Часть 2 (1161646), страница 47
Текст из файла (страница 47)
С этой целью к уравнениям приписываются специальные члены, называемые искусственной вязкостью, либо прибегают к сглаживанию результатов. При построении разностной схемы желательно, чтобы она была монотонной. Разностные схемы называются явньхми, если разностные уравнения можно решать последовательно от одного слоя сеточных точек к последующему, причем параметры в каждой точке нового слоя при л+ Й.
выражаются через уже известные параметры (обычно со слоя х). В противном случае схемы называются неявными. 8 3. Метод характеристик Метод характеристик применяется для расчета сверхзвуковых течений, при этом используются физические закономерности распространения в сверхзвуковом потоке слабых волн разрежения и сжатия, волн Маха.
Выше (9 7 гл. 4) были получены уравнения (47) и (48) характеристик первого и второго семейства, а также соотношения (49), выполняющиеся вдоль этих характеристик (условия совместности). В случае плоского течения условия совместности упрощаются (уравнение ~(51) 9 8 гл. 4). Если рассматриваемая область течения настолько мала, что коэффициенты в уравнениях характеристик и условиях совместности можно считать постоянными, то эти уравнения могут быть записаны в виде Иу=т| б(х, ду=твдх, (4) ЫО=тадр, г(О=тчдр, (5) К+1 К вЂ” 1 ~м' — 1 У'М' — 1 гдет,=, т,=,т = — ит = — 6+а ри ри постоянные коэффициенты, имеющие смысл угловых коэффициентов касательных к соответствующим кривым. Расчет методом характеристик ') представляет собой решение ряда типовых элементарных вадач определения координат точки в потоке и параметров газа в этой точке (рис.
14.3), а имен- ') К а д к о в а О. Н,, Н а у м о в а И. Н,, Ш м ы г л е в с к н й Д. Д., Ш улв ш н н н а Н. П. Опыт расчета плоских и осеснмметрнчных сверхзвуковых течений газа методом характеристик.— Мл ВЦ АН СССР, 1964; Ч ушк н н П. И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений.— Мв ВЦ АН СССР, 1968. 18 Г, Н. Абрамович, ч.
2 374 ГЛ. Х1Ч. ЧИСЛЕННОЕ РЕ1ПЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ но расчет точки: а) в поле течения (на пересечении двух соседних характеристик разных семейств); б) на твердой границе течения (на пересечении характеристики и контура тела„ заданного уравнением у = 1(х)); в) у оси симметрии; Г) на ударной Характеристика дтсроес семейств ктеристика ерйсга ейстса л* 8 2 арактеристика дтарагс семейства Характеристика лересес секейстйа а Осо истика Рнс. 14тя Элементарные типовые задачи метода характеристик Отсюда найдем значения хз и уз. Значения Ов и рз в точке 8' определяют подобным образом из решении разностных аналогов исходных дифференциальных уравнений совместности (5).
Для нахождения остальных параметров в точке 8' необходимо воспользоваться уравнениями (50) и (59) гл 1Ч и соотношением рИ11/р = йМв. волне, а также д) расчет течения Прандтля — Майера при обтекании угловой точки твердой стенки. Остановимся подробнее на расчете точки в поле течения (рис. 14.3, а). Пусть в соседних точках 1 и 2 с координатами х1, у1 и хз, уд известны параметры потока.
Из точек 1 и 2 исходят и пересекаются в некоторой искомой точке 8 две характеристики разных семейств. По известным параметрам потока определяемкозффициенты ш1 и тз дифференциальных уравнений (4). Точку пересечения характеристик можно определить (в первом приближении) как точку 8' пересечения касательных к характеристикам в точках 1 и 2 решением разностных аналотов дифференциальных уравнений (4) уз — у1 = ш1(хз — х1), уз — уз = тв(хз — хз).
% 3. метОд хлгяктегистик 275 Найденные с погрешностью значения хз, рз, оз, рз затем уточняются. Для этого коэффициенты язь пзз и т. д. вычисляются как средние от значений в уже найденной точке 8' н соответственно в точке 1 или 3. После этого определяются параметры течения последовательно в других точках (узлах) характеристической сетки и, таким образом, рассчитывается все поле течения.
Рис. 14,4, Расчет воля течевия. Характеристическая сетка Так, например, если на некоторой начальной линии АВ (рис. 14.4) в точках 1, 2, 8, 4 задано распределение параметров потока, то с помощью характеристик можно сначала рассчитать параметры течения в точках 5, 8, У, а затем в точках 8, д и т. д. Решение других элементарных типовых задач проводится аналогично с учетом индивидуальных особенностей каждой задачи. Решение задачи определения точки в поле при расчете течения занимает основную часть времени, поэтому составление рационального вычислительного алгоритма влияет на экономичность решения всей аадачи.
Прн расчете необходимо контролировать возникновение пересечений характеристик одного семейства, что является признаком появления в потоке ударных волн. При больших градиентах параметров в течении Прандтля — Майера шаг следует выбирать нз условия требуемой точности. При расчете точки пересечения скачка уплотнения и характеристики,(рис. $4.3,г) набегающий поток предполагается известным и равномерным. Используются известные соотношения на ударной волне.
Расчет в точке 8 проводится подбором наклона ударной волны методом последовательных приближений. Примерами использования метода характеристик могут служить: а) расчет профилированной сверхзвуковой части сопла Лаваля с равномерным полем параметров на выходе, рис. $4.5, а (расчет разгонного в пучке характеристик В~АВ и выравниваюгцего АВС участков с замыкающей прямолинейной характери- $8" 276 ГЛ. Хгу. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ стикой ВС, удовлетворяющей условию а = агсзш 1/М,) и б) расчет сверхзвуковой части сопла, не имеющего равномерного поля параметров на выходе, но реализующего максимальное тяговое усилие '), рис. 14.5, б.
Метод характеристик имеет следующие достоинства: 1) в методе используется физичная характеристическая сетка, 2) метод позволяет строго рассматривать (выделять) особенности течения (центрированные волны разрежения, ударные волны), = сопев Вг Вх В х а Рис. 14.5. Расчет сверхзвуковой части сопла Лаваля: а) сопло с равномерным полем параметров в выходном сечении, б) сопло максимальной тяго- вой составляющей 3) при расчете методом характеристик выстраиваются линии тока, 4) на характеристических линиях упрощаются дифференциальные уравнения.
К недостаткам метода следует отнести: 1) неприменимость метода к расчету дозвуковых течений, 2) сложность формы характеристических поверхностей, особенно при наличии взаимодействующих ударных волн, 3) трудоемкость расчетов. Эффективной модификацией метода является послойный метод характеристик, при котором расчет ведется по слоям. Каждый слой ограничивается координатной линией, на которой из физических соображений располагаются узловые точки в заранее намеченных местах.
4 4. Метод сквозного счета для двумерных сверхзвуковых течений идеального газа Для расчета нестационарных сверхзвуковых течений газа применяется ряд методов сквозного счета. Одним из наиболее широко применяемых методов является метод Мак-Кормака') второго порядка точности. Если использовать установление по времени, то с помощью этого метода можно найти решение ста- ') Крайне А. Н. Вариационные задачи газовой динамики.— Мл Наука, 1979. ') Ма с-Согша с)с К, %. ТЬе ейесс о1 ч1зсозну ш лауретте)ос)гу )шрасс сга1ег)пд у А1АА Рарег.— 1969.— № 69.— 354.
6 4. метОд скВОзноГО счетА для дВумеРКОГО течения 277 ционарных задач. При расчете стационарных чисто сверхзвуковых течений используемая система уравнений является гиперболической и без введения времени. Поэтому целесообразно при расчете сверхзвуковых течений применять методы сквозного счета непосредственно для интегрирования уравнений стационарного течения.
Необходимо учитывать также, что в сверхзвуковых течениях, как правило, при наличии скачков уплотнения и других особенностей имеет место гораздо ббльшая неравномерность параметров потока по сечению, чем в областях дозвуковых и трансзвуковых течений. Поэтому при расчете сверхзвуковой области методом установления требуется большее число расчетных точек и, как следствие, значительное увеличение времени счета. Для расчета чисто сверхзвуковых стационарных течений может быть использована схема Мак-Кормака, но при атом в окрестности разрывов наблюдаются осцилляции решения, связанные с немонотонностью схемы.
С. К. Годуновым ') для решения нестационарных течений газа предложена монотонная явная схема сквозного счета первого порядка точности. Эта схема не приводит к образованию осцилляций вблизи разрывов, хотя и дает меньшую точность расчета в областях плавного изменения параметров по сравнению со схемами второго порядка точности. Ниже будет подробно рассмотрена монотонная схема сквозного счета первого порядка точности, предназначенная для расчета чисто сверхзвуковых двумерных течений газа и являющаяся стационарным аналогом схемы Годунова з). В схеме Годунова параметры определяются из решения не- стационарной автомодельной задачи о распаде произвольного разрыва.
В рассматриваемом методе расчета параметры находятся из решения автомодельной задачи о взаимодействии двух полубесконечных сверхзвуковых потоков. Основные идеи метода расчета остаются неизменными при расчетах трехмерных сверхзвуковых течений. Отметим, что имеется возможность повысить порядок аппроксимации дифференциального оператора до второго с сохранением монотонности схемы з). Система интегральных уравнений ($15) — (117) из гл. 11 для установившегося двумерного (осесимметричного или плоского) течения идеального газа может быть записана в прямоугольной ') См. книгу С.
К. Годунова и др. з) Иванов М. Я., Крайко А. Н., Михайлов М. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений л ЖВМ и МФ.— 1972.— Т. 12, № 2.— С. 441 — 463. з) К о л г а н В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики у' Ученые записки ЦАГИ.— 1972.— Т. 3, № 6.— С. 68 — 77. ! 276 ГЛ. Х1Ч.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ системе координат х, г в виде те т+ — ~ ай =(аг' — Ь) ~ + т~ (дг. (6) Здесь т = 0 для плоского и т = г для осесимметричного случаев. Пределы интегрирования г+ и г зависят от х,г~=дг/Ых, г (х) < г ( т+(х). Векторы-столбцы имеют вид: рр Рир) (ьр' ~ те.1 1 т т рр рир р+ рр (е+ р) и ри р+ри рир (е+ р) и ь =- [ Итг ') Полная знергня единицы объема газа е = р [У+ — ), где )»т~= = и'+ уг. В развернутом виде зта система уравнений запишется так: те — ) ри е(т = (рит' — рр) ~ — т ) — е(г, а. 3 3 г т т« т» т» е( — (р+ ри') й = ((р+ ри')г' — рир) ~ — т ) — й, (' р т.ь "+ т+ () — (ь рирдг =(рирг' — (р+ рог)) ~ — т [ — '" й, йг,) г т т+ ~, ) (2(+Итг)Рий (ит' — Р)(2(+)гтг)Р ~ — т ~ — '" (2( ( Втг)е)т р Здесь знтальпия ( = — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
