Часть 1 (1161645), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Еще более сложным образом на переход влияют масштаб турбулентности и шероховатость обтекаемой поверхности. ги 1гэ г Рис. 6Л5, Коэффициент сопротивления плоской пластины в переходной области 3 4. Турбулентный пограничный слой ') Совреиенное состояние гидродинапикп вкэной жидкости/Под ред. С. Гольдштейна. Т. 2,— Мл ИЛ, 4948.— 408 с. Уравнения движения, энергии и неразрывности для турбулентного пограничного слоя могут быть получены путем осреднения по временп исходных уравнений пограничного слоя (19)— (22). Для простоты рассмотрим сначала несжимаемую жидкость. Разложим турбулентное течение на осредненное движение и на пульсационное движение. Обозначив осредненное по времени вначение составляющей скорости и через и, а пульсационную скорость — через и и т.
д., получим следующие выражения для з 4. туРБулентныи пОГРАничныЙ слои 315 составляющих скорости, для давления и для температуры; и=й+и', и=9+о', р=р+р', Т=Т+Т'. (88) Под средним значением здесь и далее мы имеем в виду средние значения по времени в фиксированной точке пространства, на- пример: — Г и = — ) и ссС. (89) со Для осреднения необходимо брать такой большой промежуток времени с, чтобы осредненное значение не зависело от времени. Тогда осредненные по времени значения пульсационных величин будут равны нулю: й'=й'=р'=Т'=О. Из определения (89) со+ с — и с+ à — с ) с,+с — Г и+У= — ) (и+У) — и ссС = и + о.
(91) с 'о со со б) (91) Действительно, со ' с 1 à — ) и ссс = и, с со так как,по определению, й не зависит от времени. в) йи = йй. Действительно, (92) со+ с с,+с (' ио = — ) иийс =и — ) уйс = ио. =с) с со о ди ди ди ди ' г) Действительно, (93) так как пределы интегрирования не зависят от х. а) Действительно, 'о+ с вытекают следующие правила осреднения: и+и=и+о.
(90) с,+с с тс 'о ГЛ. ЧЕ ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 316 Теперь перейдем к выводу уравнений турбулентного пограничного слоя. Для случая несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами уравнения (19), (20), (24), (22) принимают вид ди ди др д и ри — + рр — = — — + р —, дх ' ду дх (94) — =О, (95) дТ* дТх дТ д (и с ри — +сири — = Х вЂ” + р — ( — /, Р дх ду дут дуз 2 Р (96) ди ди — +— дх ду (97) Умножим обе части уравнения неразрывности (97) на ри и сложим его почленно с уравнением движения (94): д(й) д(ии) др д и дх +( ду дх ( д з' Подставим в уравнения (95), (97), (98), (99) вместо и, и, р, Т их значения из (88) и произведем осреднение по времени.
Используя правило осреднения (93),из (95) получим Р =-О. ду Используя правила осредпения (90) н (93), уравнение неразрывности (97) преобразуем и виду ди ди — + — = О. дх ду (404) Перейдем к осреднению преобразованного уравнения движе- ния (98). На основании правил осреднения (90) — (93) получим д(и ) д — з —,, д(и) ди'х — = — (и'+ 2ии' + и") = — + —, дх дх дх ' дх д (ии) д г — —,,—,; д (иц~ ди'и' ду ду — = — (ир + ии' + и'и +и'и') = — + —, ду ду ' дти дти д и' д и др др ду ду ' ду' ду ' дх дх Умнонсая оое части уравнения неразрывности на с„рТх и складывая его почленно с уравнением энергии, имеем д(иТ*) д(иТ") д Т д l и ср — +ср =Х вЂ” +р — ( — /.
дх " ду дух дуз(, 2 /' 5 4 туРБулентныи поГРАничныи слой З17 поэтому уравнение движения (98) после осреднения принимает вид д (и") д (и 9) ду ди' ди'и' дзй Р +Р = — Р— Р +Р дх ду дх дх ду дуз Вычитая почленно из этого соотношения уравнение неразрывности (101), умноженное на ри, и пренебрегая производной по х от пульсационных составляющих по сравнению с производной по у, как зто делается при выводе уравнений пограничного слоя, окончательно получим дифференциальное уравнение движения для турбулентного пограничного слоя — ди — ди др д ( ди ри — + ро — =- — — + — ( (г — — ри'о'!.
дх ду дх ду (, ду (102) Аналогичные преобразования проделаем с уравнением анергии (99). Так как д (иТ*) д (иТ*), ди'Т*' д (РТс( (дсТс) д и'Т*' д Т д Т + ~ ы дх дх дх ' ду ду ду ' дуз ду ди'Т*' ди'Тю,, ии' и' «и', « —, Тх'= Т'+ —, дх ду ' ' сг' то уравнение энергии (99) после почленного вычитания соотношения (101), умноженного на С,РТ*, принимает вид — дТс — дТс д ( дТ вЂ”,,(, д — I ди с ои — +с„РР— = — ~Х вЂ” — с рг'Т'!+ — и ()г — — рп'Р'), (103) дх ду ду ~ ду " ! ду (, ду ! причем -„а Тх = Т+ — ".
2сг' Сравнивая уравнения для турбулентного пограничного слоя (100) — (103) с уравнениями для ламинарного пограничного слоя (94) — (97), можно отметить следующее. Уравнение неразрывности и второе уравнение движения имеют одинаковый внд. Первое уравнение движения и уравнение знергпи для осредненных параметров турбулентного пограничного слоя отличаются от соответствующих уравнений для ламинарного пограничного слоя наличием дополнительных касательных напряжений и дополнптельных тепловых потоков. Простое истолкование этих дополнительных членов было дано Прандтлем.
Для изложения идеи Прандтля рассмотрим плоско- параллельное течение, скорость которого по направлению совпадает с осью х, а величина скорости зависит лишь от координаты у. Следовательно, й = й(р), й = О, причем пусть дй/ду) О. Механизм турбулентного течения можно представить следующим упрощенным образом. В процессе турбулентного течения 318 ГЛ. Уь ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ возникают жидкие объемы, каждый из которых на некотором расстоянии движется в любом направлении как целое с определенной скоростью. Предположим, что такой жидкий объем, возникший в слое с координатой у1 — Г и обладающий скоростью й(у~ — Г), перемещается на расстояние Г нак целое в направленпи оси у.
Когда этот жидкий объем попадает в слой с координатой уь то скорость в этом слое изменятся на величину 1 Ии ~ и' = и(у, — Г) — и(у,) = — ( — ) Г, ~Ь которая представляет собой пульсационную составляющую. При этом и') О. Аналогично жидкий объем, попадающий в слой у~ из слоя у1+Г, имеет большую скорость, чем окружающая его среда. Следовательно, пульсационная составляющая и' будет равна и' = и (у, +Г) — и (у,) = Я Г, при этом и' ( О. Путь перемешивания Г в известной степени аналогичен пути свободного пробега молекул в кинетической теории газов с той лишь разницей, что там происходят микроскопаческие движения молекул, а здесь — макроскопические движения турбулентных объемов. В общем случае длина пути перемешивания зависит от времени и может принимать положительные или отрицательные значения.
Поэтому пульсационная составляющая также зависит от времени (104) аф' Возникновение пульсаций снорости в поперечном направлении можно представить следующим образом. В слое с координатой у1 за счет каких-либо причин происходит увеличение скорости, т. е. появляется положительная пульсационная составляющая и') О. Жидкий объем, имеющий эту скорость й(у1)+ и', сталкивается с находящимся впереди объемом, имеющим скорость й(у~), и поэтому возникает поперечное движение, направленное в обе стороны от слоя уь Если в слое с координатой у~ происходит уменьшение скорости (и' (0), то жидкий объем, имеющий эту скорость, отстает от объема, имеющего скорость и(у1), и возникает поперечное движение, направленное с обеих сторон н слою уь На основании этих рассуждений можно сделать вывод, что величина поперечной пульсационной скорости и имеет такой же порядок, как и величина продольной пульсационной скорости и .
Как показано выше, ооъем жидкости, приходящий в слой у| с положительным значением и, вызывает ооычно отрицательную пульсационную скорость и'. Объем жидкости, приходящий в слой у1 с отрицательным значением и, вы- 2 4. туРвулкнтныи пОГРАничныЙ слОЙ З19 зывает обычно положительную пульсационную скорость и', т. е. п' = — 72и', (105) где 72 — коэффициент пропорциональности, имеющий порядок единицы. Тогда произведение и'О' будет обычно отрицательным, и поэтому осредненное по времени значение и'О' будет отличным от нуля и отрицательным Ввиду некоторой неопределенности пути перемешивания можно включить коэффициент и в эту величину.
Тогда получим и'и' = — Р( — ~, где Р = йр . 2 2 (106) Следует отметить, что все проведенные выше рассуждения относились к случаю положительного значения производной 2)й/2)у. Аналогичные рассуждения для йй/йр ~ 0 показывают, что в этом случае произведение и'у' обычно положительно. Тогда — ~ди) (107) 2! ди ~ ди ~ ду ~ ду . (108) Совершенно так же можно вывести формулу для осредненного значения произведения Р Т, если предположить, что механизм переноса тепла подобен механизму переноса количества движения.
В этом случае Т' = РОТ)иу, н поэтому У'7" = — Р~ — „ (109) Выражения (108) н (109) получены для частного случая течения, когда й = й(у), однако опн могут применяться н в общем случае распределения скоростей в пограничном слое. Используя соотношения (108) н (109), уравнение движения (102) н уравнение энергии (103) преобразуем к виду ди , ди др д Г ди 1 — — + ~„~(р рт) д, ~ (110) дТ дТ др д Г дТ1 ди 42 сррид +с ри д =и д + д ~(7+Хт) д ~+(р+)4т)(д ), (111) Формулы (106) и (107) можно, следовательно, представить одной формулой ГЛ. ЧЬ ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 320 где р, = р)'(д— ") есть коэффициент турбулентной вязкости, Ат = ср1 ( — ) — коэффициент туроулентной теплопроводности. з/ЗИ'1 ~ ЗР/ Здесь и далее черта над осредненными параметрами опускается.
Гипотеза Прандтля о пути перемешнвания оказалась весьма плодотворной, так как открыла реальные возможности для расчета турбулентных течений. Хотя длина пути перемешивания и не является физической постоянной для каждой жидкости в отличие от молекулярных коэффициентов вязкости и теплопроводности, однако, она, как показывают опытные данные, не зависит от параметров потока. Длина пути перемешивания в основном является функцией координаты у. Так как при течении вдоль гладкой стенки в непосредственной близости от ее поверхности пульсации скорости равны нулю, то 1=0 прн у =О. Принимая простейшую гипотезу, что вблизи стенки длина путя перемешивания пропорциональна расстоянию от стенки 1/ йу, (112) можно получить, следуя Прандтлю, профиль скорости в турбу- лентном пограничном слое при течении несжимаемой жидкости вдоль плоской пластины (др/дх = 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
