′ v = βψx′ . Тогдаdt(∆ψ)′t − ψy′ (∆ψ)′x + ψx′ (∆ψ)′y + βψx′ = 0 ,или∆ψt′= det(∆ψ)′x (∆ψ)′yψx′ψy′− β(y)ψx′ .(46)Уравнения (45), (46) лежат в основе схемы прогноза. Рассмотрим средний уровень тропосферы.1. Пусть в момент t = t0 на границе области сделаны метеонаблюдения.2.Поизвестным Φ, u, v определим значение функции токаZψ = ψ0 + v dx − u dy на границе.3. Введем для (45) граничные условия Φ′t = 0 и ψt′ = 0 , а также потребуем, чтобы D > D0 > 0 , где D0 выражается через l.4. Решим поставленную задачу Дирихле (45).
Так определим значение ψ внутри области для фиксированного момента времени t0 .5. Задачу (46) решаем шагами по времени ∆t . После каждого шагавычисляем из (45) геопотенциал, а затем и ветер.Изложенная выше схема прогноза была предложена скандинавскимученым Болином. Численное решение задачи Дирихле (45) осуществлялось в ней с помощью 150–200 итераций. Двумерная соленоидальнаясхема дает удовлетворительный прогноз на сутки при ∆x = ∆y = 200 км,53∆t ≈ 30 мин. Подобная схема прогноза применялась в 1970–80 годах вНовосибирске.Случай, когда D 6= 0 , сводится к подобному, поскольку при этомu = −ψy′ + ϕ′x , v = ψx′ + ϕ′y , и D = ϕ′′xx + ϕ′′yy .Отметим, что полная (примитивная) система уравнений с∆x = ∆y = 150 км использовалась в 1970–х годах в Великобритании.Необходимость учитывать звуковые волны накладывает ограничение на1шаг по времени.
Применявшийся ∆t был равен 7,5 мин.254Часть II55ВведениеВертикальный разрез атмосферы ЗемлиВспомним график температуры атмосферы Земли (рис. I.1). Имеет смысл рассматривать шкалу высот до так называемой нижней границы околоземного космоса (минимальная высота орбиты космическогоаппарата, на которой возможен полный виток вокруг Земли), составляющей 160–170 км. Напомним также сведения о газовом составе атмосферы. Приблизительно до мезопаузы сохраняется одинаковый составатмосферного воздуха без воды: азот — 78 %, кислород — 21 %, аргон —1 %, прочие газы — менее 1 % по объемным долям.Об уравнении движенияВ случае краткосрочного прогноза уравнения (I.5) было вполне достаточно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
