Часть 1 (1161645), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Возможны и другие граничные условия, например может быть задан тепловой поток на стенке. При у= задаются значения и=ио, Т=ТН где ио и То— скорость и температура внешнего потока. Так как толщина пограничного слоя мала, то уже на небольшом расстоянии от обтекаемой поверхности параметры потока практически совпадают с параметрами при у = .
Поэтому граничные условия можно задавать не при у =, а при у = 6, где 6 — толщина пограничного слоя, т. е. такое расстояяие от стенки, на котором, например, скорость отличается от скорости при у = меньше чем на 1 '(,. ГЛ. ГГ. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 288 Уравнение энергии (21) при с,=сопз1 удобнее преобразовать, вводя вместо температуры Т температуру торможения Та =Т+ изг'(2сг). Для этого умножим уравнение движения (19) па и и сложим с уравнением (21): Прибавляя и вычитая в правой части этого соотношения член и деля обе части равенства на сг, получим дТ* дгг 1 д 1 и . д (и~11 дг р дТ"' ри —. + рр — = — д ~ — (Рг — 1)=( — )~ + — ( —,— й (25) дг ду гр у ) Рг ду (, 2 )) ду(г Рг ду )' где Рг — число Прандтля, которое характеризует отношение теппа, выделяющегося за счет трения, к теплу, передаваемому за счет теплопроводности.
Число Прандтля пля газов обычно незначительно отличается от единицы. В табл. 6.2 пряведепы значения коэффициента вязкости, коэффициента теплопроводности, Таблица6.2 саге х дга ,1ег а м град Рг гаа аг град удельной теплоемкости н числа Прандтля для различных газов прн определеннон температуре. С ростом температуры коэффициент теплопроводностп увеличивается обычно несколько быстрее, чем коэффициент вязкости, но так как при этом немного возрастает также удельяая теплоемкость, то число Рг изменяется слабо. Поэтому очень часто при построении метода расчета параметров пограничного своя предполагают, что число Прандтля постоянно пли даже равно единице, При Рг = 1 уравнение энергшг (25) упрощается, так как первьш член в правой части равен О. Воздух Азот Кислород Гелий Водород Агшиак Водяной пау Углеиислыи газ Метан Фреев-12 300 300 300 300 300 300 373 300 300 293 1,846 1,782 2,072 1,977 0,894 1,06 1,210 1,499 1,114 1,22 2,62 2,57 2,67 15,2 18,3 2,44 2,52 1,66 3,42 0,98 1,007 1,041 0,920 5,193 14,31 2,158 2,038 0,851 2,24 0,600 0,71 0,72 0,71 0,68 0,70 0,93 0,98 0,77 0,73 0,75 2 х лАминАРныи пОГРАничный слОЙ 289 Систему уравнений (19), (22), (25) целесообразно преобразовать к виду, который является более удобным для исследования частных случаев течения, допускающих получение автомодельных решений.
Преобразованные уравнения также широко используются при применении численных методов расчета пограничного слоя. Как следует из соотношения (20), давление поперек пограничного слоя остается постоянным. Поэтому продольные градиенты давления в пограничном слое и во внешнем потоке совпадают. Дифференцируя по х интеграл Бернулли (9 4 гл.
1), который связывает значения давления и скорости при течении идеального газа, получим др "ио д. — Ровдо ди ди дио д 1 ди т Р, +Р, =Р, ° + ~~Р ди ду = а о д* ду 'т ду ) (26) Уравнение неразрывности (22) проинтегрируем от О до у, учитывая граничное условие для непроницаемой стенки и = О при у =О: (' р ( д(ри) д Р ди дх,) (27) Введем новые независимые переменные Лиза — Дородницына 5 (х) = ~ Ро)топо т(х т~ (х, у) = — ' ~ Р ду. (28) При этом производные произвольной величины (т' в различных системах координат связаны соотношениями до д0 дч дО др Рио дΠ— =рри — + — —, ди ойо о дз ди дЧ ' ду -)/2а дтт ' В качестве зависимых переменных введем безразмерные ве- личины д7 и Т* дЧ ' ' Т вЂ” — ай ч) = —..
19 Г Н. Абрамович, ч 1 Здесь и дальше индексом О обозначены параметры внешнего потока. С помощью полученного соотношения можно исключить давление из уравнения движения ($9): 291 9 2. лАминАРный пОГРАепзчный слОЙ тепловой поток к стенке дТ ') сррад1~иааТа /дд ) дд lю Рр (/2$ 1дч, ч=-а -=-( — ) =' (34) расстояние от обтекаемой поверхности ')/29 дп р (35) а ~" +))" =0 (36) при граничных условиях ДО) =/'(0) =О, ~'( ) =1.
Этот случай впервые был рассмотрен Блазиусом, причем решение уравнения (36) было получено путем применения разложения функции Т'(Ч) в степеппой ряд, асимптотического разложения для больших ц и последующей стыковки обоих разложений в некоторой определенным образом выбранной точке В настоящее время решение уравнения (36) легко может быть получено численными методами с высокой точностью. Значения функции и/иа = т'(т~) приведены в табл.
6.3. Соотношение (33) для определения трения на стенке в рассматриваемом случае принимает вид т~=рапо 2,,',У (О) 19* Индексом 1д обозначены параметры на поверхности обтекаемого тела. Для некоторых практически важных случаев течение в пограничном слое является автомодельным, т. е. не зависит от переменной 9. Рассмотрим продольное обтекание плоской непроницаемой пластины потоком несжимаемой жидкости с постоянным значением коэффициента вязкости при отсутствии теплообмена.
В этом случае с(иа/а(х=О, р=О, У=1, Ла=О, а уравнения движения (31) и энергии (32) становятся независимыми, причем уравнение энергии (32) имеет тривиальное решение я=1, т. е. температура сохраняется постоянной в пограничном слое. Так как граничные условия и коэффициенты в левой части уравнения (31) не зависят от $, то существует автомодельное решение Т(11), зависящее лишь от переменной ц, "= 1~'.:" которое может быть найдено из обыкновенного дифференциального уравнения 292 ГЛ.
УЬ ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Как следует из результатов численных расчетов (табл. 6.3), ~л (0)=0,4696, и формула для определения коэффициента трения принимает вид 0,664 с) о )..~ р роао "о Сопротивление пластины шириной Ь и длиной 1, которая обтекается потоком с одной стороны, равно ) И' = Ь) т ))л. о Подставляя значение т из соотношения (37) получим 0,664ЫРо"о Ро"о) и интегрируя, Следовательно, коэффициент сопротивления равен 2)Р 1,328 р иоЫ пластины будет (38) Толщина пограничного слоя не может быть определена точно, так как продольная составляющая скорости асимптотически Таблица6.3 Г(Ю я (ч) я (ч) У' Га) переходит в скорость внешнего потока (функция ) (т)) асимптотически приближается к единице).
Если условно за толщину пограничного слоя привять расстояние от стенки, на котором и = =0,99ио, то из табл. 6.3 следует, что это расстояние соответствует г) = 3,5, и следовательно, У роао Уа. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,0000 0,0469 0,0939 0,1408 0,1876 0,2342 0,2806 0,3266 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0,3720 0,4167 0,4606 0,5453 0,6244 0,6927 0,7610 0,8167 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 0,8633 0,9011 0,9306 0,9529 0,9691 0,9804 0,9880 0,9929 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 0,9959 0,9978 0,9988 0,9994 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000 э 2 ллминзгный ПОГРАпичвыя слой В тех случаях, когда при обтекании пластины скорость становится соизмеримой со скоростью звука или существенное значение приобретает теплообмеп, необходимо учитывать сжимаемость. Предположим, что зависимость коэффициента вязкости от температуры описывается степенной формулой (4), а Рг =1.
температура и величина )У могут быть выражены через искомые величины и параметры внешвего потока (штрихом обозначено дифференцирование по ц) т=т.— — т ~д+ — м,(д ) )~ л = ~д+", ' м', (, у*)] Граничные условия имеют вид )(0)=)'(0)=0, )'( )=1, л(0) = л илп л'(0)= О, д( ) = 1. (39) (40) Если температура стенки постояппа (д = сопэ~) или тепло- обмен отсутствует (д'(0)= 0), то система уравнений (31) и (32) имеет автомодельное решение. При этом уравнения в частных производных (31) п (32) становятся обыкновенпыми дифференциальными уравнениями (Л7")'+1~- =О, (Мд')'+9'=О. Из сравненпя этих уравнений следует, что искомые функции д и )' связаны линейной зависимостью у=а+ Ь(, причем неизвестные коэффициенты а и Ь могут быть определены из граничных условий.
В зависимости от вида граничных условий для температуры можно выделить два частных случая. Если обтекаемая пластина теплоизолирована, то д'(0)=0 и Ь=О, д( )=а=1. Следовательно, в этом случае температуРа торможения остается постоянной в поперечном сечении пограничного слоя, а температура поверхности равна температуре торможения внешнего потока т„= т,'=т,~1+", ' м,'). (42) Для определения профиля скорости и напряжения тревия па степке необходимо решать одно обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка (41) ф — , '~:1м', (1 )')) у" ( + уу" = О (43) с граничными условиями (39).
Если функция ((Ч) при заданных значениях Мо и ю пайдепа, то можно определить профили скорости и температуры в 296 9 а ллминАРиый погРАнпчный слОЙ Тогда Ти Т„ — = (1+ — М, — 1 1'+ — — — М,(', (48) и вместо уравнения (41) получим новое уравнение 1+ 2 Мо Т 7+Т 2 МоТ 7 +77"=О. (49) Граничные условия (39) при этом остаются справедливыми. Расчет профилей скорости и температуры по уравнению (49) для различных чисел Мо нри ат = 0,76 и Т тТо= 0,25 также был Т/Тг га Рис. 6.6. Распределение температуры в ламинарном пограничном слое ва теплопзолированвой пластине прп Рг = 4, ы = 0,76, гг = 54 г гг игл С- г' П,Ю5 655 О,лл 5 г л 5 В ма Рис. 6.7, Коэффициент трения для ламинарного пограничного слоя ва теп- лоизолированной пластине при Рг = $, зг = 0,76, Тг = 1,4 числа Мо, отношения температур Т |То и показателя степени ат. Для определения удельного теплового потока д используем соотношение (34).
Так как д'(0) =(1 — ~ )~ч (О), то при Рг= 1 (о Т) (50) о Озоди безразмерный коэффициент теплоотдачи (число Стантона 51) и выражая напряжение трения т„через коэффициент гз гв гг ядТ . т/ гл проведен Карманом и Цзяном. Результаты расчета показаны на рис. 6.8, 6.9. Коэффициент трения может быть подсчитан по формуле (46), причем величина Тв(0) будет в этом случае зависеть от ГЛ. ЧГ. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ тренин с, (46) получаем 51= Таким образом, если коэффициент трения с, найден, то легко определяется число Стантона. При линейной зависимости коэффициента вязкости от температуры (от = 1) уравнения (43) и (49) совпадают с уравнением (36) для несжимаемой жидкости. В этом случае функция и/и, (51) Рис.
6.6. Распределение скорости в ламинарном пограничном слое на пластине при наличии тепло- отдачи н Т~~Тс = 0,25, Рг = 4, го = 0,76, А' = 4,4 а г а в в и гг я У(ц) и, следовательно, величина Уи (О) не зависят от числа Мо и температурных условий на обтекаемой пластине. Тогда формула для определения коэффициента трения (46) превращается в соотношение (37), полученное для несжимаемой жидкости, Рис. 6.9. Распределение температуры в ламинарном пограничном слое на пластине при наличии теплоотдачи и Тч/Те = 0,25, Рг=4, го=0,76, 1=4,4 а формула для коэффициента теплоотдачи (51) принимает вид 51 = 0,332/УК..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
