Э.Р. Розендорн - Математические вопросы метеорологии (1162185), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда l и λ0 будут обозначать соответственно внешний и внутренний масштабы турбулентности. Скорости обозначим через ∆u, vλ , vλ0 . Применяя (10), получим(vλ0 )3(∆u)3= c3 E =,lλ0откудаvλ0 = cE1/3 λ0 1/3 ,(vλ0 )3∆u= 1/3 λ0 −2/3 .λ0lНо вместе с темvλ0 λ0(vλ0 )3 λ0 2∆u −2/3 λ0 2== 1/3 λ0,Recr =νλ0 νlνследовательноλ0 =Recr ν∆u3/4l1/4 .Например, если ветер за время τ = 20 сек плавно меняет свою скоростьв пределах от 7 м/сек до 13 м/сек, то ∆u = 6 м/сек, а l = τ u, где средняяскорость u = 10 м/сек . Тогда λ0 ≈ 1 см.§ 2.6. Турбулентная вязкостьВ метеорологии часто используется такой параметр как турбулентная вязкость. В частности, для воздуха νturb = 4 ÷ 12 м2 /сек, что,очевидно,совпадаетс соответствующим значением ν.
Так как не −−−→ 2E=νgrad u, тоE=νvλ0λ02= νλ v 2λλ67= νturb∆ul2.Отсюда cогласно (10)νλ=νvλ0λ02 2λ·=vλcλ0 1/3λ0!2 2 4/3λλ·=.1/3cλλ0Поэтому при λ = l получимνturb = νlλ04/3.Так в предыдущем примере для l = 200 и λ0 = 1 турбулентная вязкостьνturb ≈ 8 м2 /сек.§ 2.7. Геострофический ветерРассуждая аналогично §§ I.3.6 – I.3.8, u̇ =lv − blwv̇ =−lub ẇ = − g +luсчитаем, W = const, и получим1 ∂p+ N1ρ ∂x1 ∂p+ N2−ρ ∂y1 ∂p−+ N3 .ρ ∂z−~g = {ug , vg , 0}, гдеГеострофический ветер Vug = −1 ∂p,ρl ∂yvg =1 ∂p.ρl ∂x§ 2.8. Планетарный пограничный слой исвободная атмосфераРассмотрим в качестве упрощения следующую удобную в расче~ 2 .
Сделаем небольшую прикидку: известно, чтотахмодель:V~ = Cz ~~2[V×~ω]должнобытьвнесколькоразбольше,чемN . Воспользовавшись (6), придем к выводу, что в данной упрощенной модели толщинаприземного слоя атмосферы будет порядка 1000 м.68✛✛✠❍❥✻❍90✛✛✛стратосфера❄Высота, кмPPq P летомP16PqPPPqP■❅✒ ❅✠ ❅❘❅❍❍❨✁✂ ❇❍☛✁✂ ◆❇❍❍ ✟✟ ✌✂❍✙❥❍50✻✻30✻✻✲✯✟✂ ❇❆✟✟✌✂ ❇❆❯✟✟✟✙◆❇ ❍❥ ✟❍30✲❅❘❅✻✟✙✟50 Широта, градРис. 1§ 2.9. Задача о повороте ветра впланетарном пограничном слоеИмеются следующие краевые условия: прилипание“ у поверхности~ = ~0 и геострофический ветер V~ =”V~g на верхней границе слоя.Земли V∂p ∂p,фиксируются в данной точке, и считается, чтоЗначения l, ρ,∂x ∂yu = u(z), v = v(z), w = 0 . В результате — система обыкновенных дифференциальных уравнений 2–го порядка.
Если νturb = const, то решениебудет получено в эллиптических функциях, хотя на самом деле турбулентная вязкость νturb зависит от z и от других величин.§ 2.10. Атмосферные фронты, циклоны иантициклоныНапомним, что в северных широтах геострофический ветер обходитциклоны против часовой стрелки (подробности см. в главе I.3).69§ 2.11. Задача о толщине тропосферыВ части I обсуждался лучистый теплообмен. Теперь используем другой подход: циклоны и антициклоны ведь можно рассматривать как турбулентности с масштабом l порядка нескольких сотен км.
Тогда будетдругой турбулентная вязкость (обозначим ее νl ) и увеличится толщинапограничного слоя. В упрощенной модели из § 2.8 толщина h тропо1сферы пропорциональна √ (здесь l — параметр Кориолиса, нулевой наlэкваторе и максимальный на полюсе). Фактически, это и есть зависимость толщины тропосферы от географической широты. На экваторезначение h достигает 17 км, а на полюсах оно около 8 км. На рис. 1 также изображена схема движения воздушых масс для тропосферы и длястратосферы северного полушария в летний период.§ 2.12.
Струйные течения и отрицательнаявязкостьКроме того график (см. рис. 1) на самом деле имеет разрывы в областях так называемых струйных течений. Эти течения обладают высокой скоростью, так что иногда приходится допускать νl < 0.70Глава 3О построении примитивнойсистемы уравнений§ 3.1. О примитивной системе уравненийПри построении системы уравнений (см. § I.1.5) будем опираться нафундаментальные физические законы: 1) сохранения вещества (второйзакон Ньютона и, следовательно, уравнение движения); 2) свойства вещества (уравнение состояния); 3) сохранения массы (уравнение неразрывности); 4) сохранения энергии (уравнение притока тепла); 5) балансавлажности. Независимые переменные: три пространственные координа~ = {u, v, w},ты и время.
Искомых скалярных функций семь: T , p, ρ, Vа также влагосодержание. Скалярных уравнений столько же, системазамкнута. К тому же в случае долгосрочного прогноза необходимо учитывать и другие воздушные примеси кроме воды.§ 3.2. Уравнение неразрывностиПусть S — некоторая неподвижная поверхность в потоке сплошнойсреды, ~n — единичный вектор нормали к ней. Обозначим через V~ скорость, а через ρ плотность сплошной среды. Если M = M(t) — массавыделенного объема G, тоZZZM=ρ dU,G71поэтомуZZZdM=dt∂ρdU.∂tGИзменение массы за промежуток времени δt естьZZ~ , ~n) dS δt,δM = −(ρVSзначит производнаяdM=−dtZZ~ , ~n) dS.(ρVS~ — так называемая массовая скорость. По формуле Гаусса —Здесь ρVОстроградскогоZZZdM~ ) dU,=−div(ρVdtGв итогеZZZ ∂ρ~)+ div(ρV∂tGdU = 0для любого объема G .
Отсюда уравнение неразрывности∂ρ~ ) = 0.+ div(ρV∂t§ 3.3. Преобразование уравнениянеразрывности−−→ ~~ ) = ρ div V~ + (−Известно, что div(ρVgrad ρ, V). Тогда из (11)−−−→ ~∂ρ~ = 0,+ (grad ρ, V) + ρ div V∂tили объединяя в полную производную вдоль траектории,dρ~ = 0.+ ρ div Vdt72(11)Разделив на ρ > 0, получим другую форму уравнения неразрывностиd(ln ρ) + div V~ = 0.dtВ частном случае, если сплошная среда несжимаема,~ = 0.div V§ 3.4.
Обсуждение вывода уравнениянеразрывностиОтметим, что вывод уравнения опирался на гипотезу, согласно которой изменение массы M для данного объема G происходит только засчет движения со скоростью V~ . Есть случаи, когда это не так:1) (астрофизический) потоки вещества и потоки электромагнитногоизлучения;2) (гидрогеологический) пористые породы с трещинами;3) (метеорологический) ветер и дождь.В дальнейшем будем преобразовывать часть примитивной системыуравнений с тем, чтобы в явной записи выделилось уравнение для приземного давления p∗ .73Глава 4Уравнения в специальныхкоординатах§ 4.1.
Специальная замена координатПусть ξ1 , ξ2 , ξ3 — пространственные координаты, одна из которых —например, третья ξ3 = z — выделена. Будем рассматривать функции аргумента (X, t) = (ξ1 , ξ2 , ξ3, t). Применительно к атмосферному давлениюp(X, t) есть два замечательных параметра: типичное давление p0 = constна уровне моря (см. § I.2.2) и приземное давление p∗ (ξ1 , ξ2 , t). Обозначимζ=p,p0σ=p.p∗Как ζ так и σ можно принять за новую координату по вертикальному∂pнаправлению. Здесь важно то, что p0 > 0, p∗ > 0 исохраняет знак.∂zРассмотрим функцию f (ξ1, ξ2 ; σ; t), считая, что z = Z(ξ1, ξ2 ; σ; t).
Производная в новой системе координат будет выражаться через производнуюв старой системе какfξ′k =∂f∂f ′+Z ,∂ξk∂z ξkfσ′ =∂f ′Z ,∂z σпоэтомуZξ′ k ′∂f′= fξk − ′ fσ ,∂ξkZσ74k = 1, 2.(12)§ 4.2. Модель тонкая атмосфера“”Введем на поверхности уровня W = const координаты ξ1 , ξ2 , z так,что ξ1 , ξ2 — ортогональные координаты этой поверхности, а ось z направлена по нормали вверх. Модели тонкая атмосфера“ свойственны”следующие допущения:1) толщина атмосферы много меньше радиуса планеты;2) g = g(ξ1, ξ2 ) не зависит от z;3) метрика ds2 = H12 dξ12 + H22 dξ22 + dz 2 , где Hj = Hj (ξ1 , ξ2 ), j = 1, 2.§ 4.3. ГеопотенциалПоверхность W = const принимается за уровень Z = 0. Тогда в рамках модели тонкая атмосфера“ единичная масса обладает потенциаль”Zzной энергией Φ =g dz = gZ(ξ1 , ξ2; σ; t).
Это и есть геопотенциал.0§ 4.4. Условная вертикальная скоростьdσ.Для представленияdt~ = v1~τ1 + v2~τ2 + w~n согласно (3) справедливо ξ˙j = hj vj . ЗатемVПо аналогии с § I.2.5 обозначим σ̇ =w=dzdZdξ1dξ2dσ== Zξ′ 1+ Zξ′ 2+ Zσ′+ Zt′ .dtdtdtdtdtСледовательно1σ̇ = ′Zσw − Zt′ −или1σ̇ = ′Φσ2X75Zξ′ j hj vj ,j=1gw − Φ′t − g!2Xj=1!Zξ′ j hj vj .(13)§ 4.5.
Дивергенция в ортогональныхкриволинейных координатах3PПусть дано векторное поле f~ =fj ~τj (в нашем случае ~τ3 = ~n) и метj=1рика ds2 =3Pj=1Hj2 dξj2 . Обозначим B = H1 H2 H3 , b =вано сходство с hj =1(здесь использоB1). ТогдаHjdiv f~ = b3X∂(Bhj fj ).∂ξjj=1(14)§ 4.6. Гидростатическое приближение —запись в σ–координатах2PВ модели тонкая атмосфера“ ds2 =Hj2 dξj2 + dz 2 , так как H3 = 1,”j=0поэтому2−−−→ X ∂p∂phj~τj + ~n.grad p =∂ξj∂zj=1Считаем, что вектор ~n направлен против силы тяжести, тогда из определения σ∂pp′σ(p∗ (ξ1 , ξ2 , t)σ)′σ= ′ =.∂zZσZσ′Из (I.2) следует, чтоp∗= −ρg,Zσ′илиρ=−76p∗.Φ′σ(15)§ 4.7. Горизонтальная дивергенция~ = v1~τ1 + v2~τ2 + w~n вЗаймемся преобразованием дивергенции.
Для V(14) справедливо Bh1 = H2 , Bh2 = H1 , Bh3 = H1 H2 , поэтому∂∂w∂~div V = b(H2 v1 ) +(H1 v2 ) + H1 H2=∂ξ1∂ξ2∂z∂∂w∂=b(H2 v1 ) +(H1 v2 ) +.∂ξ1∂ξ2∂zПрименяя (12), получим2X~ = b (H2 v1 )′ + (H1 v2 )′ − 1div Vhj Zξ′ j (vj )′σξ1ξ2′Zσ j=1!+∂w.∂z(16)~ } = b (H2 v1 )′ + (H1 v2 )′ — горизонтальную σ–Обозначим через Dσ {Vξ1ξ2дивергенцию. Если w = 0, и если v1 , v2 не зависят от z (тогда они не~ } = div V~.зависят и от σ), то Dσ {V§ 4.8.
Вспомогательные преобразования1. Из (15) известно, что Zσ′ < 0. Значит!dξj′′′′′′ZσξZσt++ Zσσσ̇ ,jdtj=12Xd1dln |Zσ′ | =ln(−Zσ′ ) = ′dtdtZσилиd1ln |Zσ′ | = ′dtZσ′′Zσt+2X!′′′′hj vj Zσξ+ Zσσσ̇ .jj=12. На основе рассуждений из § 4∂ww′= σ′ =∂zZσ1= ′Zσ′′′′Ztσ+ Zσσσ̇ + Zσ′ (σ̇)′σ +2 Xj=177Zξ′′j σ hj vj + Zξ′ j hj (vj )′σ!== (σ̇)′σ +2d1 X ′Zξj hj (vj )′σ + ln |Zσ′ |.′Zσ j=1dt3. Из предыдущего, а также из (16) следует~ = Dσ { V~ } + (σ̇)′σ +div V4.
Наконец, на основе (15)ln ρ = lnp∗gdln |Zσ′ |.dt− ln |Zσ′ |.§ 4.9. Уравнение неразрывности вσ–координатахЗаметим, чтоddtp∗lng2(p∗ )′ X= ∗t+pj=1gp∗p∗g′hj vj .ξjПодставим теперь все вычисленные значения в уравнение неразрывностивидаd~ =0(ln ρ) + div Vdtи получимp∗(p∗ )′t + p∗ (σ̇)′σ + gDσ { V~ } = 0.(17)gСледует отметить, что это уравнение — результат точного преобразования формул без выбрасывания“ каких–либо величин.”§ 4.10. Уравнение неразрывности вζ–координатахРассуждая аналогично для ζ =g = const получимp, p0 = const в случае, когдаp0~ } = 0.(ζ̇)′ζ + Dσ {VТаким образом, получается, что в пространстве координат ξ1 , ξ2 , ζ имеется движущаяся несжимаемая сплошная среда.78§ 4.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
