Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Из аддитивности 6 н а следует: я(от+ ав, Т) = дт(ам Т) + лв(аз, Т). Чтобы найти решение этого функционального уравнения, продиф' ференцируем его последовательно по а, и а„тогда получим: да (а, Т) дат(аь Т) ддз(аз Т) „(Т) (5.5) да дат даз Поскольку это можно записать для любых двух частей системы, то, следовательно, а(Т) является универсальной функцией температуры, Интегрируя, получим: л(а, Т) = а(Т)а+ р(Т), где, как можно видеть, р(Т) есть аддитивная функция темпера С вЂ” р туры. Подставляя а = — в Щ, получим: Щ = и'6 — — с(Т. С вЂ” д а Ищем интегрирующий множитель в виде (ь = —.
Тогда 1 е (т) — = — с(6 — — г)Т = ЫВ(6, Т) Щ 1 С вЂ” д е е иа а Мы здесь рассматриваем только такие системы. полный дифференциал. Условие, что й5 есть полный где ди ифференциал, дает: дифференцируя, находим: о'е от е а(т) (5.6) откуда 6 = О,е (5.7) Подставляя 6(Т) в выражение для д5, получим: )5=)(,е )+ е ат (5.8) а р е(т) = е + ~ е (т). (т) Так как а(Т) — универсальная функция температуры Т, то н ет — универсальная функция Т. 1 Таким образом, доказано, что р = —, есть универсальный е (т) интегрирующий множитель для еК~, так что Д5 — "е (5.9) з1 есть полный дифференциал, при этом 5 — функция о и Т и, поскольку о= — —,, функция а,, а„..., а„, Т.
Итак, 5 = =5 (аь Т) — аддитивная функция состояния системы. Эта функция называется энтропией. Энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной, не зависящей от ан Т. Из второго начала следует также, что энтропия 5 есть однозначная функция состояния. докажем для простоты однозначность энтропии для простой системы, когда внешним параметром ~вляется объем )т и р = р(у, Т) есть монотонная функция температУРы Тогда энтропию 5 (Р, Т) можно рассматривать как функцию от )т и ре, Допустим противное.
Пусть изоэнтропы 5, и 5,(5, чь 5,) (р"с 1), которые являются адиабатами(так как Щ = 905 и при = сопзЫЯ = О), пересекаются в точке А. Следовательно, эно„„,„„„,„„, „,,арр *р, ур ненне состояния есть р= р(р). тропия в точке А неоднозначна. Из точки В, соседней- с А, н аднабате Я = Я, проведем изотерму до пересечения с адиабато Я = Яз (точка С). В силу наших предположений изотерма н сливается с адиабатами и пересечет их.
Рассмотрим замкнутый процесс АВСА. При таком процессе совершается положительная работа, численно равная площа криволинейного треугольника АВСА (мы всегда можем выбра направление процесса так, чтобы работа была положительной), за счет охлаждения одного тела — термостата, без каких-либо изменений в других телах, что противоречит второму нача лу. Итак, мы показали, чт энтропия Я есть однозначная ункция состояния*.
Поэтому с(5 = О, и для обратимых процессов получаем равенство Клаузиуса: л бЕ 'г ~~~~ А;ба, с-1 0 (5.10) 6 Рис. 1 а = У, А = р и Е = Е(В, У). Тогда 6 (З6) + 6 ~(д$~) +' ЗЗ(6, и) ая(6, У) „ д6 дт' * Ниже будет доказана однозначность энтропии 3 (ао Т) в общем случае. 32 Из выражения тт = ттее видно, что при квазистатических процессах 6 не может. изменить знак. Поскольку интегрирующий делитель тт = е1(Т) определяется только температурой, он служит мерой температуры и называется абсолютной температурой в термодинамической шкале Кельвина. Покажем, что хотя вид этой функции зависит от выбора эмпирической температуры, но ее численные значения в данном состоянии не зависят от выбора эмпирической температуры и определяются с точностью до постоянного множителя, характеризующего единицу измерения градусов.
Для установления связи между абсолютной и эмпирической температурами рассмотрим простую систему, когда Условие, что д5 есть полный дифференциал; дает -'М' —:).") 1= — '~-'Ж),1 откуда ) + р = с« ~ ан ), Эта формула носит название со- отношения взаимности. Соотношение взаимности — основной результат применения второго начала к простой системе для равновесных состояний. Так как (д6) ~ дт) ~Ю ~д~) (ду) то ( а«)г Вдт = — = а(«'). Пусть состояние той же системы характеризуется теперь другой эмпирической температурой а.
Введем 6,(«), так что — ' =— дЕ, д«, «««««(с) и найдем опять: ($) +. др ~%), Учитывая, что ~ — ) = ~ — ) —, получим: l дрт / дрт дт ~а )„(,ат)„а« ' ( — -)," ( — "), = а («) —. 1 ах как левая часть равна а(Т), то ат д« а(т) «()' поэтому с точностью до постоянного множителя будем иметь: Рассмотрим частный случай. Пусть термометрическим веще.' ством служит газ, для которого р= — и Е=С,Т,(С =сопз1); такой газ называется калорически совершенным В этом случае Соотношение взаимности дает: ат ив ат т е = а~т~' Заметим, что я(Т) = Т.
Интегрируя, получим: 6 = сопз1Т. Выбирая сопз1 = 1, что соответствует выбору градуса Цельсия в качестве единицы измерения температуры, получаем, что абсолютная температура совпадает с абсолютной газовой температурой. Таким образом, газовая температура может быть точно определена, несмотря на то, что свойства реальных газов не совпадают точно со свойствами совершенных газов.
Так как 6 = Т, то йЗ = —. Для простой системы (когда а= У, А =р) в слу- ~Ц Т ' чае обратимых процессов уравнение (4.5) примет вид: ТйЗ = йЕ+ ро'г'. (5.11) Соотношение взаимности теперь можно записать так: (Ж) +р=т('~~ Для общего случая "Е = т ~,ат) "Т+2' т [(а ) ° +" ~ "а 1 ! (5.12) з (л — 1) и уравнений вида: 2 ~,,д~ь )Т,аь' (,де~ )т, ап (5.13) Условие того, что последнее выражение есть полный дифферен- циал, дает и уравнений вида: Рассмотрим простую систему, когда независимые термоднна. мнческне параметры есть У н Т. Найдем внутреннюю энергию, энтропию н свободную энергию совершенного газа.
Уравнение состояния совершенного газа ро = )(Т. Соотношенне взаимности дает*: ~ ае) Т ~ар ), кт р = О. Се ~аТ ) С~(Т)' йе = с,(Т)йТ е = г) с,(Т)йТ+ е,. Внутренняя энергия всей системы Е = Фе = Ф (') с (Т) йТ+ еа ) (5.17) Для калорнческн совершенного газа имеем: с=с,Т+ е,. Найдем энтропию. Второе начало дает: йз = — = — + — = +)т —. йо йе рдо се (Т) ЕТ йо = Т Т Т Т о Интегрируя, получим: (5.18) Энтропия всей системы Я = Жз. В случае калорнческн совершенного газа получим: и =с,1пТ+с,(й — 1)1по+ з,, е Мы обоаначаем в этой главе ааглавными буквами адднтивные величины, относящиеся ко всей системе (Е, у, ), %', Л, Су и др.) и строчными буквами (е, о, (, ф.
а, с н др.) величины, относящиеся к одному молю. 36 Отсюда следует, что внутренняя энергия совершенного газа яв- ляется функцией только температуры. Так как так как Итак, з — з, = с,1п (То' ') или, используя, уравнение состояния, будем иметь з — з,' = с, 1п(ро"). Потенцируя, получим: р = ехр (':") о в А (в) о в. с ) (5.19) ф = е — Тз = ~ с (Т) г(Т+ е„— Т (), + )т 1п о + в ) Г с,(Т)ВТ является функцией температуры и объема. Свободная энергия калорическн совершенного газа есть т = с Т+ е,— Тв,— Тс,1п(То" '), Предположим теперь, что внутренняя энергия простой системы разделяется на сумму двух функций: одна функция только температуры (тепловая энергия), другая функция только объема (упругая энергия) е (о,Т) = е1 (о) + е, (Т). (5.
20) овнов термодинамическое соотношение дает = Тов — Рпо = Т ~дТ ) пТ+ ~ Т~ е,.1 — Р ~ Й~ = е, по+с ЙТ, в = в(о,Т), а штрихи обозначают производные. сюда имеем: (5,21) едствие чего 37 3то есть калорическое уравнение состояния калорически совершенного газа, Свободная энергия для совершенного газа т. е. энтропия тоже разделяется на сумму двух функций: одна функция только температуры, другая только объема; 2) Те,'(о)+ р = е,'(о); поэтому уравнение состояния р= Т1,(о)+ 1,(о); (5.22) 3) с,=~ — ) =с,(Т). (5.23) К таким средам принадлежат совершенный газ, среды, для которых справедливо уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, и др.
Для простой системы из условия, что ае = Т ~ — ~ ат+ ~Т (ф) — р1 Ь есть полный дифференциал, следует: Отсюда имеем (5.24) е(о, з) = е,(о) + е,(з). Основное термодинамическое соотношение Ие = Тйз — рдо = е, йз+е~ (о) ~(о дает р= — е~(о) = р(о), (5.25) т. е. среда баротропна. Из соотношения ~ †) = ( — ~ получаем: (5.26) з =з(Т), Рассмотрим теперь простую систему, когда за независимые переменные выбраны объем и энтропия. Предположим, что среда такова, что внутренняя энергия разделяется на сумму двух функций: одна функция только объема, другая функция только энтропии. Тогда нтропия есть функция только температуры.
Для таких т, е. э ред имеем с, = с„= с. (5.27) Легко видеть, что если Р =Р(о), то е = е, (о) + с, (з). аким средам можно отнести воду и некоторые другие жидко- грунт в определенном интервале изменения температуры и объема. рассмотрим обратимые процессы калорически совершенного газа. 1. Изотермический процесс йТ = О. Термическое уравнение состояния дает ро = йТ» = сопз1 или, переходя к безразмерным переменным, будем иметь: — — =1 Р Р1 т где р„о» вЂ” значения давления и объема в точке 1.
Уравнение изотермы для калорически совершенного газа есть равнобочная гипербола (рис. 2), асимптотами которой служат оси координат. Касательная к изотерме имеетугловой коэффициент — ~ Ир! р "" г 2. Обратимый адиабатический процесс. Калорическое уравнение состояния р ,дает: р = А (з,) о», так как для обратимых процессов из уравнения йЯ = Тйз следует, что при аднабатическом процессе йз = О, т.
е. обратимый адиабатический процесс есть нзоэнтропиче- р, скнй процесс. Отсюда следует (5.28) ро» = сопа1. Р» Рис. 2 Это уравнение называется адиабатой Пуассона или обРатимой адиабатой, график уравнения есть неравнобочная гипербола, асимптотами которой служат оси координат (см. рнс.2). Касательная к адиабате Пуассона имеет угловой коэффициент — ~ Ир! 5 39 Используя. термическое уравнение состояния, получим: (5.29) а = Мд, =1Ус„(Т вЂ” Т1), (5.30) где Т, и Т, — температуры в конечном и начальном состояниях н сл — — ~ — с,+~( — ) +р ~( — ).
(5.31) Для калорически совершенного газа с„— с,+ р~ — ) . гдо~ Разрешив его относительно ~ — ) и используя уравнение состоя- 1дт )л ния совершенного газа, получим: др ) сл — ср с„— ср ( в ср — с т Поскольку сл, с, и с постоянны, это уравнение легко интегрируется; с„— ср са — ср = о,Т, сл — ср с, — ср оТ Заменив в атом уравнении температуру Т на †, получим: яр К' ~ф сл сг сл ср сл ср — сл (5.32) ро = РЛ1 Постоянную в с" называют ср — сл значают буквой и.
показателем политропы и обо. 40 3. Процесс, во всех точках которого теплоемкость про цесса — ~ = с имеет постоянное значение, называется дв! дт), политропическим процессом. Тепло, получаемое системой в ре. зультате обратимого политропического процесса, равно: теплоеыкость с„ политропического процесса связана со зна- чениями нами теплоемкостей и, и ср следующим соотношением: ис„— ср п — й с= ' ' = с. и — 1 и — 1 (5.33) сЦ = с, ЙТ, + с, с)Т + р!Ь -1- рс(п . Используя уравнение состояния, преобразуем это выражение к виду: с((~ = с ЙТ + с, ЙТ вЂ” — (Т + Т ) с()з, в котором независимыми параметрами являются Т„ Т, и р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
