Часть 1 (1161645), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Полученные выражения позволяют уста- новить связь между т и б** т =2 — и. Роо ю о (65) Подставляя выражение для т из (65) в интегральное соотношение количества движения, которое при обтекании пластины имеет такой же впд (62), как в несжимаемой жидкости, и интегрируя, получим распределение толщины потери импульса и коэффициента трения б- ) ~'РР со = — = 0,685! х Роро Уа. Используя степенной закон для зависимости вязкости от температуры (4), окончательно получим (66) Для определения профиля скорости в физических координатах необходимо установить связь между переменными у и г = = ц/Ь, преобразовав первое соотношение (64) к виду Ч о б(ц=й) оо(з. "Ро Ро .)Р .)Р о (67) Если ограничиться случаем Рг= $, то зависимость температуры торможения от скорости будет линейной и согласно 20 Г.
Н. Абромоооо, о. 1 ц= ) — др, Г Р Ро о Л=~ —,' В„. о 300 гл. Р1. теОРня погРаничного слОя соотношению (48) Ро Т 1 1 з Ти < и Ти Ь вЂ” 1 з Г и гз Подставляя зто выражение в формулу (67) и интегрируя с использованием профиля скорости (63), найдем зависимость у от г у = взг'(г), Р (г) = —" г + 1 + — Мо — —" То ~ 2 о Т ) Ь вЂ” 1 1~4 з 8 з 2 в Мо гз гз с гв з 2 5 ) + — г — — го+ — г ). 4 1 1 зг 7 2 9 Так как у =6 при г =1, то б = 11Г(1), Р(1) = — + — — "+ — — М. 7 3 Ти 374 — 1 з 10 10 Т 315 2 (68) (69) Тогда соотношение Р РР) б РЩ и соотношение (63) дают в параметрической форме распределение скорости в пограничном слое сжимаемого газа на плоской пластине.
Так как б = боо/В, а боо связано с числом Рейнольдса формулой (66), то выражение (68) для толщины пограничного слоя примет вид и — 1 Преобразуя формулу для толщины вытеснения бе = ') (1 — — ) о(у = б — — Л риз 7 10 о и — 1 н подставляя значения Л и б из соотношений (68) и (70), по- лучим е 3. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ З07 и-1 х х-1 (72) (73) Результаты расчета коэффициента трения на теплоизолированной пластине для сжимаемого газа по формуле (71) при го 0,76, 7г = 1,4 показаны на рис.
6.7 штриховой линией. Сплошная линия соответствует точным значениям. На рис. 6.12 ч ДФ» ДР гг дв г л в в и Рис. 6.42. Зависимость толщины пограничного слоя, толщины вытеснения и толщины потери импульса на плоской теплоиэолирозанной пластине от числа Мс (Рг = 1, го = 0,76, 7с = 7,4) приведены значения толщины пограничного слоя, толщины вытеснения и толщины потери импульса иа плоской теплоизолированной пластине для различных чисел Мс при го = 0,76, ч чэ ге = 1,4.
Величины 6„ 6, б, представляют собой характерные толщины в несжимаемой жидкости, вьгшслениые при том же числе Рейнольдса, что и для сжимаемого газа. Зяачевие числа Мо существенно влияет на характерные толщины пограничного слоя, так при Ме=10 толщина пограничного слоя увеличивается в 6 раз, а толщина вытеснения — в 20 раз по сравнению с их значениями в несжимаемой жидкости.
Для сжимаемого газа при линейной зависимости коэффициента вязкости от температуры (со=1) приближенные значения напряжения трения и толщины потери импульса яе будут зависеть от числа Мо в полном соответствии с результатами численных расчетов, основанных иа использовании дифференци20е й $ 14 При отсутствии теплоотдачи Т = Те(1 + — Мо~, как следует из уравнения энергии (42). Тогда ю — 1 (71) ГЛ. Г1. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 308 альных уравнений пограничного слоя и описанных раньше.
Влияние сжимаемости будет проявляться лишь в профилях скорости и температуры и, соответственно, в значениях толщины вытеснения и условной толщины пограничного слоя. 5 3. Переход от ламинарного к турбулентному режиму течения в пограничном слое Ламинарное течение, как показывает опыт, устойчиво только прп некоторых условиях, определяемых значением критического числа Рейнольдса. При числах Рейнольдса, больших критического, ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное. Этот переход связан с возникновением в потоке незатухающих возмущений. Ксли образующиеся вследствие каких-либо внешних причин возмущения скорости и давления с течением времени затухают, то основное течение считается устойчивым, если же с течением времени ояи нарастают, то это свидетельствует о неустойчивости основного течения и возможном переходе ламннарного режима в турбулентный.
Исходя из такого предположения о природе перехода, можно попытаться определить значение критического числа Рейнольдса с помощью теории устопчивости. Рассмотрим плоскопараллельное течение несжимаемой жидкости, причем будем для простоты считать, что составляющая скорости У зависит только от координаты у, а составляющая скорости У всюду равна нулю. Давление жидкости Р в основном движении есть функция координат х и у. Течение в пограяичном слое можно приближенно считать именно таким течением, так как изменение продольной составляющей У в направлении координаты х значительно слабее, чем в направлении коордияаты у, а поперечная составляющая У мала по сравнению с величиной К Наложим на зто основное течение двумерное возмущающее движение, скорости и давление в котором зависят от времени 1: и (х, у, 1), и (х, у, Г), р (х, р, 1).
Тогда давление и скорости результирующего движения бу~дут равны р = Р+ р', и = 17+ и', и = и'. (74) Основное ламинарное течение должно удовлетворять уравнениям Навье — Стокса. Будем предполагать, что результирующее движение также удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса, а наложенные возмущения настолько малы, что можно пренебрегать квадратами возмущающих скоростей. В зависимости от того, затухает или нарастает с течением времени возмущающее движение, основное течение будет либо устойчивым, либо неустойчи- 9 3 ПЕРЕХОД ОТ ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА К ТУРБУЛЕНТНОМУ 309 вым. Подставляя значения (74) в уравнения Навье — Стокса и отбрасывая квадраты малых величин, получим ди' ди,Ю 1 дР 1 др' /дгТ ди' ди'1 — '+с/: +Р' — + — — + — — =У~ — + — + — ~, д1 дх,1у ' р дх р дх ( ду2 дхх дуй)' ди' ди' 1 др 1 др' /д~и' д М1 — + (/ — + — — + — — = У ~ — + —,), (75) д1 дх Р дУ Р дУ ( дх2 дуз )' ди' ди' р — + — =О, т= —.
дх ду ' р ' Учитывая, что основное движение подчиняется уравнениям Навье — Стокса, которые для рассматриваемого случая принимают впд — — — — — =О, 1 др д 1Т 1 др (76) р дх д М р ду ди' ди', <Ш 1 др' /д и' д и'~ — +1/ — +Р' — + — — = У вЂ” +— д1 дх дУ Р дх ~ дхз дуз)' ди' ди' 1 др' /д~и' д и' 1 — +(/ — + — — = — +— д1 дх Р дУ ( дхз дуз )' (77) ди' ди' — + — = О. дх ду Дифференцируя первое уравнение системы (77) по у, а второе уравнение — по х и исключая из полученных таким образом соотношений величину д'р'/дхду, т.
е. давление, получим уравнение, связывающее составляющие скорости возмущающего движения и и Р'. Это уравнение движения вместе с уравнением неразрывности служит для определения и и и. Граничные условия для течения в пограничном слое заключаются в том, что скорости возмущающего движения и' и и' должны быть равны нулю на стенке н на большом расстоянип от стенки, т. е. и'=Р'=О при у=О; и'=Р'=О при у=с . (78) Предположим, что на ламинарное течение налагается возмущение, состоящее пз отдельных колебаний, каждое из которых представляет собой волну, распространяющуюся в направлении х. Введем функцию тока для отдельного колебания в виде следующего комплеьсного выражения: $ (х, у, 1) = ~р (у) е'"'" "', (79) где ~р = ~р, + нр; есть комплексная амплитуда,а — действительная велпчпна, связанная с длиной волны возмущения соотношением получим для возмущающего движения следующую систему уравнений: Гл.
Ре теОРиЯ ПОГРАИИЧНОГО СЛОЯ Х = 2п/а; с = с„ + рс, — комплексная величина, с„ — есть скорость распространения волн в направлении х, а с, — коэффициент нарастания, от анака которого аависит, нарастают колебания или затухают. Если сс ( О, то колебания затухают и ламинарное течение устойчиво, если же с, ) О, то колебания нарастают и ламинарное течение неустойчиво. Физический смысл, конечно, имеет только действительная часть функции тока, т. е. величина Ве (ср) = еа" (ср„соз а (х — с„г) — сро з1п а (х — "с,л)). Составляя производные от функции тока, найдем для составляющих скоростей возмущающего движения значения М вЂ” — ср' (у) гоа(х — ссз дсР дд д Р' — — гаСР (У) Са(х — сс дх (80) Уравнение неразрывности при этом будет удовлетворяться, а уравнение движения, которое получается после исключения давления, принимает вид (4/ с) (ср.
асср) (/сср (ср ч 2аосрх + асср) Перейдем в атом уравнении к безразмерным величинам, для чего разделим все скорости на скорость вне пограничного слоя ио, а все длины — на толщину потери импульса 6**: — и — с ю = с/ = —, с хх — а = аб*о ср хх —. и ' и и о о о Тогда получим (Гс' — с) (ср" — асср) — с/"ср = — =(ср — 2аосрх+ асср), (81) аа где й= с/боо/т есть число Рейнбльдса для основного ламинарного течения, а дифференцирование ведется по переменной (у/боо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
