Э.Р. Розендорн - Математические вопросы метеорологии (1162185), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Таким образом,∆Q = ∆U + p∆U ,откуда, переходя к пределу по ∆t → 0 , получаем первый закон термодинамики в формулировкеdQ = dU + p dU .(19)§ 4.2. Идеальный газ1Поскольку U = , то из (1) получаемρU=RT.p22(20)Для идеального газа считаем выполненнымU=RT,κ−1(21)где 1 < κ < 2 — некоторая безразмерная постоянная.
Соотношения (20)и (21) характеризуют идеальный газ независимо друг от друга.Определим удельную теплоемкость газа. Удельная теплоемкостьидеального газа при постоянном объемеcU =dUR=,dTκ−1так как dU = 0 . Удельная теплоемкость идеального газа при постоянномдавлении dRTdURRκdQ =+p=+R=,cp =dT p=const dT κ − 1dTκ−1κ−1cpв силу (1) и (20). Отсюда κ => 1.cU§ 4.3. Адиабатический процесс.Потенциальная температураЗададимся условием dQ = 0 адиабатического процесса.(19)–(21) получимRTRTRκRT0=d+ pd=dT −dp ,κ−1pκ−1pТогда изили, разделив на RT ,cp dTdp−= 0.R TpRκ−1Теперь перейдем от p к ζ . Обозначив k ==, имеемcpκdTdζ−k= 0.TζЭто полный дифференциал d ln(T ζ −k ) = 0 . Значит, величина θ = T ζ −kпостоянна для данной порции газа в адиабатическом процессе. Она носит название потенциальной температуры.23§ 4.4. Сухоадиабатический градиент.Некоторые следствия dT Пусть γa = — сухоадиабатический градиент при условии верdzтикального адиабатического движения газа.
С помощью определенийпотенциальной температуры и геопотенциала, используя (9) и (11), распишем T ′ ζg θζ k ′ ζgθkζ k−1 kgT g ζ ζ = .γa = ′ = ==′′ hζ ζghζ ζΦζ −RT cp Окончательноγa =g.cp(22)Следовательно, γa не зависит ни от температуры, ни от давления, а изменяется лишь вместе с g.
Возможны следующие случаи:1) T с высотой возрастает или сохраняется (θ возрастает);2) T с высотой убывает, но медленнее, чем предписывает γa (θ возрастает);3) T с высотой убывает согласно γa (θ = const);4) T с высотой убывает быстрее, чем предписывает γa (θ убывает).Первые два случая соответствуют устойчивой стратификации сухоговоздуха, третий — нейтральной, а четвертый — неустойчивой.Стандартное значение γa чуть менее 10◦ на км. В слое до 1 км наблюдается, как правило, нейтральная стратификация, у теплой поверхностиЗемли — неустойчивая, выше 1 км — устойчивая.
Здесь, однако, невключен в рассмотрение водяной пар, иногда играющий важную роль.Если предположить наличие нейтральной стратификации выше 1 км, тополучится, найдется такая высота H , на которой будет достигнут абсоT∗, где T ∗ — температура налютный нуль, так как в этом случае H =γaповерхности планеты.Найдем связь H с высотой H ∗ однородной атмосферы (H ∗ определяетинтервал высот, на котором плотность и давление воздуха изменяются вe раз [1]). Рассмотрим воздушный столб высоты H ∗ , массы M и единичной площади поперечного сечения.
Уравнение состояния для приземного воздуха запишется как p∗ = RρT ∗ . Тогда из соотношений Mg = p∗ и24M = H ∗ ρ , а также из (22) выводимh=RT ∗RT ∗κ − 1 T∗=== kH.gcp γ aκ γa§ 4.5. Уравнение состояния смесиидеальных газовРассмотрим смесь нескольких газов. Пусть Mj — масса, ρj — плотность, а µj — молекулярная масса каждого из них. Считаем, что давление p и температура T для всех газов постоянны. Тогда уравнениесостояния (1) каждого газа примет видR0 T1=,ρjµj pгде R0 = Rµj — универсальная газовая постоянная.ОбозначивMj, получимUMj =ρjTµj UMj = R0 Mj .pПросуммируем уравнение по j.Для этого введем обозначенияPPMc = Mj .
Примем также, что Uc = UMj . ТогдаjjUcXjTλj µj = R0 Mc ,pUMjгде λj =— объемная доля газа. Отсюда получаем уравнение состоUcяния для смеси идеальных газовp=PR0ρT,µ̄(23)Uc— плотность смеси.McГазовый состав атмосферного воздуха по объемным долям (за исключением воды во всех агрегатных состояниях) такой: азот — 78 %, кислород — 21 %, аргон — 1 %, прочие газы — менее 1 %. Он сохраняется довысоты 80 км.где µ̄ =jλj µj — усреднение по объемам, ρ =25Значение параметра κ для двухатомных газов (таких как азот и кислород) принимается равным 1,40.
Оно же используется для сухого воздуха.§ 4.6. Тепловая энергия атмосферыОбозначим виды энергии атмосферы: W — кинетическую, J — внутреннюю, Π — потенциальную. Существует также лабильная энергияL = Π + J . Будем считать, что вся атмосфера заключена в интервалеb . Таким образом, если на поверхности Земли давлениевысот от 0 до H∗b оно пренебрежимо мало, практически нулевое.p = p , то на высоте H∗pПусть также ζ ∗ =. В силу (2) справедливо dp = −ρg dz . Тогда дляp0единицы объемаW =ZHb 0ZHbZζ ∗1 21p0V ρ dz = −V 2 dp =V 2 dζ .22g2g00АналогичноΠ=ZHb(gz)ρ dz = −0ZHbz dp =0R=gZζ ∗ZHbp dz = R0Rp0p0 T dζ =g0ZHbρT dz =0Zζ ∗T dζ ,0где, перед тем как использовать равенство (1), проинтегрировали по частям. Наконец, применяя (21), получимJ=ZHbUρ dz = −0ZHb0RTRρ dz = −κ−1g(κ − 1)ZHbT dp =0Объединяя, имеемp0L=g(κ − 1)26Zζ ∗0κRT dζ .Rp0g(κ − 1)Zζ ∗0T dζ .Воспользуемся формулой для скорости звука a (см.
например [2])√κRT = a .ТогдаL=p0g(κ − 1)Zζ ∗a2 dζ .0Следовательно, для усреднений по высотеWg(κ − 1) p0 hV 2 iκ − 1 hV 2 i==.Lp02g ha2 i2 ha2 iПринимая κ равным7, получим, что5W1 hV 2 i=.L5 ha2 iПоскольку характерные значения V ≈ 20 м/с , a ≈ 300 м/с, можно приблизительно оценить, как соотносятся кинетическая и лабильная энергииатмосферы.§ 4.7. Приток тепла к атмосфереНагрев атмосферы происходит, в основном, за счет ИК–волн, отраженных от земной поверхности.
Они активно поглощаются водянымпаром, содержащимся в воздухе. Рассмотрим модель нижней стратосферы (12–20 км в средних широтах). Считаем, что на подстилающейповерхности задана температура T ∗ , а на некоторой высоте располагается воображаемая пластина“ неизвестной температуры T , находящаяся”в тепловом равновесии. Из курса физики известно, что количество теплоты имеет вид cT 4 . Таким образом, подстилающая поверхность будетотдавать количество теплоты c∗ (T ∗ )4 , а воображаемая пластина“ — ко”личество теплоты 2cT 4 , в силу состояния теплового равновесия.
Еслитеперь допустить, что константы c и c∗ совпадают, получимT = T ∗ 2−1/4 .27Действительно, зимой, когда водяного пара в воздухе относительнонемного, T ∗ ≈ −20◦ C , откуда T ≈ −50 ÷ −60◦ C . Летом же уровень подстилающей поверхности смещается до высоты, где влияние водяного пара значительно ниже, чем у Земли, и температура поэтому тоже около−20◦ C .
Заметим, что полученное значение T соответствует реальномузначению температуры в нижней стратосфере.§ 4.8. Уравнение притока теплаИз (19)–(21), переходя к ζ – координатам, как и ранее, получимdQ = dU + pdU =RTdζRκdT −dp = cp dT − RT.κ−1pζdQОбозначим E =— приток тепла к единице массы за единицу времени.dtТогдаddζdTRTE=cp dT − RT= cp−ζ̇ .(24)dtζdtζИспользуя представление T = θζ k через потенциальную температуру,имеемRθζ kk dθk−1E = cp ζ+ cp kζ θζ̇ −ζ̇ ,dtζили собственно уравнение притока теплаdθ1= ζ −k E .dtcp§ 4.9.
Преобразование уравнения притокатеплаНа основе равенств (11) и (24) получаемdT+ Φ′ζ ζ̇ .(25)dtdTПоскольку T = T (x, y; ζ; t) , справедливо= uTx′ + vTy′ + ζ̇Tx′ + Tt′ . Есdtли ввестиdTγ=−,dzE = cp28Tζ′γ ′′,азатемT=−Φ . С учетом сказанного, аζh′ζg ζтакже (22), уравнение примет видто по (9) будет γ = −Tt′ =E1− (uTx′ + vTy′ ) − (γa − γ)Φ′ζ ζ̇ .cpg29(26)Глава 5Трехмерная геострофическаясхема прогноза§ 5.1.
Условие на верхней границеПод верхней границей подразумеваем уровень ζ = 0 . Продифференцируем (11) по t . В силу гладкости Φ , полученное можно представитькакζ 2qζ′ = −ζRTt′ .Из физического смысла задачи следует, что величина |Tt′ | ограничена.Тогда, переходя к пределу в предыдущем равенстве по ζ → 0 , получимусловиеlim ζ 2qζ′ = 0 .(27)ζ→0§ 5.2. Уравнение притока тепла вгеострофическом приближенииПреобразуем уравнение (26). Будем использовать геострофическийветер ug , vg в качестве приближения для u и v . Тогда по (17) окажется,что1ug Tx′ + vg Ty′ =−Φ′y Tx′ + Φ′x Ty′ .l30Выразим Tx′ и Ty′ из результатов дифференцирования (11) по переменным11x, y : Tx′ = − ζΦ′′xζ , Ty′ = − ζΦ′′yζ . Значит,RRug Tx′ + vg Ty′ =где1fT {Φ} = detlζfT {Φ} ,RΦ′′xζ Φ′′yζΦ′x Φ′y.ζИз того же (11) следует и Tt′ = − qζ′ .
Вышесказанное позволяет предRставить (26) в виде−ζqζ′ =или, с учетомRRE − ζfT {Φ} − (γa − γ)Φ′ζ ζ̇ ,cpgR= k,cp−ζqζ′ + ζfT {Φ} +R(γa − γ)Φ′ζ ζ̇ = kE .g(28)§ 5.3. Приближенная формула для ζ̇Величина (γa − γ) положительна. Предположим, существует такаяфункция a = a(ζ), чтоR(γa − γ) ≈ a(ζ) .gВ таком случае на основании (28) получимζ̇ ≈1kE + ζqζ′ − ζfT {Φ} .′a(ζ)Φζ(29)§ 5.4. Аппроксимация притока теплаe } — некий функционал, зависящий отМожно считать, что E ≈ E{Tтемпературы. Если Tj — температура на каждом из выделенных уровнейe } = Eei {T ∗ , T1 , T2 , .
. .} , где i — номер того уровня, длявысоты, то E{Tкоторого вычисляется E.31§ 5.5. Граничное условие на подстилающейповерхностиНижний слой атмсоферы толщиной около 1 км заменяется границейζ = 1 . При этом рельеф поверхности планеты игнорируется. Принимаем, что на нижней границе функция a(ζ) экстраполируется вниз доζ = 1 , и a(1) = a1 . Кроме того используем гипотезу твердая стенка:w = 0 при ζ = 1 . В выраженииw=d1dz= h(x, y; ζ; t) = (Φ′t + uΦ′x + vΦ′y + ζ̇Φ′ζ )dtdtgприблизим u ≈ ug , v ≈ vg , учитывая при этом (17). Получим, что1w≈q + ζ̇Φ′ζ .gПрименяя (11), заключаем, что условие w = 0 будет выглядеть так:′q= −ζ̇Φζ .(30)ζ=1ζ=1Из (29) имеем−q = ζ̇Φ′ζ ζ=1e Обозначим −k Eζ=1 1′e=kE+ qζ − ζfT {Φ}.ζ=1a1ζ=1ζ=1ζ=1+ fT {Φ}= f∗ .
Эта величина будет известна, какζ=1только будут известны Φ и T . В итогеqζ′ + a1 q = f∗ ,ζ = 1.(31)§ 5.6. Об уравнении неразрывностиЗакон сохранения массы, примененный к движущейся сплошной среде, в ζ–координатах дает следующий результат:u′x + vy′ + ζ̇ζ′ = 0 ,или в наших обозначенияхζ̇ζ′ = −D .32(32)§ 5.7. Об уравнении вихря скоростиКак и в одноуровневой схеме прогноза пренебрежем в уравнении (16)определителем, а также величинами ζ̇Ω′ζ и ΩD , считая при этом, чтоl = const. ОстанетсяΩ′t + uΩ′x + vΩ′y + lD = 0 .По геострофичечкому приближению u ≈ ug , v ≈ vg и по (17) имеем11Ω ≈ Ωg = ∆Φ и Ω′t ≈ ∆q .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
