Часть 1 (1161645), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Влияние сжимаемости газа проявляется лишь в том, что профили скорости, температуры и плотности зависят от числа Мо и интенсивности теплообмена, как следует из формул (44) и (45) или (48). Для выяснения влияния числа Рг на параметры пограничного слоя рассмотрим обтекание пластины потоком сжимаемого газа при ю = 1. Число Прандтля будем считать постоянным, но 297 2 2 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ отличным от единицы.
Уравнение движения (36) при этом не изменяется, а уравнение зиергии (32) принимает вид ~" + Рг /4" = Л~е(1 — Рг) (/'/" ) '. Интегрируя это линейное уравнение с учетом граничных условий (39), (40) и преобразуя интегрированием по частям с использованием уравнения (36), получим у = а + (1 — а — Ло(1 — 02(00)])01(2))/О1( )+ Ло]/ 2 — 02(ц)] где 0 (Ч) = ч Ч = ) [/" (2))//" (0)) "0(ц, 0,(т~) = 2Рг ~ (/" (ц)) ") (/" (ц))' "0)2) 0)ц.
а о е Так как 02(0) = 1, д,(0)=0, то л'(0) = (1 — д„— Л',]1 — 02( ) ] )/02 ( ). Согласно численным расчетам в широком диапазоне изменения числа Рг справедливы приближевные формулы 1/0~ (0о) = 0,4696 Рг"2, 02(оо) — УРГ. Тогда выражение (34) для теплового потока к стенке преобразуется следующим образом: ди = 0 332срреиеТо ],1 — дю — Л00(1 — УРГ)] Рг М'й0 М' При обтекании теплоиаолированной поверхности (д = 0) из этого соотношения следует, что безразмерная равновесная температура стенки равна д о = 1 — Л',(1 — УРг).
Полученное выражение может быть представлено в размерном виде =Т ]1+ ~ ГМ), (52) где г= УРг — коэффициент восстановления температуры. Следовательно, равновесная температура при обтекании пластины отличается от температуры торможения внешнего потока, если число Прандтля не равно едииице. Например, равновесная темтература пластины при Мс = 5, Т = 100 К для воздуха (/0 = =1,4, Рг=0,7) будет равна 518 К, т. е.
Иа 13 е ниже, чем температура торможения (Те = 600 К). Таким образом, в этом случае тепловой поток пропорционален разности равновесной температуры и температуры стенки. ГЛ. УЬ ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Вводя безразмерный коэффициент теплоотдачи, получим 51 = " = 0,332 Рг мой,'~'.
сРРоио (Тио Тш) Коэффициент трения не зависит от величины Рг и может быть найден по формуле (37). Число Стантона и коэффициент трения связаны соотношением 51 = — 'сг Рг 2 Пограничный слой на плоской пластине является автомодельным и в том случае, когда число Прандтля и показатель степени ю отличны от единицы. Однако уравнения движения и энергии оказываются взаимосвязанными и совместное решение возможно лишь численными методами. Результаты расчетов Брайнерда н Эммонса, Крокко, Кона н Хартри ') показывают, что и в общем случае равновесная температура определяется соотношением (52). Коэффициент трения на пластине хорошо описывается приближенной формулой Янга Т '1 01-ъпо сг ~ й„= 0,664 0,45 + 0,55 — + 0,09 (й — 1) Мо Р Рг~ о (54) о а коэффициент теплоотдачи ъшжет быть вычислен по формуле (53) после определения величины сь В качестве второго примера реальных течений, для которых пограничный слой является автомодельным, рассмотрим течение вблизи критической точки для несжимаемой жидкости при в=1.
Так как скорость внешнего течения в этом случае линейно изменяется вдоль обтекаемой поверхности ио =ел, то (1 =1, и~~<<ГРТо. Тогда уравнения (31) и (32) принимают вид Тш + О ш + (1 — (") = 0; д ш + Рг )д' = О. В атом случае численные расчеты позволяют найти значение функции ((ц), причем )и (О) = 1,233. Используя соотношение (ЗЗ), можно определить значение коэффициента трения вблизи критической точки с, = 1,233/Уй.. Решение уравнения энергии записывается в следующем виде: д = д. +(1 — а.)0, (ц)!0, (-), Рг) Мч ъг,(ц) = ) е о Дц.
о ') См. сноску на с. 294. а 3, лАминАРныи пОГРАничныЙ слОЙ Тогда причем результаты численных расчетов аппроксимируются приближенной формулой 1/01(») = 0,57Рго,в В этом случае коэффициент теплоотдачи может быть найден по формуле 51 = 0,57Рг о,вй — о,в Выражения для коэффициентов трения и теплоотдачи имеют особенность, так как ио- 0 при х- О. Поэтому удобнее в качестве характерной скорости использовать скорость невозмущенного потока. При обтекании круглого цилиндра диаметром Н вблизи критической точки справедливо соотношение ив =4и х/И, с помощью которого можно представить формулы для коэффициентов трения и теплоотдачи в следующем виде: 9,86 х чц, 1,14 сг = — = ' —, 51— со р, в Д'р о ' огри (Т вЂ” Т ) Р„о,в )/а где и =ри д/1в — число Рейнольдса, подсчитанное по скорости невозмущенного потока и диаметру цилиндра.
Отличительной особенностью рассмотренного течения является то, что коэффициент трения линейно растет по мере удаления от критической точки, а коэффициент теплоотдачи сохраняется постоянным вблизи критической точки. Описанные результаты относятся к наиболее простым случаям течения в ламинарном пограничном слое. При более сложной форме обтекаемой поверхности и произвольном распределении параметров внешнего потока необходимо решать систему уравнений в частных проиаводных (31), (32) численными методами.
Наряду с разработкой численных методов были сделаны попытки создать приближенные методы расчета, основанные на решении интегральных соотношений, составленных для всего пограничного слоя. Составим интегральное соотношение импульсов при установившемся течении в пограничном слое сжимаемой жидкости. Применяя уравнение количества движения к элементу пограничного слоя длины о)х и единичной ширины, получим ($ 5 гл. 1) Р„= Л(~чр~ти), где Ь (~~р~ вви) есть изменение проекции ка ось х количества движения жидкости, протекающей за единицу времени через 6 2.
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ Проекции сил давления на ось х равны: в сечении 1 Р ~ = '(лоб) =Рой, в сечении Я Роо = — [Рой+ — 'дх1, на гРанице погуадб пичного слоя Р, о — — ро — дх. Сумма проекций сил давления о дх (лоб) дб Ро Рхо+ Рхо + Рхг — 2 = Роб Роб дх+ Ро дх = б д Тогда проекция равнодействующей всех сил, приложенных к выделенному объему, будет Р„= — (б — '+ „)дх. Подставляя найденные значения Л(Хлои) и Р„в уравнение количества движения, получим интегральное соотношение импульсов в пограничном слое 6 6 2 д Г дд, ~ риоду+и 1риду б о, т Ых од 1 = д ~ х.
о о (55) В этом уравнении ио и ро являются известными функциями х и определяются при расчете внешнего потока. Из уравнения движения следует Ыи — о = — р и — о. д = оодх Записав также очевидное равенство 6 6 д " д ди и — ) риду = — )рии ду — — о ) риду, дх дх дх Это уравнение можно получить и непосредственно из дифференциальных уравнений пограничного слоя, Для этого необходимо сложить почленно уравнение движения (19) с уравнением неразрывности (22), умноженным на (и — ио), а затем прибавить и вычесть ри дио/дх в правой части полученного со- отношения д ди ди д ( ди — (ри (и — и )) — ' ри — ' + — (ри(и — и )) = р и — ' + — ~р — ) дх дд о — о одх дд~ дд) подставим эти выражения в соотношение (55).
В результате имеем д до à — ~ ри(ио — и)ду+ — о ) (роио — ри)ду=т . (56) о о 302 ГЛ. У1. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЧОЯ я проинтегрировать в пределах пограничного слоя от О до 6 с учетом граничных условий. Введем теперь понятия о толщине вытеснения 6* и толщине потери импульса 60*, которые определяются соответственно следующими выражениями: ') (р и — ри)лу 0 60 — 0 Ра 0 Ра 0/ 0 (57) Ри (иа — и) ив 0 р и (58) й йи Ли (ра"О6 ) + раиаб Л = таи или и за .) 00 где И=60900. Если задать ааконы распределения скорости и температуры, то напряжение трения будет выражаться через толщину потери импульса 600. Тогда соотношение (59), которое является обыкновенным дифференциальным уравнением, может быть использовано для нахождения распределения величины 6** вдоль обтекаемой поверхности.
Рассмотрим сначала пограничный слой несжимаемой жидкости при заданном произвольном распределении скорости во внешнем потоке. Профили скорости в пограничном слое будем описывать многочленом четвертой степени (следуя Польгаузену) Эти величины имеют определенный физический смысл. Толщина вытеснения есть расстояние, на которое отодвигаются от тела линии тока внешнего течения вследствие уменьшения скорости и изменения плотности в пограничном слое.
Толщина потери импульса есть толщина слоя газа с постоянными параметрами и импульсом, равным разности импульсов потока газа с неравномерной плотностью тока, но постоянной скоростью иа и потока с перемеяными аначениями скорости и плотности. Используя введенные величины 60 и 600, интегральное соотношение количества движения (56) можно представить в виде 9 3. лАминАРный пОГРАничный слоя 303 причем для определения коэффициентов А„используем гранич- ные условия д и ри„ди„ дх и=О, при у=О, ду з д~и ду ди — =О, ду при у=6. и = и„ Второе условие при у = 0 вытекает из уравнения движения (26) п граничных условий на непроницаемой поверхности. Вводя безразмерный параметр 62 ди 63 др у дх ри дх' О получки (у = уЯ) — =(2р — 2у +у)+ — (у — Зр +Зу — р).
ио 6 (60) Используя (60), находим напряжение трения на стенке, толщппу вытеснения б" и толщину потери импульса б*х т„=)А(д ) =- — 6(2-Г б ), (61) б* 3 Л б** 3т Л Ах 6 10 120' 6 315 945 9012' Еслн теперь подставить полученные выражения в интегральное соотношение количества движения (50), то получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка для определения толщины пограничного слоя 6(х) или параметра Л(х), однозначно связанного с б. После того как распределение толщины пограничного слоя и параметра Л вдоль обтекаемого контура найдено, можно вычислить напряжение трения по формуле (61) и профиль скорости по формуле (60) в произволыэом сечении пограничного слоя.
На рис. 6.11 показаны распределения скорости в пограничном слое при различных значениях параметра Л. Профиль скорости при Л = 0 соответствует обтеканию плоской пластины. Профиль скорости в точке отрыва определяется условием т = О, в этом случае Л= — 12. При Л( — 12 имеется область возвратного течения, а при Л) 12 внутри пограничного слоя возникает область течения, где и/по ~ 1. Поэтому описанный приближенный метод расчета параметров пограничного слоя имеет смысл лишь при — 12 ~ Л < 12. Из анализа уравнения количества движения (59) вблизи критической точки, которая является особой точкой (ио =О), следует, что в этом случае Л = 7,062.
304 ГЛ. УЬ ТЕОРИЯ ПОГРЛНИЧНОГО СЛОЯ При обтекании плоской пластины интегральное уравнение количества движения (59) принимает особенно простой вид 06оо (62) р ио о о причем, как следует из соотношения (61) при Л= О, напряже, ние трения обратно пропорционально толщине потери импульса, 37 Выполняя интегрирование, получим распределение толщины потери импульса бо о вдоль пластины, а затем коэффициента трения с, и толщины вытеснения 6*: 6'о 0,685 сг = — = — ' 6» 1,75 рй х — — х— Эти значения близки к значениям, найденным при численном интегрировании уравнений пограничного слоя. .Ы оо гв 0,8 02 -0,2 ' 0 02 0л ав 08 уг'0' Рис. 6.11.
Распределение скорости в пограничном слое при наличии гра- диеита давления во внешнем потоке — = 2з — 2з'+ зо, "о л 1(63) Для сжимаемого газа, как показано выше, уравнения пограничного слоя в переменных Лиза — Дородннцына имеют такой же вид, как для пограничного слоя несжимаемой жидкости. Позтому следует ожидать, что зависимость скорости от переменной о7 в пограничном слое сжимаемого газа будет близка к зависимости скорости от физической переменной р для несжимаемой жидкости. При обтекании плоской пластины (Л = 0) по- ложим о а лАминАРнын ЙОГРАничныи слОЙ где ц — переменная Дородницына, а бо — значение этой пере- менной при у = б: (64) Используя (63) и (64), находим напряжение трения на степке и толщину потери импульса б ба о = ~(1 — — ) ~ ф = ~~1 — — ") — Вц = Вб, о о "оо причем коэффициент В имеет ту же величину, что и для пе- сжимаемой жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
