В. П. Стулов - Лекции по газовой динамике (1161640), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Аналогичные данные для диссоциации двухатомного газа приведены в упомянутой монографии; отношение скоростей звука не превышает 1.2. Из второй формулы (7.35) легко показать, что Ф3 (2д) имеет максимум при ыт = ае/аь равный ас — а, 2 2 2 оса, ' т.е. 13(2д) всюду имеет порядок разности скоростей звука. Поэтому с учетом приведенных вылив оценок можно положить юпд д, совд-1, д— ыт (ас — а,) 2(а,2+( т)2а2)' 56 Лекция 7. Теория гаука. Диепереия и поглощение Качественное изменение фазовой скорости ог 1 Й1 гп 1кривая 1) и относительного коэффициента затухания к2 — = тВ ог 10о 10 10' (кривая й) в зависимости от оот приведено на рис.
7.1. Фазовая скорость монотонно изменяется между предельными значениями. Коэффициент затухания при малых и больших огт стремится к нулю. Обсудим кратко эволюцию малого возмущения произвольного профиля в релаксирующем газе. Пусть для простоты начальное возмущение, т.е. звук при 1 = О, занимает конечный интервал оси л. Легко себе представить, что возмущение произвольного профиля содержит как высокочастотные, так и низкочастотные составляющие типа 17.29). При движении такого возмущения в силу (7.33), (7.34) будет происходить затухание всех составляющих, т. е. начальная амплитуда возмущения будет уменыпаться. Далее, вследствие дисперсии будет происходить расслоение начального возмущения на высокочастотные и низкочастотные составля1ощие.
Иначе говоря, по прошествии некоторого времени, когда свойства начального возмущения будут озабытыо, установится режим, в котором передний фронт возмущения будет двигаться со скоростью об а задний фронт -- со скоростью а,. Поскольку ае ) а„область, занятая возмущением, будет увеличиваться.
Лекция 8 ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕт1ЕНИЯ ГАЗА. ХАРАКТЕРИСТИКИ Характеристики. Инварианты Римана. Изэнтропическое течение. Случай совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Течение типа простой волны. да д( ) „+,х — О (8.1) де дн 1 др — +х — + — — =О, д1 дх р дх (8.2) дк дз — +и — — =О, д1 дх (8.3) = (р а). (8.4) Неизвестные функции: п, р, р, з.
Очевидно, уравнение состояния (8.4) можно переписать в форме р = р(р, з). Вычислим полную производную от уравнения состояния: др др бр др дз +— 81 др сй дз сИ (8.5) В силу (8.3) дз,1с1г = О. Вспоминая, что аз = др/др~, и раскры- вая оператор с~/сИ, запишем др др, /др др'1 — +и — — а — +х — ) =О. д1 дх ~ д1 дх,) (8.6) Уравнения (8.1), (8.2) и (8.6) составляют замкнутую систему уравнений для неизвестных и, р, р (здесь а известная функция р и р). Рассмотрим нестационарное непрерывное адиабатическое течение двупараметрического невязкого газа с плоскими волнами произвольной амплитуды. Рассмотрение плоских волн позволяет оставить лишь одну пространственную переменную х и одну компоненту скорости и.
Уравнения движения газа имеют вид 58 Лекция 8. Одномерние неетпацнонарнне еаечения еаза Характеристики Пусть х = х(е) — некоторая линия в плоскости (х, 1); ее касательная в каждой точке определяет направление. Будем называть производной по направлению от функции и = и(х, ~) следующее выражение: д ди дх ди дг де аг дт -- (и(х(1), $)] = — — + — - — —.
(8.7) Уравнения (8.1), (8.2) и (8.6) содержат производные от искомых функций по х и 1. Путем линейных комбинаций этих уравнений с коэффициентами, зависящими от х, 1, и искомых функций (но не их производных) можно записать эти уравнения в виде, содержащем производные по другим направлениям в плоскости (х, 1). В частности, иногда можно привести уравнения к таким направлениям, что каждое из уравнений преобразованной системы будет содержать производные искомых функций лишь по одному направлению. Если к такому виду можно привести все уравнения, то исходная система называется гиперболической, а указанные направления характеристическими. Линии в плоскости (х, г), задан>щие эти направления, называются характеристиками. Проведем описанное выше преобразование для произвольной квазилинейной системы первого порядка с двумя независимыми переменными: ) А;, '+ ) асд '+б;=О, 1=1 2,...,п.
(88) Умножим уравнения (8.8) на коэффициенты 1, и просуммируем по 1: А,, ~ + ~~~ а, а) + ~~~ 1;дг = О. (8.9) г=1 1=1 1=1 т=1 Мы хотим, чтобы уравнение (8.9) содержало производные только по одному направлению вида (8.7). Иначе говоря, уравнение (8.9) должно иметь вид Характеристики Приравнивая коэффициенты при производных в уравнениях (8.9) и (8.10), получим уравнения п 1сАгг = тг ° 1са; =т х.
Е (8.11) г=с Исключая из (8.11) величину т, получим п 1с(А;.х — а,.) = О, с = 1,2,...,п. (8.12) г=с Для разрешимости однородной системы (8.12) относительно 1с ее определитель должен быть равен нулю: зад асх — — а — = О на характеристиках — ' = о. (8.14) сй гй сй Далее, умножим уравнение (8.1) на а~, уравнение (8.2) па хар, уравнение (8.6) - на 1 и сложим их. Получим а (рс+од )+а ро хор(ос+ оо ) хар + + рс+ ор — а~(рс+ ор ) = О.
(8.15) Здесь нижние индексы указывают дифференцирование по соответствующей переменной. Простые преобразования дают рс+ (о х а)р, х рарс+ (о х а)о~) = О. (8.16) Запишем окончательно исходную систему уравнений в характе- ристической форме: Нр сЬ вЂ” +ра — = О гй ей дх на характеристиках С с .. — — — о + а; (8.17) ге С др до — — — ра — = О ей гй дх на характеристиках С: — = о — а; (8.18) сй )Ас х — ас.( = О. (8.13) Получили уравнение и-й степени относительно х.
Если все корпи этого уравнения действительны, то система (8.8) называется гиперболической. Эти значения х определяют характеристические направления в плоскости (х, с). Применим эти результаты к системе (8.1), (8.2), (8.6). Заметим вначале, что уравнение (8.6) (а также уравнение (8.3)) уже имеет характеристическую форму: Лекция 8. Одномерныг нгстационарныг течения газа 60 ар 2 йр д,з — — а — = 0 на характеристиках Р: — ' = и.
(8.19) д1 аг аг Отметим, что характеристики исходной квазилинейпой системы уравнений нельзя построить до решения задачи в плоскости (х, 8), так как они зависят от искомого решения (р, р, с). Характеристики Р представляют собой траектории материальных частиц континуума. Характеристики Сь и С представляют собой траектории малых возмущений, которые, как вытекает из теории звука в газе, распространяются по газу со скоростью звука о,.
Вылив характеристические направления были определены как направления, приводящие уравнения в частных производных к квазиобыкновенным уравнениям: каждое уравнение системы содержит производные только по одному из направлений. Отсюда легко вывести другое, весьма распространенное определение характеристических линии: это линии, на которь»х нельзя ставить задачу Коши. Действительно, для получения решения задачи Коши для системы п уравнений в окрестности линии начальных данных необходимо уметь вычислить и выводящих с этой линии производных. Но если линия начальных данных -- характеристика, то можно определить лишь п — 1 выводящих производных; так как уравнение, содержащее производные вдоль линии начальных данных, использовать нельзя, остается всего п — 1 уравнение. По этой же причине характеристику можно определить как линию, вдоль которой можно «склеивать» решения с рознь ми дифференциальными свойствами. Проще говоря, характеристика может быть линией разрыва первых производных.
Действительно, поскольку для определения п выводящих производных мы имеем лишь п — 1 уравнений, то одна из производных может быть задана произвольно. Можно задать разные значения этой производной слева и справа от характеристической линии. Тогда в общем случае все производные решения на характеристике будут иметь разрыв. В зависимости от обстоятельств удобно пользоваться различными определениями характеристических линий. Последнее из отмеченных здесь определений характеристик позволяет рассматривать их как линии возможного распроспграненил возмущений.
Действительно, если имеющееся непрерывное и гладкое ре|пенис может быть изменено лишь на части области определения, а в другой части остается прежним, то линия раздела нового и прежнего решений обязательно будет характеристикой. Инеарипатъ~ Римана Инварианты Римана Уравнение (8.19) означает, что энтропия частицы а во все время движения остается постоянной. Если энтропия всех частиц в начале движения, т. е. при 1 = О, одинакова, то она будет постоянна во всей области (х,1), и движение называется паэитропическим.
В этом случае уравнение состояния даст универсальную для всего движения связь (8.20) Такие движения в литературе иногда называют барогпропными. В этом случае уравнения (8.17) и (8.18) можно проинтегрировать и записать + е = сопэ1 па С : — = е + в, (8.21) а(р) др нт е й а(р) с~р дх — е = сопв1 на С: — = с — а. Р ~Й (8.22) Здесь было использовано равенство 1р , 1р — =а сй сй' верное для дифференцирования по любому направлению вследствие универсальности соотношения (8.20). Формулы (8.21), (8.22) называются инвариантами Римана.
Разумеется, пе всякая характеристическая форма уравнений допускает их запись в виде инвариантных конечных соотношений. Например, в дальнейшем увидим, что в случае релаксирующего газа подобные соотношения не имеют места. Для совершенного газа с постоянными теплосмкостями верны формулы р= Ср~, а Р (8.23) Уравнения газовой динамики, записанные в левой стороне формул (8.17) — (8.19), иногда называют соотношен ими вдоль харакгперисгпик или условиями совместности. В действительности эти уравнения отличаются от исходной системы (8.1), (8.2) и (8.6) лишь формой записи, поскольку были получены из нес линейным преобразованием, не содержат в себе новой информации и нс чзаслуживают» нового названия. Лекция д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
