Э.Р. Розендорн - Математические вопросы метеорологии (1162185), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Граничное условие для σ̇Будем считать, что z ∗ = Z ∗ (ξ1 , ξ2 ) — уровень рельефа планеты, и, соответственно, Φ∗ = gZ ∗. Введем дополнительные предположения: пустьверхняя и нижняя границы рассматриваемой области пространства, атакже траектории воздушных частиц являются гладкими функциями.Тогда потребуем, чтобы σ̇ = 0 на подстилающей поверхности (σ = 1) ина верхней границе (σ = 0).§ 4.12. Уравнение для p∗Проинтегрируем (17) по σ от 0 до 1, учитывая, что p∗ не зависит от σ,(p∗ )′t+gZ10p∗ ~} dσ + p∗Dσ { VgZ1(σ̇)′σ dσ = 0.0В силу установленных граничных условий последнее слагаемое занулитZ1Z11~~ } и vj dσ = vj . Тогдася. Введем обозначения: g Dσ { V } dσ = Dσ {Vg00после перегруппировки в уравнении получим~ } = 0.(ln p∗ )′t + h1 v1 (ln p∗ )′ξ1 + h2 v2 (ln p∗ )′ξ2 + Dσ {V(18)§ 4.13.
Уравнение состоянияКак известно, в уравнении состояния p = RρT идеального газа поR0стоянная R =, где µ̄ — средняя молекулярная масса смеси. Примеµ̄си характеризуются набором параметров ~η = (η1 , . . . , ηn ). Здесь ηj естьотношение массы j–й примеси к массе воздуха без примесей. Тогда вобщем случае ρ = ρ(p, T, ~η ). Виртуальная температура, согласно § I.6.11,определяется какpTv =,Rρ(p, T, ~η )где постоянная R соответствует воздуху без примесей. Если функцияρ(p, T, ~η) известна, то известна и виртуальная температура Tv (p, T, ~η ).79Уравнение состояния примет видp = RρTv .(19)1§ 4.14. Преобразование слагаемого grad pρв уравнении движенияСогласно (12) и (15)1 ∂p− hj~τj =ρ ∂ξjΦ′σ− ∗ hjpp′ξj −Zξ′ jZσ′p′σ!~τj .На основе (15) и (19) получим аналог равенства (I.11)−σΦ′σ = RTv ,поэтому1 ∂p− hj~τj = hjρ ∂ξjRTv (ln p∗ )′ξj + g′ !1Φ~τj .gξjЗдесь в правой части находятся Tv , p∗ , Φ — искомые в примитивнойсистеме уравнений.§ 4.15.
Вычисление ΦРассмотрим два варианта постановки задачи для нахождения Φ.1. Пусть известна функция Tv = Tv (p, T, ~η), T и ~η как функции от σпри фиксированных ξ1 , ξ2 , t, а также p∗ и z ∗ . Тогда будет известной ифункция= g(ξ1, ξ2 )z ∗ (ξ1 , ξ2 ).Φσ=1Следовательно∗Φ(ξ1 , ξ2 ; σ; t) = gz −ZσRTvdσ.σ12. Допустим, что имеет место случай идеального газа. Тогда Tv = T .Пусть известна температура T как функция от z. Будем искать функцию80Z, решая задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравненияσgZσ′ + RT (Z) = 0, Z = z∗.σ=1Например, если T = T − γZ, z = z1 , g = const, то решение уравнения типа ЭйлераRσZσ′ + (T ∗ − γZ) = 0g∗в случае, когда p = p0 (а значит, и σ = ζ), в виде геопотенциала приметобликΦ = Φ1 ζ γ̂ + Φ̂ 1 − ζ γ̂ ,gT ∗Rγгде Φ1 = gz1 , Φ̂ =, γ̂ =.γg∗∗§ 4.16.
Вычисление σ̇dzизвестна:dt X ′22X1σ̇1′′′′w = Zt + Zσ σ̇ +hj vj Zξj =Φt − RTv+hj vjΦ ,gσgξjj=1j=1Связь σ̇ и w =однако сама величина w точному измерению не поддается (можно сказать, что это скорость порядка нескольких сантиметров в секунду). Поэтому для вычисления σ̇ вернемся к уравнению неразрывности (17). Произведем интегрирование его слагаемых (p∗ )′t и p∗ (σ̇)′σ по отрезкам [0, 1] и[0, σ] и, благодаря граничным условиям, получимZ1(p∗ )′tdσ =(p∗ )′t,0Z1Zσ(p∗ )′t dσ = σ(p∗ )′t ,Zσp∗ (σ̇)′σ dσ = p∗ σ̇.0p∗ (σ̇)′σ dσ = 0,00Теперь из результатов интегрирования (17) по [0, 1] и по [0, σ] выразим 1ZZσ∗∗gp ~p ~σ̇ = ∗ σ Dσ { V} dσ − Dσ { V} dσ .pgg0081§ 4.17. Об уравнении притока теплаПусть уравнение состояния ρ = ρ(p, T, η1 , .
. . , ηn ). Рассмотрим пространство координат p, U, T (см. § I.6.1), в котором задана поверхностьU = U(p, T ) для фиксированного ~η . Теплоемкость cp = cp (p, T, η1 , . . . , ηn )также будем считать известной. Тогда согласно второму закону термоdQдинамикиявляется полным дифференциалом.
Обозначив его dS,Tполучим (см. § I.6.8), чтоS = S(p0 , T0 ) +(p,TZ )(p0 ,T0 )cp∂U− dp + dT .∂TTНу а согласно постулату Нернста S = 0. Пусть E — приток теплаdQк единице массы движущегося воздуха за время t. Значит= E, иdtуравнение притока тепла в общем видеT =0EdS= .(20)dtT∂SЕсли допустить, что cp > 0, то и> 0, и следовательно, в силу моно∂Tтонности S(T ), существует T (S). Соответственно виртуальная температура Tv = Tv (p, S, η1 , . . . , ηn ).§ 4.18.
Обсуждение примитивной системыИтак, если рассматривать простейший случай, когда η = η1 толькодля водяного пара, то искомыми в примитивной системе будут семь скалярных функций V~ = {u, v, w}, ρ, p, T , η. Скалярных уравнений будетdηстолько же: (1), (11), (19), (20) и уравнение баланса влажности для.dtОсновные сопутствующие проблемы:1) густота сети пунктов наблюдения;2) граничные условия, в особенности, на подстилающей поверхностив сложном рельефе;~ величин,3) уточнение притока тепла E, турбулентной вязкости N,связанных с переносом влаги, испарением и конденсацией.82Глава 5Полиномы Лежандра исферические функции§ 5.1. Уравнения и полиномы ЛежандраРешения дифференциального уравненияd2 dy(µ)(1 − µ )+ n(n + 1)y(µ) = 0dµµбудем называть полиномами Лежандра [3] Pn (µ).
Справедливо рекуррентное соотношение Pn+1 (µ) = (2n + 1)µPn (µ) − nPn−1 (µ), P0 (µ) = 1,P1 (µ) = µ.§ 5.2. Присоединенные функции ЛежандраИсходное дифференциальное уравнение можно переписать как(1 − µ2 )y ′′ − 2µy ′ + n(n + 1)y = 0.В результате m–кратного дифференцирования этого уравнения получим(1 − µ2 )x′′ − 2(m + 1)µx′ + (n(n + 1) − m(m + 1)) x = 0,где 0 6 m 6 n и x(µ) =dm y. Сделаем теперь заменуdµmz(µ)m .x(µ) = p− 1 − µ283Тогда уравнение примет вид m2d2 dz(µ)(1 − µ )+ n(n + 1) −z(µ) = 0.dµµ1 − µ2Но так как y(µ) = Pn (µ)полином —m Лежандра, то соответственноp(m)(m)x(µ) = Pn (µ), и z(µ) = − 1 − µ2 Pn (µ) = Pnm (µ) — присоединенные функции Лежандра. Условимся считать, что Pn0 = Pn .§ 5.3. Тригонометрическая формаПустьµ = sin ξ,тогда1 − µ2 = cos2 ξ.p1 − µ2 = cos ξ.
СледовательноPnm (sin ξ) = (− cos ξ)m Pn(m) (sin ξ),Еслиn = 0, 1, 2, . . . ,|ξ| 6π,2то0 6 m 6 n.d1 d=, уравнение будетdµcos ξ dξdzd(cos ξ)(cos ξ)+ n(n + 1) cos2 ξ − m2 z = 0.dξdξПоскольку(21)Отметим также одну вспомогательную формулу(1 − µ2 )(Pnm )′ =1mm(n + 1)(m + n)Pn−1+ n(n − m + 1)Pn+1. (22)2n + 1§ 5.4. Сферические функцииВведем координаты на сфере: долготу λ и широту ξ. Будем рассматривать наборы сферических функцийPn (sin ξ),Pnm (sin ξ) cos mλ,Pnm (sin ξ) sin mλ.Функции Pn (sin ξ) четны при четном n и нечетны — при нечетном. Аналогично, функции Pnm (sin ξ) cos mλ и Pnm (sin ξ) sin mλ четны при четном(n + m) и нечетны в противоположном случае.84Глава 6Околополюсный вихрь.
Индексциркуляции§ 6.1. О сферических координатахПусть ξ1 = λ — долгота, ξ2 = ξ — широта, ξ3 = z = r − r0 , причем3X2ds2j будет ds1 = r cos ξdλ,радиус r0 задан. Тогда в метрике ds =j=1ds2 = rdξ, ds3 = dz, т. е. H1 = r cos ξ, H2 = r, H3 = 1. Если ~τ1 , ~τ2 , ~τ3 = ~n —единичные векторы координатных линий , то согласно деривационнымформулам3X∂~τi=ηijk~τk .∂ξjk=1В частности, ηi3k = 0, так какd~τi ~= 0.dξ3§ 6.2. Упрощенная сферическая модельБудем придерживаться следующих допущений:1) подстилающая поверхность — сфера;p2) p∗ = p0 = const и ζ = ;p0~ = ~0 — невязкая модель;3) N4) гидростатическое приближение (см.
§ I.1.7);85dzdζ=wи= ζ̇ достаточно малы;dtdt6) g = const.3X~Основываясь на них, для V =vk ~τk получим5)k=1(v1 )′t1+r0+(v2 )′t +1r01′′v1 (v1 )λ + v2 (v1 )ξ − (tg ξ)v1 v2 +cos ξ1Φ′ − 2(ω sin ξ)v2 = 0,r0 cos ξ λ(23)1v1 (v2 )′λ + v2 (v2 )′ξ + (tg ξ)v12 +cos ξ+1 ′Φ + 2(ω sin ξ)v1 = 0.r0 ξ§ 6.3. Частное решение — стационарныйзональный потокПусть Φ = Φ(ξ, ζ).
Тогда существует решение системы (23), не зависящее от времени t и от долготы λ, так что скорость V~ направленапо параллели. Таким образом, v1 = U , v2 = 0 и, стало быть, (v1 )′t = 0,(v1 )′λ = 0, Φ′λ = 0. От системы (23) останется одно уравнениеU 2 tg ξ + 2(r0 ω sin ξ)U + Φ′ξ = 0(24)относительно U = U(ξ, ζ).§ 6.4. Грубая модель температуры втропосфереh π πiДля четной на − ,функции справедливо тейлоровское прибли2 2жениеa0a0f (ξ) ≈+ a1 cos 2ξ = ( − a1 ) + 2a1 cos2 ξ.2286Используем эту аппроксимацию для температуры атмосферы одного полушария Земли: T = T0 + (δT ) cos2 ξ по широте и T = T ∗ − γz по высоте(на каждой из широт). Можно считать, чтоT = T0∗ + (δT ∗ ) cos2 ξ − (γ0 + (δγ) cos2 ξ)z.Примем также, что Tv = T . Для геопотенциала используем приближениев виде стационарного зонального потока Φ(ξ, ζ):Φ ≈ Φst = Φ0 (ζ) + B(ζ) cos2 ξ, Φ= Φ1 .ζ=1Тогда Φ′ξ = −2B cos ξ sin ξ, и из (24)U 2 tg ξ + 2(r0 ω sin ξ)U − 2B cos ξ sin ξ = 0.Решая квадратное уравнение, имеемp(r0 ω)2 + 2B − r0 ω cos ξ = r0 ωα,U=где индекс циркуляцииα=p(r0 ω)2 + 2B − r0 ω.r0 ωИтак, имеет место так называемое твердотельное вращение: при каждом ζ воздух вращается как единое целое.§ 6.5.
ЛинеаризацияПолагаем v1 = U + u, v2 = v и Φ = Φst + r0 ϕ cos ξ. Считая, что u, v,ϕ находятся в достаточно малой окрестности нуля, линеаризуем (23).Получим ′ut + αu′λ − 2ω1 v sin ξ +ϕ′λ= 0(25)′′vt + αvλ + 2ω1u sin ξ + (ϕ cos ξ)′ξ = 0,где ω1 = ω + α.87§ 6.6. Сезонные изменения индексациркуляцииαВ табл. 2 указаны примерные значения параметра в процентах дляωтрех ситуаций:1) лето“: T ∗ = 300 K, высота тропопаузы на экваторе 17,5 км”(T = 200 K), на полюсе — 9 км (T = −50◦ C), γ0 = 4 градуса на км;2) зима“: то же, но для полюса — 8 км и −60◦ C соответственно;”3) зима, нижняя тропосфера“: то же, но для полюса −40◦ C.”ζ0,70,50,3лето“”1,83,14,6зима“”–4,26,5зима, ниж. тр–ра“”≈3––Табл.
2А в табл. 3 указаны значения того же параметра для северного полушария в среднем за год, максимальное и минимальное.ζ0,70,50,3среднегодовое2,33,75,5Табл. 388max34,66,8min1,72,84,5Глава 7Линейная теория длинных волнв средней тропосфере§ 7.1. Бездивергентный средний уровень.Функция токаСогласно определению~ } = h1 h2 (H2 v1 )′ + (H1 v2 )′ =Dσ { Vξ1ξ21(r0 (U + u))′λ + ((r0 cos ξ)v)′ξ =cos ξ1u′λ + (v cos ξ)′ξ ,=r0 cos ξ1где H1 = r0 cos ξ, H2 = r0 , и hj =, j = 1, 2.HjИз эксперимента известно, что на подстилающей поверхности и околотропопаузы |ζ̇| много меньше, чем в средней тропосфере, поэтому поприближенной теореме Ролля (см. § I.7.2) (ζ̇)′ζ = 0 для некоторого уровняζ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
