Часть 1 (1161645), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В этом случае из уравне- ния (110) следует, что при у =О, когда и = и = О, Дифференцируя по у уравнение (110) и учитывая уравнение неразрывности (101), получим д'т/дут = 0 при у=О, т. е. вблизи стенки напряжение трения остается постоянным: (113) Пренебрегая коэффициентом молекулярной вязкости 11 по срав- нению с коэффициентом турбулентной вязкости р, и подставляя вместо р, его выражение через длину пути перемешивания, по- лучим соотношение т =р('(~ ), которое при замене величины 1 выражением (112) принимает вид т = рлзуз (З ) и = — у — 1п у-~- С. а р (114) Проинтегрировав это уравнение, с учетом равенства (113) по- лучим 1 а турзулентпый пОГРАничныи слОЙ 321 Это соотношение можно записать в следующем безразмерном виде: — = — „1п — '+ С„ и 1 р,у 1115) гДе Ра = )l т„,/Р, У = — 11!Р.
Величина к, согласно результатам измерений, является универсальной постоянной турбулентного течения и равна 0,4. Вторая постоянная С1 зависит от свойств обтекаемой поверхности. Универсальный закон распределения скоростей (115), выведенный для течения вдоль плоской стенки, оказывается справедливым и при течении жидкости в круглой трубе. На рис. 6.16 проведено сравнение результатов расчета по формуле Г115) при и/и» Х д 1 г у чу ур.,Рва У Рвс. 616.
Распределение скорости в гладкой трубе. Кривая 1 соотзетстзует универсальному логарифмическому закону С1=5,5 с опытнымн данными для труб, полученными Никурадзе при различных числах Рейнольдса '). Следует отметить, что универсальный закон распределения скорости выведен в предположении, что в основной части турбулентного пограничного слоя коэффициент молекулярной внзкости мал по сравнению с турбулентным коэффициентом вязкости. Такое допущение оправдано лишь при очень больших чпслах Рейнольдса, поэтому универсальный закон распределения скорости следует рассматривать как асимптотический закон для очень больших чисел Рейнольдса. Опыты, проведенные при ') Шляхт яяг Г. Теория пограничного слоя.— Мя Наука, 1974. 21 Г. И.
Аоромооич, ч гл т1. теОРия погРАничного слОя 322 обтекании плоской пластины потоком несжимаемой жидкости. показывают, что при умеренных числах Рейнольдса распределе- нпе скорости хорошо описывается степенным законом (110)т причем величина п слабо зависит от числа Рейнольдса. Прп й.
= 10а — 10з можно принимать п = 7. Уравнения движения, энергии и неразрывности для турбулентного пограничного слоя сжимаемого газа могут быть также получены путем Осреднения по времени походных уравнений пограничного слоя (19) — (22). Для осредненных параметров эти уравнения принимают вид (при постоянной теплоемкости) = — — д + д ~(Р+ )лт) — 1~ '(117) ди ри д + Ри дТ дТ с„ри — + срор — = дх ' ду = и — + — ~() +)ат) — ~+()л+ рт) ~ — ), (118) др д Г, дТ) / ди)е дх ду ~ ' т ду~ ~ду)' — + — = О.
д (ри) д (ри) дх ду (И 9) и=и=О, Т=Т прп у=О, '(120) и=иа, Т=Та прн у=б. Для решения уравнений (117) — (119), кроме уравнения состояния и зависимостей коэффициентов )л и Л от температуры. необходимо знать значения коэффициентов турбулентного переноса )л, п ),. Ввиду отсутствия в настоя!нее времн законченной теории турбулентности определение этих коэффициентов носит полуэмпирнческий характер и основывается.на ряде гипотез. Поэтому при расчете турбулентного пограничного слоя обычно используют приближенный метод, основанный на решения интегрального уравнения количества движения (59). Прп. этом необходимо задавать распределен!ле скоростей и температур в пограничном слое.
Рассмотрим случай обтекания плоской пластины прп чпслэ Прандтля, равном единице. Сначала преобразуем ураэяенио энергии. Умножая (117) на и, складывая с (118) п вводя Здесь р, и Х,— коэффициенты турбулентной вязкости п 1урбулептпои теплопроводности, которые характеризуют пере!лцс количества движения и тепла за счет поперечных пульсацп~ скорости. Граничные условия этой системы уравнений имеют такрй же впд, как и для ламинарного пограничного слоя: 5 4 туРБулентнын пОГРАничныЙ слОЙ температуру торможения Т*= Т+ —,"', 2с„' получим дТА дТи д Г дТи1 ду ду((~ ' )т) ду1+ д [( р ) р 1+ д ~~р — 1) рт — ~. (121) дТт дТ* д Г дТт 1 Р ди +Р ду = ду (их+ )4т) ду 1 ° (122) др Так как при продольном обтекании плоской пластины — = ди = О, то из уравнения (117) получим ди ди д Г ди1 ри — + ру — = — ~(р+ р,) — ~. дт ' ду ду ~ ду ~' (123) Вследствие подобия у~равнений (122) и (123) решение уравнения энергии (122) может быть представлено в виде Т*=аи+ Ь, где неизвестные коэффициенты ных условий (120): и=О, Т*= Т,„=Ь; и=ни,' а и Ь определяются из гранич- Т"=Т,=аи,+Т„, а = (Те — Т„))ию Следовательно, Т* = (То — Ти) — + Ти.
(124) Прежде чем переходить к нахождению профиля скорости, пебходпмо отметить следующее обстоятельство. Вблизи обтекаемого тела число Рейнольдса, определенное по местным параметрам жпдкостл, может быть сколь угодно малым. Поэтому в этой ,бл итастп должно существовать ламинарное течение, где трение и теплообмеп определяются молекулярным переносом, т.
е. 44» -> 44. Л»Л,. Эта часть пограничного слоя называется ламинарл 444 иоде.тосА4. В остальной, основной части пограничного слоя лределяюп4ую роль играет перенос посредством турбулентных -"1* Величина Рг,=(ст44,)~Л, есть число Прандтля для турбулентных параметров. Согласно имеющимся в настоящее время данным число Рг, близко к единице. Поэтому в дальнейшем будем приникать Рт, = 1. Прн Рг = Рг, = 1 соотношение (121) упрощается н принимает вид ГЛ.
ЧГ. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 324 пУльсацнй, т. е. 1си Ро Л ьЛ,. БУдем считать, что число Рейнольдса на границе ламинарного подслоя не зависит от числа Маха Мо и интенсивности теплообмена лил л (125) согласно опытным данным коэффициент а равен 12,5. Распределение скорости в ламинарном подслое можно считать линейным: и р и б„' Закон распределения скорости в основной части турбулентного пограничного слоя может быть получен на основании анализа экспериментальных данных. (126) л/л й4 йб йл у/Ю Рнс. 6,17. Профиль сноростн з турбулентном пограннчнон слое сжннаомого газа на плоской пластине Результаты экспериментального исследования профиля скорости в основной части турбулентного пограничного слоя сжимаемого газа на пластине представлены на рис.
6.17. ОиазыЭ вается, что число Маха Мо и температурный фактор Т„= Т )Те мало влияют ка форму распределения скоростей. Поэтому степенной закон (116) будем считать справедливым и для сжимаемого газа. Найдем выражение для напряжения трения на стенке, используя (126): Р~( дут'и Р~ б (127) Так как на границе ламинарного подслоя значения окоростп, вычисленные по формулам (126) и (116), должны совпадать, то и„!по =(б,!6) "". Принимая для зависимости тсозффициента 826 Гл. Гг.
теОРия НОГРАничнОГО слОя Тогда выражение для напряжения трения (128) при и 7, от=* = 0,75 принимает вид а — 1 10 та (1+: М,1 ' ив аовв ! Л вЂ” 1 )1аг ~1 Т 2 в! Прежде чем переходить к интегрированию уравнения количества движения (59), которое в случае пластины выглядит так: (132) р ив необходимо еще найти связь между б*в и б. Используя профиль скорости (116) и профиль температуры (124), получим 1 бвв 6* ( в" +гав о 1+ 2 Мс)((1 — Т ) в+ Т„,) — 2 Мв б 6 о)( а — 1 1 — =1 — и( в"ов о (1+ 2 М~(((1 — Т„,) в+Та) — 2 Мвв Результаты расчета величин бей и бвв/6 для и= 7, )в=1,4 приведены на рис.
6 18, 6.19. в" 71 Рис. 6.18. Относительная толщина вытеснения для турбулентного пограничного слоя 04 Р Г 2 У 4 б Ю 7 4 У 4 4 в Для несжимаемой жидкости (при Мо= О, Т = 1) бвв и ' бв 6 (и+1)(и+2)' 6 и+1' )г — 1 ов 1+ — Ма 2 о! Интегрируя соотношение (132) с начальным условием 6 = О при х =О, получим распределение толщины пограничного слоя вдоль пластины 9 4 туРВулентный поГРАничныи слон 327 Подставляя найденное значение 6 из (133) в (131), получим выражение для коэффициента трения х — 1 4е,в /1+ — Мв1 2 После того как толщина пограничного слон найдена, толщина вытеснения и толщина потери импульса находятся по известным отношениям 6е/6 и 6*е/6.
Ф'/Ю ааа аале ~аг а 7 г а 44 л а 7 а а Мп Рис. 639. Относительная толщина потери импульса для турбулентного по- граничного слоя Коэффициент сопротивления пластины длиной 1 и птириной Ъ равен е ре"е Ы 2 После подстановки значения т из соотношения (134) и интегрирования получим 1 'е,в :м,' -' 2 в/ Результаты расчета коэффициента сопротивления по фгврмуле (135) для случая Т =1 (отсутствия теплоотдачи) представлены на рис.
6.20. Для несжимаемой жидкости при Ме = О, уг = 1 пмеем = 72 и поэтому 6„0,37 0,058 0,073 ае,в стн = ае,в г Си'н е,в х х ГЛ Уг. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Для определения теплового потока воспользуемся интегралом (124) уравнения энергии Г бГ ~;~„ро — Го (ду/ Это выражепие совпадает с формулой (48) для ламинарного бя бббб б а1у бб бб б,агг бб ЯУ бЯдбб ббагг бявгГ Хбз б б ббмг б б З.бпг г б ббГГ Ркс. 6.20. Коэффициент сопротивления пластины пря Т = 1 с (136) с ри (т,'— т„) 2 Соотношение (136) является следствием предположения о наличии аналогии между процессами переноса количества движения и тепла при Рг = Рг, = 1 (аналозия Рейнольдса) .
Изложенный метод расчета турбулентного пограничного слоя сжимаемого газа подтверждается результатами экспериментальпых исследоваиий. На рис. 6.21 приведены расчетные значения лл,гли бб Ркс. 6.21. Относительная скорость вз границе лвкяввркого подслоя бб ' йм йб йб йг бб дб т относительной скорости на границе ламинарпого подслоя (по формуле (130)) и опытные значения Лобба, Винклера и Перча '). Сравнеяие экспериментальпых и вычислепных коэффици- ') Л апик Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа.— Мл Наука, 1970. пограничного слоя.
Поэтому для безразмерного теплового потока имеем (при Рг„= 1) з а ОтРыВ погРАничного слОя 329 ентов трения для плоской пластины показано па рмс. 6.22. Сплошная кривая представляет собой расчетвое отношение с,/сьм вычисленное при одинаковых числах Рейнольдса, отнесенных к Рис. 6.22. Коэффициент трения яля турбулеитиеге пограничного слоя сжи- маемого газа толщине потери импульса. Черными точками обозначены экспериментальные значения этого отвошения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
