Часть 1 (1161645), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Уравнение (81) называется дифференциальным уразнениелс возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое с/(р).
Тогда уравнение (81) будет содержать четыре параметра: й, а, с„, си Для каждой выбранной пары к и а можно найти собственную функцию ср и комплексное собственное значение с=с,+ 1си причем здесь с,— безразмерная скорость распространения возмущений, а сс — безразмерный коэффициент $ 3 пеРеход От лАминАРного РежимА к туРБулентнОму ят нарастания с,=с„(а, й), с~=с;(а, й). (82) Прп с; ( О рассматриваемое движение устойчиво по отношению к возмущениям рассматриваемой длины волны, а при с, ) О— неустойчиво. Случай с; = О соответствует нейтральным колебаниям и кривая с,(и, к) = О в плоскости сс,к отделяет область неустойчивости лампнарпого пограничного слоя от области устойчивости. Эта кривая называется нейтральной.
Наименьшее число Рейнольдса на нейтральной кривой является критическим числом Рейнольдса для данного течения. При числах Рейнольдса, меньших критического, возмущения любой длины волны затухают. При числах Рейнольдса, больших критического, имеются возмущения с определенной длины волны, которые нарастают.
Расчет нейтральной кривой для случая обтекания плоской теплопзолированной пластины потоком несжимаемой жидкости аб" лб' б и' гы М4 и' лб.* б Гб М' Гбт М4 Мг Лб- Рис. 6ЛЗ. Нейтральные кривые цля обтекания плоской теплоизолнрованпой пластины Рис. 634, Нейтральные кривые для обтекания плоской пластины потокоп газа прн М, = 0,7 '-) Ен. сноску на с. 294. выполнен В. Толмином и проверен Ц. Линем.
При расчетах было принято, что распределение скоростей в ламинарном погра'ничном слое описывается законом Блазиуса. Аналогичный метод малых возмущений был использован Ц. Линем и П. Лисом ') при исследовании устойчивости ламинарного пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой потоком сжимаемого газа. В етом случае уравнение нейтральной кривой может быть записано в виде )т (83) об Результаты расчета нейтральных кривых представлены на рис. ОЛЗ и 6.т4.
ГЛ УЕ ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Эти расчеты показали, что критическое число Рейнольдса уменьшается при увеличении числа Ме внешнего потока при отсутствии теплоотдачи от пластины. Охлаждение пластины приводит к увеличению критического числа Рейнольдса при постоянном значении числа Мм т. е. оказывает стабилизирующее влияние на пограннчяьш слой.
Таким образом, с помощью метода малых возмущений можно получить значение критического числа Рейнольдса. Начиная с того места на пластине, где число Рейнольдса достигает своего критического значения, начинают нарастать возмущения с определенной длиной волны. Далее вниз по потоку становятся неустойчивыми возмущения и с другими длинами волн.
Наконец, на некотором расстоянии от начала потери устойчивости ламинарное течение переходит в турбулентное. Критическое число Рейнольдса, определенное экспериментальным путем из наблюдения перехода ламинарного режима течения в турбулентный, соответствует тому месту пластины, где турбулентность потока приводит к перестройке всего течения. Поэтому найденные из экспериментов критические числа Рейнольдса обычно превышают по величине их теоретические значения.
Таким образом, метод малых возмущений позволяет определить лишь нижнюю границу значений критических чисел Рейнольдса, то есть дает те значения чисел Рейнольдса, меньших Р„„при которых ламинарное течение всегда устойчиво. Кроме того, с помощью этого метода можно выяснить влияние на устойчивость ламинарного пограничного слоя таких параметров, как Мо и Ты'То. Второй важной задачей, связанной с переходом ламинарного пограничного слоя в турбулентный, является вычисление основных параметров течения в переходной области.
В настоящее время нет строгой теории переходной области в силу сложности происходящих процессов, поэтому при проведении количественных оценок в переходной области приходится использовать различные эмпирические и полуэмпирнческие методы. Рассмотрим один полуэмпирический подход к определению параметров в переходной области. Область перехода заменим одной точкой, а в качестве условия сращивания решений для ламинарного и турбулентного режимов течения используем непрерывность изменения толщины потери импульса. Это условие является наиболее оправданным с физической точки зрения, так как изменение толщины потери импульса характеризует воздействие вязких сил и тесно связано с величиной сопротивления.
В качестве примера рассмотрим обтекание плоской теплоизолированной пластины потоком несжимаемой жидкости. Интегрируя уравнение импульсов (62) от 0 до 1, получим соотношение между коэффициентом сопротивления пластины длиной ) и эначени- 6 3 переход От ДАминАРИОГО РежимА к туРБучентному 343 ем толщины потери импульса в конце пластины С„= 2баа/(. (84) Это соотношение справедливо для любого режима течения, в том числе н для течения при наличии области перехода от ламинарного к турбулентному пограничному слою. Таким образом, для определения коэффициента сопротивления Сж достаточно определить толщину потери импульса в конце пластины.
Как показано выше, при ламинарном течении величина б** определяется формулой 6ьь 0,664 и р = ° = Уа„' Если через хир обозначить расстояние от кромки пластины до начала области перехода, а через Є— соответствующее число Рейнольдса, то толщина потери импульса в начале области перехода будет равна 0,664х„ бар= у —" (85) Прп турбулентном режиме течения в пограничном слое, как будет показано дальше (3 4), напряжение трения может быть выражено через толщину потери импульса. Для этого заменим число Рь в уравнении (131) через величину Йьь* = раиаба*/)ьа: ти /6"""~а'вь -аль — а,вь — = 0,0226 ~ — ~ Рьь» ' = 0,0126Рь*з Риз 6 а а Подставляя полученное выражение для напряжения трения в уравнение импульсов (62) и интегрируя в области турбулентного течения (от х„а до ь), получим б** [б*рь'вь ( 0 0158 ((нвьй — а,вь х~,вьР— а,вь))а,в (86) ра,ьвь ~ а,в Си, 0 073Р-а,в 1 "Р+ 33 (87) Эта формула справедлива при Р) Р„, и позволяет определить коэффициент сопротивления пластины в переходной н турбулентной областях течения.
Значения С , рассчитанные по формуле (87) при Й„, = 5 10ь, приведены на рнс. 6.15 (кривая 2). На этом же рисунке показаны значения С ° для ламинарного режима течения в пограничном слое (кривая 1), для турбулентного (кризая 3) и эксперн- где Р=раиа//ра — число Рейнольдса, подсчитанное по длине пла- стиньь Используя соотношения (85), (86), преобразуем формулу (84) следующим образом: Гл те теОРия пОГРАничнОГО слОя 344 ментальные данные, полученные для переходной области Геберсом '). Прн этом следует иметь в виду, что величина Йел зависит от начальной турбулентности основного потока и может быть определена в настоящее время только экспериментально.
Отметим, что величина критического числа Рейнольдса существенно зависит от многих параметров течения. Так, в области ускоренного внешнего потока величина Й„, увеличивается, а в области замедленного потока— уменьшается. Теоретическое определение нижнего критического числа Рейнольдса, характеризующего сечение пограничного слоя, в котором теряется устойчивость г движении, может быть выполнено, например, с помощью приме- 1 пения устойчивости к однопаралл г э ггтгэ г л гг1лп г 1 ггл метрическим профилям скорости (60). На величину критического числа Рейнольдса влияет также интенсивность турбулентности е внешнего потока, определяемая отношением среднего квадратичного значения пульсацпй скорости к средней скорости.
Согласно имеющимся экспериментальным данным, при малых значениях е (з ( 0,1 % ) Й„, не зависит от интенсивности турбулентности внешнего потока, и основной причиной возникновения перехода является потеря устойчивости. При б > 0,1 % возрастание интенсивности турбулентности внешнего потока приводит к значительному сокращению ламинарного участка течения (например, при в=1% протяженность ламинарного участка на плоской пластине почти в 4 раза меньше, чем при з = 0,1 % ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
