Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ле- вая часть выражения (5.3) оказывается при этом равной — (с р — ср ) + О. Следовательно, пЯ неголономна. Можно показать, что в такой системе адиабатически достижимы любые состоя- ния, но принцип Клаузиуса (или Томсона) выполняется. Опре- делим энтропию термически неоднородной системы как сумму энтропии ее термически однородных частей: Р ~Е! + а ~+5, Очевидно, что в такой системе адиабаты не совпадают с изоэнтропами (при Тз тс Тз).
41 ото!ода и из формулы (5 30) следует, что если 1 < и< й, то с < О и пРи подводе тепла: Я„>О темпеРатУРа УменьшаетсЯ: аТ < О; с„= О и Яы — — О при и = lг, "с„> О при п < 1 и л > й и прн подводе тепла Ям > О температура увеличивается ЬТ > О. Э и свойства характеризуют физический смысл показателя полнтропы п. Частными случаями политропического процесса являются изотермический (и = 1), адиабатический (и = А), изохорнческий (и= + ), изобарический (и=О) процессы (см.
рис. 2). Голономность дЯ имеет место только для термически однородной системы. Покажем на примере, что термически неоднородная система будет неголономной. Рассмотрим два разных калорически совершенных газа в замкнутой оболочке, разделенных между собой подвижной адиабатической, т. е. не проводящей тепло перегородкой.
Пусть каждого газа будет по одному'молю и газы такие, что их теплоемкости различны. Вследствие подвижности адиабатической перегородки давления газов одинаковы, а температуры могут быть разные. Для такой системы бу-. дем иметь: ф 6. Харантеристичесние йбуинг4ии Рассмотрим простую систему. В случае, когда А = р и а= 'у', основное уравнение термодинамики для квазистатических процессов Тг(з = г(Е + рй~ (6.1) связывает пять функций состояния: Т, 5, Е, К и р. Состояние же простой системы определяется двумя независимыми параметрами.
Поэтому основное уравнение содержит три неизвестные функции и, следовательно, для их определения необходимы еще два уравнения. Такими уравнениями могут быть уравнение состояния р= р(У, Т) и уравнение, выражающее зависимость внутренней энергии от температуры Е = Е (У'„Т). Зависимость внутренней энергии от объема 1Т определяется уравнением состояния из соотношения взаимности Т( — ) =( — ) + р. (,дТ)у ( дУ)г В случае сложных систем основное уравнение термодинамики для квазистатических процессов Действительно, зная (б. 3), можно с помошью (6.2) дифференцированием определить все другие зависимые переменные А~ — — — (д ) (6А) (1 = 2,3, ..., и).
Внутренняя энергия Е, как функция переменных 5, У, а,... 42 Тйз = ЫЕ + ро'У' + В А, йа, (6.2) связывает п (А,)+ п(а,)+ 3(Т, 5, Е) переменных. Число независимых переменных и (а,)+ 1 (Т) = и+1. Для определения п+ 2, зависимых переменных надо еще к (6.2) добавить и+ 1 независимых уравнений (например, и уравнений состояния и уравнение внутренней энергии как функции температуры). Однако если независимыми переменными являются 5, а, = =У, ам ..., а„, то для определения других переменных с помошью уравнения (6. 2) дополнительно нужно знать не п + 1 уравнений, а только лишь одно уравнение внутренней энергии как функции 5, а, =7, а„..., а„: Е = Е(5, а, = $', а„..., а„).
(6.3) 1(Я, р, а„..., а„) = Е+ р$~. Действительно, если к правой части уравнения (6.2) прибав и отнять дифференциал д (рр), то получим: л ТЙБ = й (Е + РЪ') — ЫР + 1',А, Пап г=э или Н (З„р, а„..., а„) = ТЖ + Ир — ~ А, Наг (6.9 Дифференцируя (6.9), будем иметь: (6.1 Характеристические функции связаны между собой. Зная св бодную энергию %', легко найти внутреннюю энергию Е. соотношения %" = Š— ТЗ, имеем: Е =%'+ ТЗ =% — Т~ — ~ /дч т ( дт)юа (6.11 Зная термодинамический потенциал, легко найти энтальпию 1=Ф+ТЕ=Ф Т(, ~ /дФт (6.1 Уравнения (6.11) и (6.12) называются уравнениями Гиббса Гельмгольца.
Проинтегрируем уравнения Гиббса — Гельмгольца случая простой системы. Из (6.11) получаем: откуда 7 = ~Кг(Т+1Ю. Функция 1'(Р) может быть найдена с помощью третьего начаЛ которое мы введем позднее. Оиа оказывается равной нулю. 44 Если независимыми переменными системы являются 3, и а„ ..., а„, то характеристической функцией будет эитальпия Поэтому имеем: Р= — Т~ е,бт. диалогично из (6.12) получим: ф= — Т~ — ', бт. (6.13) (6.14) бЕ = — а 1Р' = — рбУ вЂ” ~ А, баь с=а (6.15) йт„= е,— е;.
(6.16) Работа, совершаемая системой при аднабатическом процессе, равна убыли внутренней энергии. 2, Изотермический обратимый процесс. Выберем за независимые переменные Т, У, аг Характеристическая функция в этом случае есть свободная энергия. Уравнение (6.5) дает: сРГ = — рбУ вЂ” 2',А, Ыа, = — б))7, из так как бТ = О, поэтому В'„= %'1 — % а.
Работа совершаемая системой при изотермическом обратимом процессе, равна убыли свободной энергии. В этом случае Е, = %', + ТЯ» Е, = Ч',+ТЕ,. 45 ,р рмулы (6.13) и (6.14) дают '.„возможность определить цг по Е н Ф по г Все эти характеристические функции являются аддитивными н однозначными функциями состояния. Выбор независимых пееменных и тем самым характеристических функций для более простого исследования зависит от процесса.
Обычно за независимые переменные выбирают такие, среди которых наибольшее число их при данном процессе оставалось бы неизменными. Рассмотрим несколько примеров. 1. Адиабатический обрагпимый процесс. При этом процессе энтропия постоянна. Выберем за независимые переменныеЯ, У, аг Характеристическая функция в этом случае есть внутренняя энергия. Тогда основное уравнение термодинамики (6.2) дает: Вычитая из первого выражения второе, получим: — ЬЕ = Š— Ед = дР— %'д + Т (5 — Яд) = = цг — дуд+ Π— Од = дуд — дуд — Я, (6.17) так как О = ( Тйз = Т(йЕ = Т(Е, — Е,). йдр = — ~,' А, йа, = — ба.
(6.18 Следовательно (6.19 4. Изотермически-изобарический обратимый процесс (йТ = О, бр = 0). Выберем за независимые переменные Т, р, а,... а„, тогда характеристическая функция есть термодинамически потенциал. Из уравнения (6.7) имеем: йФ = — д~ А,йа, =- — йВ"; (6.20 отсюда )З' = Фд — Ф (6.2! Работа, совершаемая системой при изотермически-изобарическо обратимом процессе (йТ =йр = 0), равна убыли термодинами ческого потенциала. 5. Изохорический процесс простой системы (й(г = 0), ког а = )г и А = р.
Выберем за независимые переменные )г и Я. Пе вое начало дает йЕ = йдг, отсюда (6.2 Ят = Е, — Е,. Тепло, полученное системой при изохорическом процессе, рави приращению внутренней энергии. Все тепло идет на ~рираш ние внутренней энергии. 46 Следует отметить, что для совершенного газа при изотермичес. ком расширении ЬЕ = 0 и 9 = МГдд = — Ь%' = йдд ) 0 все тепло полученное системой, идет на производство внешней работы. Для реального газа при таком процессе количество тепла бол ше произведенной внешней работы, так как тепло идет не тольк на производство внешней работы, но также и на работу проти сил сцепления между молекулами, увеличивая внутреннюю энер гию реального газа.
3. Изотермически-изохорический обратимый процесс (йТ = О, й)г = О). В этом случае нз уравнения (6.5) получаем: Озобарический процесс простой системы (ар = О). Выбеза независимые переменные р и 5, тогда первое начало дает: с(1 = Щ отсюда 1 1, (6.23) Тепло, полученное системой при изобарическом процессе, равно приращению энтальпии. установление существования характеристических функций является крупным успехом термодинамики. Однако явный вид характеристических функций нельзя получить термодинамическим путем. Характеристические функции получены для калорически совершенного газа и для равновесного излучения.
Для других систем характеристические функции находятся с помощью статистической физики или из опыта. ф 7. Неравновесные состояния. Возрастание энтропии при необратимом адиабатичесном переходе из одного равновесного состояния в другое Классическая термодинамика позволяет сделать ряд выводов, касающихся необратимых процессов, которые дают возможность исследовать их направление и формулировать условия равновесия систем. Предположим, что система совершает необратимый адиабатический процесс, который приводит ее из равновесного состояния 1 (с параметрами а~ ~, 5<0) в равновесное состояние 2 ! (а~ ~, 5(и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
