Часть 2 (1161646), страница 48
Текст из файла (страница 48)
ь — ( р' рассмотрим стационарное «х-сверхзвуковое» (и > а) осесимметричное течение. В методе расчета все переменные представляют в безразмерном виде, относя плотность, скорость, давление, удельную энтальпию к значениям при критическом режиме соответственно плотности газа р„„, скорости звука а„„ удвоенного скоростного г напора р„ра„р, квадрата скорости звука а„р, а все размеры — к некоторому характерному размеру й В задачах внешнего обтекания, особенно при гиперзвуковых скоростях, в качестве характерных масштабов лучше брать р, ьт„и р ьт', которые являются функциями числа Маха М и скорости звука а„. 5 «.
МЕТОД СКВОЭНОГО СЧЕТА ДЛЯ ДВУМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ 979 Решение ищется в области течения,(рис. 14.6) х) О, ограниченной: а) твердыми стенками, задаваемыми функциями г (х) и г+(х), или осью симметрии; б) границей струи, находимой в процессе расчета.
Опишем разбиение исследуемой области течения на ячейки. Разделим отрезок расчетной области с координатой х, на тт' равных элементарных отрезков Ь, =(г+ — г )/Х Точкам разбиения (~Ж 6 Ю я Й, цР,Ф и-г (а, т4 Р,Р) гз ., Граница сгяруи (и, и Р,ДУ„, Рис. 14.В. Разбиение ва расчетные ячейки (концам отрезков) присвоим в направлении снизу вверх номера п (п = О, 1, ..., тт'), а отрезком — номера п — 1/2 (п = 1, ..., У). Значения п = О и и =У принадлежат границам (нижней и верхней) области. Отрезок в сечении х=хо+Ь„, отстоящий по оси х на расстоянии шага Ь„, разделим аналогично на У отрезков и так же пронумеруем.
Соединяя точки с одинаковыми номерами, получим расчетные ячейки. Параметрам газа на каждом «элементарном> отрезке сечения хо присваивается нижний индекс (р Оз, п„ыз и т.д.), а в сечении х =хо+ ܄— такой же верхний индекс(р огз, и тгз и т. д.). Параметры на продольных границах ячейки обозначаются заглавными буквами с соответствующими нижними индексами (Р., Л„, У., тг„). Пусть известны параметры газа в некотором предыдущем сечении хо и отрезки Ь, Ь„, Ь„, т. е. геометрия ячеек в слое между хо и х = = хо+ Ь.
Запишем систему (6) для каждой элементарной ячейки. Разностная схема для определения параметров на правой границе каждой ячейки получается интегрированием по х от хо до ха+ Ь„с последующим применением теоремы о среднем при вычислении интегралов по граням и площади четырехуголь- 230 Гл. х1ч. численнОе Решение 3АдАч ГАЗОВОЙ динАмики ника (ячейки) в.плоскости х, г (рис. 14.6) (аЬ„)" н' = (ай„)„н, + (АА — Вй„)„— (АА — Вй„)„1 + + ч 2" (1Ь,)„ы, + ч —" (1Ь„)" '~'.
(8) Здесь введено обозначение 61 = г' — гь Правило присвоения ниж- них и верхних индексов распространяется на длины отрезков Ь, и ординаты точек разбиения. Если ввести обозначения а = рий„, р = (р + ри») й„'( = риой„ 6 = Чр»й»й„)(2г), Р = )2 (УА — 1гй«), (9) то уравнения (8) принимают вид а" "» =а -1,2+Є— Р„1 — 6„1п+6" Н2, Р«-112+(~ А)» (1 А)»-1+ (РР)» («Р)«-1 — «(иб) „2 (иб) "-112, (10) »«-112+(Р«-1 Р«)Ь«+ («Р)» () Р) -1 — (6) — и — ( 6)" ' (Ра)" "2 =(1»а)„1,2+(РР)„— (РР)„-1 — ~(Рб)„-1,2 — (Рб)" 112 ( 2 2 йу» Здесь Р— + — 1+ й — 1 р 2 2 полная энтальпия.) По известным а" "2, 6" и», "(«н2, Р" н» можно найти параметры и"-1" Р "' р" '" р" "2 в сечении х = хе+ Ь„по формулам Р= —, т а 6 — аи а ' ий«' й> (11) а составляющая скорости по оси х получается по значению эн- тальпии г'": и = — + 1гг — 1(2Р— — 2).
(12) / й»62 й 1 1 т» 1 (й+ 1)»а» й+ 1 ~ а») Из двух возможных решений для и принимают то, которое удовлетворяет условию и)а. Второе решение отвечает переходу в прямом скачке уплотнения к дозвуковому потоку. Если полная знтальпня потока в плоскости начальных данных постоянна, то она постоянна во всем потоке. В этом случае течение называется изознереетичесеиз«, а уравнение энергии для безразмерных переменных ааписывается в виде 2й р +Иг» й+ 1 й — 1р =й — 1' откуда и находится и.
Значения для «больших» величин (У, И, Р„, 22„) на продольных границах ячеек получаются из решения автомодельной 3». ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ДВУХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ПОТОКОВ 28$ задачи о взаимодействии двух полубесконечных равномерных сверхзвуковых потоков, которая будет описана в следующем параграфе. В правых частях уравнений (8) присутствуют слагаемые с верхними индексами п — 1/2, требующие итераций в процессе счета.
Опыт расчетов показывает, что достаточно двух итераций, причем в первой итерации используются параметры на слое х = х«. Если рассматривается течение сверхзвукового потока в канале с твердыми стенками, то параметры П, У, Р, В на верхней и нижней стенках находятся из решения автомодельной задачи обтекания плоской стенки с известным углом наклона 8 (х) к оси х, причем Ь (л) 188.«(х)=(г (х))'. Если же рассчитывается конфигурация затопленной струи, вытекающей в пространство с заданным давлением р, то «большие» величины находятся из решения автомодельной задачи о вытекании равномерного плоского сверхзвукового потока в область с пониженным или повышенным давлением. При расчете внешнего обтекания или расчете течения в воздухозаборнике в качестве одной из границ может быть взята ударная волна (характеристика), направление которой может быть рассчитано в ходе решения задачи о взаимодействии двух однородных сверхзвуковых потоков.
й 5. Задача о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков Параметры на верхней и нижней продольных границах ячейки определяются из решения плоской задачи о взаимодействии двух равномерных сверхзвуковых потоков (см. 3 9, гл. 1У). Потоки начинают взаимодействовать по прямой линии, проходящей через точку с координатами х = х«, г = гь где 1 = я и и — 4 для верхней и нижней границы соответственно. Возможные варианты решения задачи схематически изображены на рис.
»4.7. Двойные линии обозначают ударные волны, штриховые — тангенциальные разрывы, пунктирные — границы веера характеристик, сплошная прямая — возможное расположение продольной границы ячейки. Напомним, что на тангенциальном разрыве еме. ет место разрыв касательной составляющей скорости и произвольный разрыв плотности. Давление на таком разрыве непрерывно. Через тангенциальный разрыв газ не течет. На ударной волне наблюдаетоя разрыв нормальной составляющей скорости, плотности и давления, тангенциальная составляющая скорости непрерывна на таком разрыве.
Указанные линии разбивают плоскость течения на ряд областей, пронумерованных цифрами от 1 до 6. В областях 1 — 4 для случаев а — г и в областях 1 — 8 для случая д параметры течения постоянны. Вариант д относится к случаю, когда в об- 2д2 Гл. хгч. численное Решение зАдАч РАЭОВОЙ динАмики ласти о имеется вакуум. Стрелками иаображены направления взаимодействующих потоков. В первом приближении во всех случаях значения давления р и тангенса угла наклона скорости й =1ЙО = Р/и в областях 8 и 4 вычисляются по формулам Ро — 1!2+ до+На то — т/2 тм.-т(2 Р 2 2(( е ео — на (х (Р Ро 112) в~+1(2 + а (Р Рп+тзв)' Эти соотношения получаются, если для веера волн разрежения использовать условие совместности вдоль характеристик в виде (гл.
1У, $8, уравнение (51)) Ы, 1+,~ ~М Р=О, (15) рй"2 где верхний знак соответствует характеристикам первого семейства, а нижний знак — характеристикам второго семейства, г з' е— ъ. 1 а 2 ,.' о .. ' 2 о 1 ''. Рис. 14.7. К задаче о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков и произвести интегрирование через каждый веер характеристик. В результате интегрирования получим соотношение ь — ~з ч- а (р — р() = О, (16) в котором верхнему вееру соответствует знак минус и (=и+ + 1/2, а нижнему — знак плюс и 1= и — 1/2. Коэффициент а определяется из соотношения =т(( ~, УМ' — 1) (-( +1 та' — 1) ~, (111 где М (27а — число Маха 234 гл.
Х1т. численное Решение 3АдАч ГА30ВОЙ динАмики + 1/2; 7, вычисляется из соотношения 21сМ»Р. Ч 1/» у, = (р;К;'+Р; — Р) „ц ' '„П вЂ” 1~, (24) б, — угол отклонения потока при прохождении через ударную волну. Соотношения (21) следуют из условия совпадения направлений потоков в областях 8 и 4 (25) $8(8„1,» — 8„1М) = 1д(8„+1М+ 6„»1М) и из уравнения, справедливого для косого скачка уплотнения, г881 = Ъ(Р— Р1), (26) где / = п~ 1/2 и при вычислении коэффициентов используется значение р, найденное в предыдущем приближении.
Любой из случаев взаимодействия двух сверхзвуковых потоков, изображенный на рис. 14.7, может быть рассчитан с помощью приведенных соотношений. При этом параметры на продольной границе ячейки (»большие» величины, входящие в разностные уравнения) берутся равными параметрам той области течения, в которой располагается эта граница. Если луч, соответствующий границе ячейки, попадает в веер волн разрежения, то при определении «больших» величин используется линейная интерполяция по угловому коэффициенту данного луча. Если граница ячейки совпадает с твердой стенкой (или осью симметрии), наклон которой ь известен, то из решения задачи обтекания прямолинейной стенки равномерным сверхзвуковым потоком получается следующее соотношение для давления на стенке: Р = Р» + О ° 8Д вЂ” 1 (27) В случае струи с заданным давлением на границе р аналогично можно получить соотношение ь = Ы1 ~ 1(Р— Рз) (28) В выражениях (27) и (28) верхний знак соответствует верхней границе и / =У вЂ” 1/2, а нижний знак — нижней границе и 7 = 1/2.
Для увеличения точности приближенного интегрирования уравнений, описывающих взаимодействие двух сверхзвуковых потоков, используем замену переменной р на Р Р(» 1Ую Тогда формулы для вычисления Р и ~ совпадают с вьппепривеИенными формулами для вычисления р и ~, если в них ааменить 3 а Взливтодеиствие дВух сВеРхзВукОВых пОтОкОВ Реч р на р, а коэффициенты а, ссь Ъ заменить на сс, сс; и Ъ в виде +('и+,м' ~ — '(Мт — ()'"~ ~, (29) ~-(т рь Р— Р~ лйМ р в 1 т/и (р — р.) (р.ууз+ р. р) (й — т) р +(й+ И р Определив р, можно найти значение давления р=(р)т"'" ", а остальные неизвестные по соотношениям ($8), ($9) и (20). В ходе решения задачи о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков определяется также допустимый шаг по координате х из условия устойчивости. Из анализа устойчивости разностной схемы для линеаризованной системы гиперболических уравнений для двумерного стационарного сверхзвукового течения следует, что на шаг по координате х должно быть наложено ограничение Ь ~~ шш (Ь 1 Ь„т) и 1,2,...,т"т' — 1.
Рис. 14.8. К выводу условия устойчивости развостиой схемы (зо) Здесь Ь„я — расстояние вдоль оси х, на котором ударная волна или характеристика, образующаяся при взаимодействии сверхзвуковых потоков в узле г г достигает верхней продольной границы ячейки, Ь,и — аналогичное расстояние для нижней продольной границы ячейки (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
