В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Рассмотрим частный случай .-. монохроматическую бегущую волну. Решение задается в виде ~р = Аехр [2(кт — ы 1)]. (7.12) Здесь й -.- волновое число, ш —. частота волны, А -- амплитуда. Г!одставляя (7.12) в (7.8), получим 2 — = а, у = Аехр [ей(х + ас)]. (7.13) Первая формула (7.13) называется диспсрсионным соотношением. Из нее следует, что лкубая монохроматическая волна независимо от ее частоты движется с одной и той же скоростьк1 а.
Впрочем, этот результат непосредственно вытекает из общего решения (7.10). Звук в релаксирующем газе Рассмотрим теперь распространение звука в газе с релаксацией. В качестве модели газа используем модель сжимаемой среды, описыва1ощую течение совершенного двухатомного газа с колебательной релаксацией. Исходные уравнения имеют вид де д1 6 = срТ + еи(Ти), Р = РР1Т, Здесь уравнение релаксации (последнее уравнение (7.14)) взято в нелинейной форме. Исключим из третьего уравнения энталь- пию Ь,.
Цепочка формул имеет вид 6 = — — +е,(Х ) = — — +е (Т,), 11р ' у — 1р 1 др у р др де 1 с~р лг, 1 2 илу д1 р,ц др, Ни 1 —,— + с((1и (ри) = О, --. + — 8гас( р = О, д1 сИ р Нс 1 др — — — — — =О, ду р ду (7.14) е,(Т) — е,(Т ) т(р, Т) Звук е релакеируюоСем газе 51 Приводя подобные члены и деля на коэффициент при сср/с1с, получим сср 2 сср с1е — — ас — + Р(7 — 1) = О, сИ сИ сй ас — — —.
(7.15) Р ч = 4, р = ро + р', р = ро + р', Т = То + Т', Т, = То + Т,'. (7.16) Рассматриваются малые возмущения однородного равновесного состояния покоя, поэтому Т,о = То, хотя возмущения колебательной температуры Т, отличаются от возмущений поступательной температуры Т. Подставим (7.16) в (7.14), (7.15) и, отбрасывая малые величины второго порядка и выше, получим дч 1 + йгадр = О, д1 ро др' дС + ро с1сч ч = О, — — ас — + Ро("с' — 1) е„" = О, (7.17) др' з др' .
дТ„' дТ„1,, Т р р ~, де д1 то То ро ро 1 с1Т т ) Коэффициенты ас~ и е вычисляются, очевидно, в состоянии покоя. Здесь е теплоемкость второй подсистемы, т.е. теплоемкость колебательных степеней свободы. Из второго уравнения (7.17), как и ранее, очевиден безвихревой характер движения. Снова введем потенциал скорости ч = огай со.
Первые два уравнения (7.17) дают (7.18) др' д1 — +Росхср=О, Р = — Ро —, др дс (7.19) Напомним, что величина 7 = ср/с, содеРжит теплоемкости, относящиеся только к первой подсистеме, т. е. к поступательным и вращательным (активным) степеням свободы молекул. Поэтому далее будем величину ас называть, замороженной скоростью звука. Для получения решения с малыми возмущениями положим Лекция 7. Теория звука. Диепереия и поглощение Из оставшихся трех уравнений (7.17) исключим возмущения Т' и Т„'. Вначале исключим Т'. дт„' 1 /то, т д1 то (кро Ро (7.20) Продифференцируем по 1 третье уравнение (7.17) и уравне- ние (7.20): — — — ае — —, + ро(з — 1) е, — —.-'- = О, д1 дог дег (7.
21) дз~' 1 (Т др' Т др' д10 то ~ро де ро д1 д1 ) Исключим из этих двух уравнений д~Т'/де~, а производную дТ'/д1 подставим из третьего уравнения (7.17). Приводя подобные члены, получим (7. 22) —, — аг Ьу + —,, — а, Ьуз = О. (7.23) Здесь приняты обозначения т = то ........'+1, а~ = 2+а,~ ........'.+1 Упростим эти выражения: — 1 (лт торо т= то — — +1 ~, Ро ) Ро(7 — 1)е,То+Ро тоРО Вто тое» с»е (7 24) РоЬ вЂ” 1)е»то+ Райто с + е, с- Здесь с, — теплоемкость при постоянном объеме для первой подсистемы, т.
е. для активных степеней свободы, с», .-- суммар- где Л = ро(7 — 1) е . Подставляя сюда (7.19), получим искомос уравнение для потенциала Диспсрсионвос соотоошсвис 53 ная тсплосмкость при постоянном объеме, равная теплоемкости среды в состоянии полного равновесия. Аналогично, З ЛТо+исро Ро Ро(З вЂ” 1)с То+тро Ро ЛТо+Ро Ро РоЬ вЂ” 1)с„То+Ро Ро с РооТо+ соро Ро со+ с Ро со Ро Ро (7 25) — 7с с,роКТо + с Ро Ро с.
+ с. Ро с- Ро Ро (7.26) если начальное состояние отвечает этому условию. Возмущение распространяется с замороженной скоростью звука вп Пусть т — + О, т. с. процесс релаксации протекает быстро. Тогда д д дсо — асЬ~р = О, (7.27) т. е. возмущение распространяется с равновесной скоростью зву- ка: состояние газа даже при наличии звукового возмущения от:- вечает локальному термодипамическому равновесию. Дисперсионное соотношение Рассмотрим одномерный аналог уравнения для потенциала возмущснного течения (7.23) О Оор, О'р ~ О'р, О'р (7.28) Здесь срс -- теплосмкость равновесной среды при постоянном давлении. Таким образом, коэффициент и, имеет ту же структуру, что 2 и аг, только отношение теплоемкостей ус вычисляется в состоянии полного термодинамического равновесия. Величину а, называют равновесной скоростью звука.
Из формулы (7.25) следует неравенство ас ) ас. Отметим, что левая часть уравнения для потенциала скорости при малых возмущениях (7.23) имеет внд дифференциально-линейной комбинации волновых операторов с различными скоростями звука ас и ас. Рассмотрим предельные формы уравнения (7.23) при больших и малых значениях времени релаксации т. Пусть т — о со, т.е.
процесс релаксации протекает медленно (по сравнению со временем изменения параметров в звуковой волне). Тогда 54 Лекция 7. Теорил горка. Дисперсия и поглогцение Будем искать его рспггние в виде монохроматичсской бегущей волны 1о = А схр [1(н х — ео 1)]. (7.29) Подставляя (7.29) в (7.28), получим дисперсионное соотношение — гы( — огв + а~гй~) + — ( — ее~ + а~ге~) = О. (7.30) т Решение (7.29) описывает распространение по координате х малых колебаний, возбуждаемых каким-либо устройством, например, поршнем, колеблющимся в начале координат с частотой ео.
Имеется в виду развитая стадия процесса, когда колебания уже распространились далеко от источника. Свойства этого процесса в рамках решения (7.29) определяются величиной волнового числа й. Выразим его из (7.30) 1 — гегт Й =ы а, — 1цгтаг (7. 31) Отметим два обстоятельства. Во-первых, волновое число й является комплексной величиной 1е = 91+ 1/ез. Подставляя это представление а в (7.29), получим ~р = А схр( — йзх) ехр (1 а1(х — — 1) ).
(7.32) 1е~ ог , цг юг 2 2 й = — +$ — — 2(аг — а,) ае ае 2а, (7.33) Фазовая скорость длинных волн совпадает с равновесной скоростью звука ео/н1 = а,. Коэффициент затухания пропорциона- Ниже будет показано, что йз ) О. Таким образом, в процессе распространения колебаний вдоль оси х происходит уменьшение первоначальной амплитуды, т.е. затухание колебаний с коэффициентом затухания йз. Во-вторых, фазовая скорость волны равна величине ео/Й1, опа определяется пе только коэффициентами уравнения (7.28), но и частотой ы.
Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией. Перейдем к количественному описанию указанных явлений. Отметим прежде всего, что величина и/ео зависит от частоты через произведение ест. Поэтому отмеченная выше зависимость решения от частоты в определенном смысле аналогична зависимости от времени релаксации т. Рассмотрим вначале асимптотические представления решения (7.31).
Пусть еот « 1; при фиксированном т это соответствует длинным волнам. Пренебрегая членами (огг)г и вьппе, получим Диснсрсионнос соотношение оо лен разности а1 — а, > О. В другом предельном случае и1т » 1 (короткие волны при т = сопв1) в том же приближении имеем й = — + 1 З (ас ае) (7.34) ас 2тас Как и следовало ожидать, фазовая скорость коротких волн равна замороженной скорости звука аь Коэффициент затухания также пропорционален разности а1 — а, > О. Точные выражения для й1 и й2 следует определить из (7.31). Используем тригонометрическую форму комплексного числа, записав й = соте'~. Приводя выражение под радикалом в (7.31) к нормальной форме ае + (Озт) ас $ с1тае + 1 атос 2 2 2 .
2 . 211/2 й=ы а + а -т (мт) ае. и учитывая, что модуль га равен квадратному корню из модуля комплексного числа а + гЬ, а аргумент д равен половине аргумента числа а + 1Ь, получим т 1/4 ыт а2 — аи Ь1 = пносовд, Ь2 = тсов1пд. Точные формулы для фазовой скорости с = со/Й1 и коэффициента затухания 1с2 имеют весьма громоздкий вид. Следуя монографии ~9], проведем упрощения формул с учетом близости предельных скоростей звука. Для рассматриваемой модели отношение ас ус ае /е не превышает величины 49/45 — 1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
