Часть 2 (1161646), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Отдельные точки называются узлами сетки. Функции дискретного аргумента, определенные на сетке, называются сеточными убункциями. В численных конечно-разностных методах дифференциальная задача заменяется или, как говорят, аппроксимнруется системой разностных уравнений. Совокупность разностных уравнений и краевых условий, записанных в разностной форме, называется ревностной схемой' ). Методы решения системы разностных уравнений, возникающей при записи разностных операторов для всех точек сетки, представляют самостоятельную проблему. Рассмотрим примеры сеток. а) Равномерная сетка на отрезке а(х<Ь (рнс.
14.1,а). Расстояние между соседними узлами й = х,+, — х; = (Ь вЂ” а) /Х называется шагом сетки. Множество узлов от — — (х;=а+ 1Ь, 1= = 1, 2, ..., тт' — 1) составляет сетку. В нее могут быть включены и граничные узлы от, = (х, = а+ 1Ь, 1= О, 1, ..., тт'). Сеточную ') Годунов С, К., Ря бень кнй В. С. Разностные схемы — Мл Наука, 1977. 5 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 269 функцию будем обозначать и<=и(х<), где и — решение исходной непрерывной задачи. б) Равномерная сетка на плоскости (рис. 14.1,б) х< = хо+ 1й„, 1 = О, 1, ..., <'т', у,=ус+(йм У=о, 1, ..., М. Шаги сетки й =х<+< — х, =(хи — хо)/Л', пз = У<ни У =(Ум Уо)/))У могут в общем случае не совпадать.
Сеточная функция узла (<,у)' обозначается и< о На практике могут использоваться более сложные конфигурации сеток. Функция и(х, у) может быть представлена на сетке различным образом: можно принять, что значение сеточной функции н ,ив-а иу зь <и Рис. <4Л. Примеры сеток: а) равномерная сетка нв отрезке, в) равномернвк сетка на плоскости узле (хо у,) равно соответствующей непрерывной функции в этой точке иы = и(х<, у<). Этот прием называется проектированием 1уункции на сетку. Если функция является разрывной, но интеграл от нее по любому конечному отрезку существует, то для и<и можно принять осредненное по некоторому промежутку значение и(х, У) х +и/3 — и (х, у) <тх.
1 Ь х< — Ь/2 Чем большее количество узлов сетки берется при решении конкретной задачи, тем на лучшую аппроксимацию непрерывного решения сеточными функциями можно надеяться. Но количество узлов сетки органичивается быстродействием и памятью ЭВМ, что заставляет использовать сетки с относительно неболыпим числом узлов. При разностной аппроксимации дифференциальных операторов входящие в дифференциальный оператор производные заме- 276 гл х1Ч. численнОе Решение 3АдАч ГАзовои динАмики и (хз + Ь) — и (хз) й ди ди Ь 1 ди ди Ь вЂ” Ь+ — — +...— из = — + — — + дх дхз 2 ' ' ' ~ дх дхз 2 Л и хи — — Из+ Окончательно получим Л„'и= д + Символическая вались 0(Ь) означает величину, имеющую тот же порядок малости, что и Ь.
Говорят, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный с порядком т в точке х =хе если разность их значений в этой точке равна 0(Ь"). В этом случае правая (аналогично левая) разностная производная имеет первый порядок аппроксимации. Разностное выражение Л+и определено на двух точках хз и х;+ Ь, т. е. имеет двухточечный шаблон. Для центральной раэностной производной получим а из ьз — из и (хз+ Ь) — и (х; — й) 1 Г ди ди Ь ди Ь вЂ” из+ — Ь+ — — + — — + 2Ь ~ ' дх дхз 2 дхз 6 да и йз дзи Ьз — — — + — — —.
дх" 2 дхз ди . — И1+ — Ь— дх ди дэи Ь дх ' дзз 6 няются разностными выражениями, являющимися линейной комбинацией значений сеточной функции на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Рассмотрим простейшие примеры. Обозначим Л и разностную аппроксимацию производной ди/дх. Разностная аппроксимация может быть введена несколькими способами: Л„и = — правая разностная производная (производ+ СЕ1 1 й ная вперед); и — и Лх и = — левая разностная производная (производ- Ь ная назад); Л„и = — центральная разностная производная. з 2й Разные аппроксимации производных позволяют конструировать разностные схемы с различными свойствами. Оценим погрешность разностной аппроксимации первой производной в точке хи Для этого разложим в ряд Тейлора функцию и в окрестности точки хи Для правой разностной производной имеем 5 2.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ИЛИ А„' = —,д" +О(йа), т. е. центральная разностная производная имеет второй порядок аппроксимации. Вторая разностная производная представляет собой разностную производную от первой разностной производной. Исходя из. этого вторую разностную производную можно представить следующим образом: 2 / и2+ — и,. л„„ А( Л Оценка погрешности показывает, что при таком представлении.
имеем второй порядок аппроксимации (З~ При этом используются три точки (х;+Ь, хи х; — й), т. е. взят трехточечный шаблон. Аналогичным образом оценивается порядок аппроксимации для дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение дзи ди —, + —, = у'(х,у). дх ду Заменив дифференциальные операторы разностными, получим уравнение и;„° — 2и2 +и; и; „— 2и; +и, х Ю которое аппроксимирует исходное со вторым порядком 0(Ь + +Ау). Свойство аппроксимации характеризует степень близости разностной и дифференциальной задач. Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений.
В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при атом надо иметь в виду, что 272 Гл.
хгу. Численное Решение 3АдАч ГАЭОВОЙ динАмики линеаризация нелинейных задач может существенно исказить представления об устойчивости разностной схемы. В теории разностных схем доказывается теорема: если разно,стная схема аппраксимирует дифференциальные уравнения и она устойчива, то при уменыпении шагов ее разностное решение сходится к решению дифференциальных уравнений.
Обладание свойством сходимости является обязательным требованием, предьявляемым к разностной схеме при численном решении дифференциальной задачи. Если сходимость имеет место, то с помощью разностной схемы можно вычислить решение и с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого шаг Ь достаточио малым. Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости л«разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы.
Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативнымн. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему не.трудно сделать консервативной. При решении задач газовой динамики возможны разрывы решения — ударные волны и тангенциальные разрывы. Наличие таких особенностей заставляет видоизменять алгоритм решения вблизи них, что значительно усложняет логическую структуру программы, особенно когда положение этих особенностей в потоке неизвестно.
Для преодоления этих трудностей создаГеннве ются разностные схемы, позворешение ляющие считать течение без специального выделения указанных особенностей, т. е. «сквозным» образом. Важно, чтобы на сильных разрывах, Рис. 14.2. Осцилллции решения лля которые представляются при вемоиотоииой разиостиой схемы этом областями непрерывного, но резкого изменения параметров, с точностью до ошибок аппроксимации удовлетворялись соответствующие законы сохранения. Схемы такого типа называются схемами сквозного счета. При сверхзвуковых течениях газа могут образовываться скачки уплотнения.
При расчета таких течений методами сквозного 273 9 3. метод хАРАктеРистик счета могут возникать осцилляции решения в окрестности скачков уплотнения (рис. 14.2) (1 — номер узла сетки). Эти осцилляции сильно искажают результаты счета и не являются проявлением неустойчивости схемы, а следуют из немонотонности разностной схемы. При расчете по такиы схемам применяют специальные меры по подавлению осцалляций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
