Часть 1 (1161645), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Критическое число Рейнольдса не постоянно п в очень сильной степени зависит от величины начальных возмущений, т. е. от интенсивности турбулентности набегающего потока. ГЛ ЧЕ ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 282 Экспериментальные исследования перехода ламипарного пограничного слоя в турбулентный на плоской пластине показали, что критическое значение числа Рейнольдса йир — †( †'Р ) 2300. (8) (Здесь и„— средняя скорость, гг — диаметр трубы.) Это значение является нижней границей критического числа Рейнольдса. При меньших значениях й турбулентное течение не может существовать даже при сильных начальных возмущениях. Если обеспечить вход жидкости в трубу с малыми начальными возмущениями, то критическое число Рейнольдса может превышать значение 400000.
Жидкость, заторможенная в пограничном слое, в некоторых случаях не прилегает по всей обтекаемой поверхности тела в виде тонкого слоя. Таким особым Р >11 случаем является движение вязкой жидкости вдоль стенки против нарастающего давле- — я=р ния во внешнем потоке (течение в днффузоре). Как показывают результаты многочислен- ~2'-"') =у ных опытов и теоретические оценки (з 2), давление остается постоянным поперек пограничного слоя, следовательно, продольный градиент давления, который имеется во внешнем потоке, оказывает влияние на весь пограничный слой. Если положительный градиент давления достаточно велик, то слон жидкости„прилегающие непосредственно Рис.
6.4. Схеиа образования отрыва пограничного слоя (Здесь х — расстояние от передней кромка пластины.) Наиболее характерным признаком такого перехода на пластине является резкое увеличение толщины пограничного слон и напряжения трения на стенке. Одной из особенностей пограничного слоя на пластинке является то, что вблизи передней кромки он всегда ламинарен и только на некотором расстоянии х„, начинается переход в турбулентный режим течения. Ввиду сложности движения в переходной области н небольшой ее протяженности обычно пренебрегают конечными размерами этой области, т. е. считают, что переход ламннарного пограничного слоя в турбулентный происходит прн х = х„ скачком.
Исследования течений в круглой трубе с острыми кромками входного сечения показали, что З 2. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 283 к поверхности тела и обладающие незначительным количеством движения, могут остановиться и даже начать двигаться в обратном направлении. Это явление, носящее название отрыва пограничного слоя, схематически изображено на рпс. 6.4. 5 2. Ламинарный пограничный слой Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решонии системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использовании вычислительных машин.
В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик лампнарного пограничного слоя.
Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока, Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию оолее простым путем. Такие методы можно получить, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения н энергии для всего пограничного слоя.
Прн этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости н температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения, Выведем дифференциальные уравнения для ламинарного пограничного слоя при установившемся плоскопараллельном течении вязкого сжимаемого газа, используя отмеченный ранее факт, что для маловязких жидкостей (при больших числах Рейнольдса) влияние вязкости и теплопроводности сосредоточено в тонком слое вблизи обтекаемой поверхности, т. е. б зт — «1, — «1, Гл уг ткОРия пОГРАничнОГО счоя бт 6т =- — ' 6= —, х х=— и и=— 1 о р У=в и с с р 1 сро т Т= —, Ро' л А= —, ~о р Р=— ро Р= "о — Р Р= причем ось х направлена вдоль обтекаемои поверхности, ось у— перпендикулярно к ней; и, Р— проекции скорости на оси х и у; Т, р, Р— температура, плотность и давление; )1, А — коэффициенты вязкости и теплопроводности, с, — удельная теплоемкость при постоянном давлении.
Величины с индексом О представляют собой параметры потока в некоторой точке вне пограничного слоя (например, в не- возмущенном потоке) . Тогда — — ди — ди Р др Ри=+ РР= = — —,=+ о ди ду р издс -Р. ) — [ а[ — —" — — — )] .$- — [а [= .,'-=)]), (9~ ди да Ро др ри. = +РР= = — — = + ди ду Роио ду — [' [„[' " — , '— '")]~.='[„['='+ — ")]) аа) Р и = (арТ) + Р Р = (срТ) = ди ду 3 д(ри), д(ри) + = = О. дх ду (12) Безразмерные величины роио умоо ' Ро Росра~ о где 1 — характерная длина обтекаемой поверхности, 6 — толщина динамического пограничного слоя, 6, — толщина теплового пограничного слоя.
Преобразуем уравнения Навье — Стокса, уравнение энергии и уравнение неразрывности ($ 5 и 6 гл. 11), вводя безразмерные величины следующим образом: 5 2. ЛАМИНАРНЫН ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ не зависят от числа Рейнольдса, тогда как остальные обратно пропорциональны числу Рейнольдса йо.' ° о Р и 1 ко Р и о о1 Й Рг' р и и ио (й — 1)Мо о о о о о Р, Ротог Роиог „т, Й, Здесь /г — отношение теплоемкостей; Мо — число М невозмущен- ного потока; Рг — число Прандтля, подсчитанное по параметрам вне пограничного слоя. Приступим теперь к оценке отдельных членов уравнений.
Ве- личины и, р, р, Т, 1г, А, ср имеют порядок единицы. При изме- нении х от О до 1 значения й, р, Т могут изменяться на вели- чину порядка единицы, поэтому производные дй/дх, др/дх, дУ/дх также имеют порядок единицы. Из уравненияверазрыввостпсле- дует, что, поскольку величина дй/дх имеет порядок единицы, такой же порядок имеет и величина дй/ду. Так как при у =О и = О, то Р будет порядка 6. Такой же порядок 6 имеет вели- чина дг/дх, При у=О и=О, а при у=б и=1, потому ди/ду — 1/6. Тогда т= т= +7 "= д (-ди ) 1 — ди — ди =) р=) =,, ри= 1 ри= — 1. ду ду 62 дх ду Тан как в пограничном слое члены, зависящие от вязкости, имеют одинаковый порядок с инерционными членами, то из пер- вого уравнения движения следует, что = или 6 1 йодо )/й„' 113) Эта оценка толщггпы пограничного слоя подтверждает более грубый подсчет, сделанный в з 1, Сохраняя в первом уравнении движения лишь члены, имеющие порядок единицы, получим — — ди, --ди 1 др 1 д Г ди 1 ри " + ри= = — —,=+— ду ЬМ2 ди Йо ду ~,~ ду ) Во втором уравненпп движения члены, зависящие от вязкости, и инерционные члены имеют порядок 6, следовательно, др/ду— 6.
Полное изменение давления па протяжении толщины пограничного слоя по нормали к стенке может быть вычислено путем интегрирования этого соотношения и имеет порядок 62, т. е. очень мало. Поэтому можно считать, что давление ГЛ. ЧЬ ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ в поперечном сечении пограничного слоя остается практически постоянным и равным давлению во внешнем потоке. Таким образом, второе уравнение движения может быть записано в виде р =О. (15) ду Для того чтобы перенос тепла вследствие теплопроводности был одного порядка с переносом тепла вследствие конвекции, толщина теплового пограничного слоя должна удовлетворять соотношению 1 — или 6т— Рга 6' о г )/К Рг' о Учитывая оценку для 6 (13), получим соотношение (16) дт 1 6 ~1~Рг (17) которое показывает, что при Рг — 1, т.
е. для газов, толщина ди- намического пограничного слоя будет одного порядка с толщи- ной теплового пограничного слоя. Так как -др — др — д ) — дг 1 и= 1, и= Р, =~~Х=~ 1, дх ду дх (, дх =(1=) =, [2(=) .гг(=') — г (=-г=') ) — 1, то, оставляя в уравнении энергии члены порядка единицы, Произведем аналогичную оценку для отдельных членов уравнения энергии. Так как число Прандтля для газов близко к единице, то множитель 1/Ргкэ, стоящий перед членами, зависящими от теплопроводности, будет малым при больших числах Рейнольдса. Следовательно, члены зависящие от теплопроводности, будут иметь одинаковый порядок с членами, зависящими от конвекцпи тепла, только в том случае, если градиент температуры дТ/ду велик, т.
е. вблизи обтекаемой поверхности имеется тонкий слой жидкости, в котором происходит резкое изменение температуры в направлении, перпендикулярном стенке. Пусть толщина этого теплового пограничного слоя будет' бг, тогда 1 2. лАмннАРныи погРАничный слОЙ 287 получим ри = (С„Т) + ру =(СРТ) = д ду =: и = + — = ( Х = ) + — ((с — 1) Мо)г ~ =) . (18) Ь вЂ” 1 — др 1 д ( — дТ1 1 2 ди и ди Ргз ду (, " ду г '1 ду) Возвращаясь в уравнениях (14), (15), (18) к размерным переменным п присоединяя уравнение неразрывности (12), по- лучим дифференциальные уравнения ламинарного пограничного слоя для установившегося плоскопараллельного течения сжи- маемого совершенного газа: ди ди др д ( ди 1 ри — + ри — = — — + — ((А — (, ди ду ди ду ( ду/' (19) — =О, др ду д д др д ( дТ 1 (ди 1 ри — (с Т) + рр — (с Т) = и — + — ( Х вЂ ) + р ( †) , (21) ди ду " ди ду (, ду / (, ду ( д(ри) + д (ри) О (22) .ди ду Нтобы замкнуть данную систему, к уравнениям (19) — (22) нужно присоединить уравнение состояния р=рвт, (23) (20) а также определить зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.
Необходимо еще сформулировать граничные условия. Для непроницаемой стенки скорость должна удовлетворять условию и = и = О прп у = О. Для пронпцаемой стенки при подаче газа по нормали к поверхности со скоростью Р граничные условия записываются в виде и=О, у=и при у=О. Температура может удовлетворять условию отсутствия теплоотдачи на стенке (оотекание теплоизолированпой поверхности) — в этом случае дТ(ду = О при у = О; в другом случае температура стенки Т может быть задана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
