Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Процессы, не удовлетворяющие этому условию, называются необратимыми. Очевидно, всякий квазистатический праце с является обратимым. Действительно, при этом процессе состояние в каждый момент полностью определится внешними параметрами и температурой, поэтому при равновесных изменениях этих параметров в обратном порядке система также в обратном порядке пРойдет все состояния и придет в начальное состояние, не вызвав никакого изменения в окружающей среде. Необратимыми являются процессы теплопередачи, диффузии, теплопроводности, а также расширение газа в пустоту и др. Второе начало характеризует тепловые особенности для конечного времени и конечного пространства.
Оно устанавливает существование у любой равновесной системы новой однозначной функции состояния — энтропии, которая не изменяется в изолированной системе лишь при квазнстатнческих процессах и возрастает при необратимых процессах. Так же, как и первое начало, второе начало термодинамики является обобщением опытных данных. За исходное положение примем: невозможно такое устройство, в результате действия которого производилась бы положительная работа только за счет охлаждения одного тела без каких-либо изменений в других телах.
Вместо этого положения можно принять также один из следующих двух постулатов. Постулат Клаузиуса: невозможна передача тепла от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой без компенсации. Под компенсацией понимают ту работу, котоРую надо затратить для осуществления такой передачи. Постулат Томсона: невозможно, отняв тепло от системы, полностью превратить его в работу без того, чтобы в системе и среде не произошли бы другие изменения. Можно показать, что принятое нами исходное положение, постулат Клаузиуса н постулат Томсона не противоречат друг другу Для термически однородной системы, т. е. системы, все ч~сти которой имеют одинаковую температуру, вытекают следующие два важных следствия: 1 Лля изотермического процесса.
Если система совершает "Руговой нзотермический процесс и приходит в исходное состо- 2 Заказ На 888 25 ание, то работа системы при этом не может быть положи тельной. Действительно, изотермический процесс можно провести так что, помимо системы (имеющей во всех точках одинаковую тем пературу), в нем участвует еще только одно тело — термостат заданной температурой*. Первое начало дает $Щ = $г(Е+ $с((р' и так как $с(Е=О, то Я = ))7 где Е = ~ с)ь1 и )Р' = У с()Р'.
Если Я =))У~ О, то работа совершилась бы за счет охлаждения одного тела — термостата, что противоречит второму началу. Итак, Я7 < О. Если изотермнческий круговой процесс обратимый, то для него работа равна нулю, ибо возможен обратный процесс и, если для прямого процесса работа %'< О, то для обратного — работа больше нуля, что невозможно. 2. Для адиабатического процесса.
Существуют такие состояния термически однородной системы, которые нельзя достичь исходя из данного состояния адиабатическим путем (принцип Ка ратеодори). Действительно, если бы все состояния могли быть достигну ты адиабатическим путем, то можно было бы представить се следующий круговой процесс (цикл). Пусть нз заданного началь ного состояния 1 система изотермически переводится в так состояние 2, при котором система получает положительную теп лоту Щтз и совершает при этом некоторую работу йг", . Зате система адиабатическим путем переводится в первоначальное со стояние 1 (что при сделанном предположении возможно).
Работ при всем этом круговом процессе равна теплоте, полученной н изотермическом участке. Для изотермической части имеем: Ягт = Ез — Ет + В'гз для адиабатической части О = Е, — Ез + В'зы для всего цикла йр = )Р"та + )Рзг = агв ) О. * Термостатом в термодинамике называют тело с очень большой тепло. емкостью (С-ь оо), так что при теплообмене этого тела с системой его температура не меняется. 26 ком цикле мы получили положительную работу за счет При таком ц только охл охлаждения одного тела, от которого система получила тепло в в изотермической части цикла, что невозможно.
рассмотрим обратимый изотермнческий процесс. В этом случае, к е, кзк мы показали, работа равна нулю л ~ ~'„А!!(а! = О. !=1 Следовательно, подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой однозначной функции от а„ а„ ..., и„ н зависящий еще от входящей, как параметр, температуры Т. Тогда с%' = ~~,,А!!(а! = — !(!Р (а„ам..., а„, Т) = — ~' — Ыа!. !=! Это равенство справедливо при постояяной температуре. Однозначная функция состояния %'(а„Т) называется свободной энергией. Свободная энергия определена пока с точностью до аддитнвной функции температуры.
Для любого обратимого процесса мы также можем записать 2й д Иа!. ! ! Это следует, во-первых, из того, что выражение работы для любого процесса не содержит дифференциала температуры, и вовторых, из того, что равенства дч' А,= —— да! справедливы для любого равновесного состояния (относятся не к процессу, а к состоянию). Таким образом, для квазистатического процесса работу можно записать в виде: Л' = — Л'+ —,, (Т Вдесь Ур полный дифференциал функции %" (ап Т). Второе начало термодинамики для обратймых процессов в термически однородной системе может быть приведено к следующим утверждениям: Й~ = !(Е+ Л7 = дг !!Т+ ~~~~ [ д + А, ~ !(а! есть голономная пфаффова форма, т. е. й) всегда имеет ннтег рнрующие множители.
2. Среди интегрирующих множителей пфаффовой форм имеется множитель, зависящий только от темперзтуры системы 3. Если величину, обратную этому множителю, обозначит через 8 = В(Т), то п6 = В(Т)йБ(аь Т), где 3 = Я(аь ам..., а„, Т) — некоторая однозначная функцн состояния системы. В силу (5.1) выражение для НЯ можно записать в форме й~ = дЕ + сйг = д (Š— Ч) + — йТ. Введем обозначения э= — —, О=Š— Ч; функцию О назы- дФ дТ ' вают связанной энергией. Тогда Щ = НΠ— айТ.
(5. 2 Используя следствие второго начала для нзотермическнх процес сов, мы преобразовапн Щ к выражению, содержащему тольк трн переменные О, Т н а. Выражение дО = дЕ+~Афа, содер 1=! жало и+1 переменную а,а„..., а„,Т; Е н А, являются их за данными функциями. Теперь мы можем использовать свойства пфаффовых форм о трех переменных: г)Пз = Х(х, у, з) Нх+ 1'(х, у, г) Ыу+ 2(х, у, з) да, где коэффициенты Х, 1', Л вЂ” непрерывные однозначные диффе ренцируемые функции х, у, г. Тогда необходимым н достаточным условием существовани интегрирующего множителя является равенство: х ( з — — ) -)- Х ~ — — — ) + У ~ ~ — ~ ) = О.
(5.3 Если это равенство не выполняется, то пфаффова форма не нм ' ет интегрирующего множителя и называется неголономной. Рассмотрим пфаффову форму Й~ = пΠ— апТ и предположим сначала, что все три переменные независимы. Лег ко убедиться в том, что левая часть выражения (5.3) в это случае не равна нулю, следовательно, форма неголономна. диффе ренин нциальное уравнение аднабаты есть Дб — аг(т = О. В снл независимое ости пеРеменных выберем каку цию б = д( ), кот — (Т), торая удовлетворяет следующим условиям: й(т,) =б„й(т) =а д'(т.) = ., йа(т,) = „ а в остальном п о произвольная.
Тогда пространственная кривая 6 = й'(Т), а = й'(Т) будет проходить через точки 6, а, Т, и 6, Т и удовлетворять уравнению адиабаты, так как б„а„, и йб — адт = й' (Т) йт — я' (Т) Нт = О. Поскольку точки (ба, а„Т,) и (б„а„Т,) выбраны произвольно, то это значит, что мы можем из любого состояния (0) перейти в любое другое состояние (1) адиабатнческим путем, что противоречит принципу Каратеодори.
Рассмотрим поэтому второй возможный случай, когда одна из трех переменных есть заданная функция двух других, например 6=я(., т). (5.4) Тогда да(а, Т) л + ~дя(а~ Т) а1 (т да дТ есть пфаффова форма двух переменных, которая, как известно, всегда голономна, следовательно, всегда имеется интегрирующий множитель м=(а(а, Т) и рЩ = с(ч(а, Т). В этом случае уравнение адиабаты НЯ = 0 интегрируется одним соотношением и имеет интеграл 4(а, Т) =- сопз(. Поэтому, если мы имеем некоторое состояние, удовлетворяющее условию а) (а„Т,) = с„то обратимым аднабатнческнм путем мы можем перейтй только к тем состояниям, которые удонлетворяют условию а((а, Т) = са.
В этом случае существуют адиабатически недостижимые состояния*. Мы показали, что выражение для дЯ имеет интегрирующий множитель и что б, а и Т связаны соотношением (5.4). Локажем теперь второе утверждение, т. е. что среди интегрирующих множителей выражения йЯ есть один, зависящий только от температуры, притом являющийся универсальной функцией темпвратуры.
ддя этого рассмотрим систему, состоящую из а1* й.е р ер у р«ю, как энергия аддитивна'.Изменение свободной энергии при по. стоянной температуре равно с обратным знаком работе системы,' а работа, совершенная системой, равна сумме работ ее частей, Мы можем перенести это свойство и на саму свободную энергию, содержащую еще произвольную функцию температуры, если бу. дем считать эту, пока совершенно произвольную функцию, аддитивной; таким образом, 'Дифференцируя по Т, получим: а = а, + аз; 6 как разность аддитивных функций также аддитивна: 6=6,+6,. Напишем условие (5.4) для системы и ее частей: 6 = д(а, Т), 6т = лт(ам Т), 6з — — й'з(аз, Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
